二次函数图像对称变换前后系数的关系(专题)

二次函数图像对称变换前后系数的关系

课时学习目标:

1.能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性区域。

2.会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。

3.能说出抛物线y=ax 2+bx+c ，关于x 轴、y 轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析式。

学习重点：

利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识a 、b 、c 、ac b 42-的取值，对图像特征的影响。。

学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。 一、复习预备

1.抛物线5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是 。

2.抛物线y=x 2-2x-3的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____ 。

3.已知函数y= x 2 -2x -3 ,

(1)把它写成k m x a y ++=2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？

(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； (3)求出图象与坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象的草图；

(5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；

(6)根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0. 4.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图—2所示，则：a 0; b 0;c 0;ac b 42- 0。 例3：已知二次函数的图像如图—3所示，下列结论： (1)a+b+c ﹤0， (2)a-b+c ﹥0， (3)abc ﹥0， (4)b=2a

其中正确的结论的个数是（ ）A.1个，B.2个，C.3个，D.4个. 二、归纳二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像

与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系

三、二次函数图像对称变换前后系数的关系探究

例1. 某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于y轴成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例2. 某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于x轴成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例3.某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于原点成中心对称，请你求出该抛物线的关系式。

例4.某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于顶点坐标成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例5.某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于点（3,2）成中心对称, 请你求出该抛物线的关系式。

函数y= ax2 +bx+c的图象对称变换后，解析式系数变化规律：

四、达标检测

1. 二次函数y= ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则点A(a,b)在( ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.二次函数y= ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) A.a<0,b>0,c<0 B.b 2-4ac<0 C.a+b+c<0 D.a-b+c>0

3.二次函数y= 6x 2

___________, 关于y 轴对称的图象于坐标原点对称的解析式___________________.

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成

2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”. 二、二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

无论抛物线作何种对称变换，形状不变，a 不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，先确定已知抛物

(1) (2)