最新——循环码(9,3)码
【国家自然科学基金】_准循环低密度校验码_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
推荐指数 6 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词 推荐指数 围长 5 准循环 4 低密度校验码 3 低密度奇偶校验码 3 线性编码 2 列差搜索算法 2 准循环码 2 准循环低密度奇偶校验码 2 非二元 1 部分平衡不完全区组设计 1 迭代填充算法 1 连续 1 素域 1 环 1 步进边增长算法 1 本原元 1 最小环长 1 循环置换矩阵 1 并行编码 1 和积译码 1 准循环低密度校验码 1 停止集 1 停止距离 1 低密度生成矩阵 1
2014Байду номын сангаас 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2014年 科研热词 推荐指数 准循环低密度奇偶校验码 2 等差矩阵 1 有限群 1 有限域 1 循环转移矩阵偏移量优化 1 基矩阵与校验矩阵之间环的关系 1 围长 1 净编码增益 1 低密度奇偶校验码ldpc 1
推荐指数 5 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
科研热词 低密度校验码 循环矩阵 准循环码 最小和算法 多码率 围长 半并行 准循环低密度校验码 准循环低密度奇偶校验码 准循环 信道编码 中国数字地面电视广播标准 非二元 部分并行结构 谱效率 译码器 现场可编程门阵列 环 流水线 最简平衡环 搜索算法 平衡环 可编程门阵列 列差矩阵 偏移量 shannon限 richardson-urbanke算法 peg算法
BCH循环码的编码与译码
中南大学物理与电子学院信息论与编码理论实验报告实验名称：BCH循环码的编码与译码专业班级：电子信息科学与技术1104姓名：学号：实验6 BCH循环码的编码与译码一、实验内容用VC或Matlab软件编写循环BCH码的编码与译码程序。
利用程序对教科书的例题做一个测试。
二、实验环境1.计算机2.Windows 2000 或以上3.Microsoft Visual C++ 6.0 或以上4.Matlab 6.0或以上三、实验目的1.通过BCH循环码的编码与译码程序的编写，彻底了解并掌握循环BCH的编码与译码原理2.通过循环BCH码的编码与译码程序的编写，提高编程能力。
四、实验要求1.提前预习实验，认真阅读实验原理以及相应的参考书。
2.对不同信道的进行误码率分析。
特别是对称信道，画出误码性能图。
即信道误码率与循环汉明码之间的关系。
3.认真填写实验报告。
五、实验原理1.循环BCH的编码与译码原理(略)2.循环BCH的程序实现。
六、实验步骤232t)()2(，其系数在GFα,...,α,α,α是GF2上的一个本原，t是整数，含有2t 个跟αm1.基本概念：设1-2m=为循环码生成多项式，并称为而原本预案BCH码。
参数如下：码长：n)x(上，并且最低次多项式gmt≤k-n=校验位数：r1+2t=d0≥最小码距：dmin纠错能力：t。
)(2是任意整数<3)和纠错能力ttt≥1其中m(m-m2.计算方法：，产生GF2扩域。
m)x(1算出m，遭到一个m次的本原多项式p-2=m（1）有n)()(的根，分别计2t个连续米次根)x(m（2）在GF2上找到一个本原a,一般情况下是利用本原多项式p)x(,...,m2t)x(,m2)x(域上的最小多项式m1)2(2t所对应的GFα3,...,α2,α,α⎦⎤)x(,...,m2t)x(,m3)x(m1⎣⎡LCM=)x(（3）计算2t个连续奇次幂之根所对应的最小多项式的公倍式，得到生成多项式g求得BCH码字)x(g)x(m=)x(（4）由关系式C3.程序实现：对于BCH（15,5）,有matlab实现程序如下：①BCH编码 enbch155.mfunction coded = bch155(msg_seq) %定义函数bch编码 % 输入为msg_seq信息位 % 输出为编码后的码元codedg=[1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1]; %生成多项式系数n=15;k=5; %默认为BCH（15，5） %% 从输入msg_seq中提取信息位msg display('信息位：')if nargin<1 %判断输入信息 ,若未输入,系统自动产生5组信息码，并显示出信息位 nmsg=5;msg=randi([0,1],[nmsg,k]) elselmsg = length(msg_seq); nmsg = ceil(lmsg/k);msg = [msg_seq(:);zeros(nmsg*k-lmsg,1)];msg = reshape(msg,k,nmsg).' endxx = [msg zeros(nmsg,n-k)]; %将输入信息码msg拓展为矩阵形式的xx %% 进行编码,将xx编码为coded coded =zeros(nmsg,n); fori=1:nmsg[q,r]=deconv(xx(i,:),g); %产生余式 r=abs(rem(r,2)); coded(i,:)=r; end coded = coded + xx; %产生信息码 end②BCH解码debch155.m M=4;code = gf(code,M); [m , n]=size(code); decode=[]; code1=[]; T2=6; N=15; mat=gf(2,M,code.prim_poly).^([N-1:-1:0]'*([1:T2]));第2/5页Tx = [0 1 zeros(1,T2-1)]; fori=1:m ;code1=code(i,:); M=code1.m;T2=6;N=15; S = code1* ((gf(2,M,code1.prim_poly)).^([N-1:-1:0]'*([1:T2]))); LambdaX = gf([1 zeros(1,T2)],M,code1.prim_poly); Tx = [0 1 zeros(1,T2-1)]; L=0; for k = 1:T2;LambdaXTemp = LambdaX;Delta = S(k) - LambdaXTemp(1+[1:L])*(S(k-[1:L]))'; ifDelta.x;LambdaX = LambdaXTemp - Delta*Tx; if 2*L < k;L = k-L; Tx = LambdaXTemp/Delta; end; end;Tx = [0 Tx(1:T2)]; end;LambdaXValue = LambdaX.x;LambdaX = gf(LambdaXValue(1:max(find(LambdaXValue))), M, code1.prim_poly); errLoc_int = roots(LambdaX);errLoc = log(errLoc_int); fori =1:length(errLoc); errorMag = 1;code1(N-errLoc(i)) = code1(N-errLoc(i)) - errorMag; end;decode=[decode;code1]; end;ccode = double(decode.x); decode = ccode(:,1:5); end③测试文件 bch_en_decode.m function bch_en_decode(msg) %编码 ifnargin<1 code=enbch155();else code=enbch155(msg); %编码 end第3/5页code=code+randerr(5,15,1:3); %模拟信道产生错误，每行有1-3个随机错误display('信道传输中干扰后,接收到的信息');coder=rem(code,2) %对2取余，使范围是0、1 display('解码后');decode=debch155(coder) end4.进行测试不输入信息位，让系统自动产生信息位，在matlab中输入下面一行代码，得到结果>>bch_en_decode() 信息位： msg =0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 编码后码元: coded =0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 信道传输中干扰后,接收到的信息 coder =0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 解码后 decode =0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0第4/5页输入信息位在matalb中输入下面两行代码，得到结果如下>>msg=[1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1]; >>bch_en_decode(msg) 信息位： msg =1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 编码后码元: coded =1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 信道传输中干扰后,接收到的信息 coder =1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 解码后 decode =1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 11 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1。
循环码
b
c
u3u2u1u0
u3u2u1u0 c2 c1c0
a
b
c
除法过程： 除法过程：
u3u2u1u0
[ x { x ( x[ u3 x3 ]mod g(x) + u2x3 )mod g(x) + u1x3 }mod g(x) + u0x3 ]mod g(x)
1 0 u 0 1 0 1 1 ×3' c ' 0d 0 0
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为 循环码的生成多项式为： )， 例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数： 其中单位阵I 矩阵4
BCH码 BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码 其生成多项式为： 其生成多项式为：
g ( x) = LCM [ m1 ( x), m3 ( x),L , m2t −1 ( x) ]
其中m 为素多项式， 为纠错个数，LCM表示取最小公倍数 其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最 表示取最小公倍数， 小码距d 2t 小码距d ≥ 2t+1 BCH码分为两种： BCH码分为两种： 码分为两种 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 本原BCH码 码长n 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子 非本原BCH码 码长n 其中m 其中m表示素多项式的次数
有y = c + e，即y(x) = c(x) + e(x) ，则： e， e(
CRC码 CRC码
即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验，具有 即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验， 实现简单，检错能力强。其原理为： 实现简单，检错能力强。其原理为： 然后除以生成多项式g 1）任意长的信息位向左移动r位，即xru(x)，然后除以生成多项式g(x)得到的 任意长的信息位向左移动r 余数附加在信息码之后形成码组c 然后进行发送； 余数附加在信息码之后形成码组c(x)，然后进行发送； 2）接收端接收到码组y(x)，然后除以g(x)，如果能整除则表示无错发生，否 接收端接收到码组y 然后除以g 如果能整除则表示无错发生， 则表示有错 详细过程： 详细过程： 1）信息位为u(x)，先向左移动r位，即xru(x)。求余式[xru(x)]mod g(x)= r(x) 信息位为u 先向左移动r 求余式[ 2）则将c(x) = xru(x) + r(x)发送出去 则将c 3）若用e(x)表示可能的错误，则接收到 y(x) = c(x) + e(x) = xru(x) + r(x)+e(x)， 若用e 表示可能的错误， )+e 那么校验方法： 那么校验方法： [y(x)]mod g(x)=[xru(x) + r(x) + e(x) ]mod g(x) = r(x) + r(x) + [ e(x) ]mod g(x) =[x
循环码(9,3)码
循环码（9，3）码课程设计一、摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。
分析和讨论了此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。
二、关键字：循环码 编码 译码 检错 纠错 Matlab三、基本概念：更好的设计和实现线性分组码的方法是引入特定的数学结构来界定某一类线性分组码。
循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。
循环码定义：设C 使某(n,k)线性分组码的码字集合，如果对任何C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该（n,k ）码为循环码。
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。
其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。
如果一个（n,k ）线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。
循环码的多项式描述：码字的多项式描述，一个n 元码字可以用一个次数不超过n-1的多项式唯一表示)(0121c c c c c n n --=0112211)(c x c x c x c x c n n n n ++++=----其中，我们不关心x 的具体位置，其次数只表示相应码元的位置。
循环码
实验、循环码编译码系统一、 实验目的：1、熟悉循环码的编译码原理；2、掌握Quartus Ⅱ开发软件的运用，在该软件下熟练的运用多种输入方式完成各种电路设计的要求；3、初步掌握VHDL 语言，能够运用该语言编写简单的程序，完成设计要求；4、熟悉对PLD 的下载和仿真，学会观察测试结果的正确性；5、学会运用各方面知识，设计并实现一个系统。
二、 实验要求：使用Quartus Ⅱ软件，用m 序列发生器作为信号源设计循环码编译码，速率可自定,并在实验箱上调试出编码和译码波形，比较信号源和译码后的信号波形。
三、实验设备：Quartus II 软件、Modelsim 软件、FPGA 实验箱、微机1台、示波器1台四、实验原理：1、 循环码的编码循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。
若（1n a - 2n a -…… 1a 0a ）为一循环码组，则(2n a - 3n a -……0a 1n a -)、（3n a - 4n a -……1n a - 2n a -）、……还是许用码组。
也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。
表1-2给出了一种（7，3）循环码的全部码字。
可以将循环码码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式，对于表1-2中的任一码组可以表示为：654326543210()A x a x a x a x a x a x a x a =++++++ （1-4）表1-2一种（7，3）循环码的全部码字在码多项式运算中采用按模运算法则。
若一任意多项式F (x )被一个n 次多项式N (x )除，得到商式Q (x )和一个次数小于n 的余式R (x )，也就是：()()()()()F x R x Q x N x N x =+ （1-5） 则可以写为：F (x )≡R (x )（模N (x )）。
这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1，假设：计算x 4+x 2+1除以x 3+1的值可得：422331111x x x x x x x ++++=+++ （1-6）循环码的生成多项式和生成矩阵：（全0码字除外）称为生成多项式，用g (x )表示。
循环码
(模( x7 1))
信息位 a6 a5 a4 监督位 a3 a2 a1 a0
1
2 3 4
000
001 010 011
0000
0111 1110 1001
5
6 7 8
100
101 110 111
1011
1100 0101 0010
x4 x2 x 1
5 4 3 T ( x ) x x x 1 ； 码组（0111001）的码多项式为
码组（1110010）的码多项式为 T ( x ) x x x x ；
6 5 4
反之，若已知码多项式也可以求得对应的码组。 码多项式T(x)=x7+ x3+ x+1，则8位该组为 C=（10001011）。 码多项式T(x)=x5+ x3+ x2 + x1 ，则7位码组为 C=（0101110） 。
（2） 已知信息码，由生成多项式g(x)得到循环码 对长为k位的任意消息组 M=(mk-1,…, m1,m0)，其对
应的消息多项式为m(x)=mk-1xk-1+…+ m1x+m0
可乘以g(x)而构成n-1次的码多项式：
2016/6/24
T ( x) (mk 1 xk 1 m1 x m0 ) g( x) m( x) g( x)
即生成多项式：g(x) = x4 + x2 + x + 1。将此g(x)代入 （0010111）
x k 1 g ( x) k 2 x g ( x) G ( x) xg ( x) g ( x)
最新循环冗余校验码的仿真与实现1
循环冗余校验码的仿真与实现1******************实践教学*******************兰州理工大学计算机与通信学院2013年秋季学期《计算机通信与网络》课程设计题目：（15，11）CRC冗余校验码的编译码仿真实现专业班级：通信工程（4）班姓名：王强学号：10250424指导教师：彭清斌成绩：摘要现代社会的生产和生活都需要借助计算机网络来完成，在计算机网络日益发达的今天，人们对数据传输的准确性和传输的速度要求越来越高，数据传输不仅要保证实时，还要保证准确。
因此，数据通信技术是计算机通信网络技术发展的基础，已经为现代生活中不可缺少的一部分。
但是通过通信信道传输的数据往往会有差错的产生，而且差错的产生是不可避免的，因此我们的任务是分析循环码算法的实现原理及研究检查是否出现差错及如何纠正差错。
循环冗余校验码（CRC）是目前应用最广的纠错编码之一。
本次课设论述了循环冗余码的算法及其在数据通信中的作用，研究了纠错码及循环冗余校验码的原理，以及利用MATLAB对其进行了编程和编译仿真，实现了CRC循环冗余校验码的编码及校验，在接收端收到通过校验的码，从而确定传输过程是否出错，得到的结论和理论上是否一致。
关键词：检错码 CRC循环冗余校验码 MATLAB 计算机通信目录前言 (1)一、基本原理 (2)1.1计算机通信与纠错码 (2)1.1.1计算机通信 (2)1.1.2纠错码 (2)1.1.3纠错原理 (3)1.2 CRC循环冗余校验码 (4)1.2.1 CRC的介绍 (4)1.2.2 CRC的基本原理 (5)二、推导过程 (9)三、MATLAB语言编程与运行 (11)3.1 MATLAB语言的介绍 (11)3.2 程序流程图 (13)3.3 MATLAB程序 (14)3.4结果分析 (16)设计总结 (17)致谢 (18)参考文献 (19)前言通信技术的发展和新业务的不断出现对计算机网络通信系统的服务质量和数据的传输速度提出了更高的要求，数据交换量的迅速增加也加重了计算机网络的通信负担，网络很难对所有的数据进行完全正确的传输，网络通信中的实时差错控制技术显得尤为重要。
第5章习题解答
第5章 组合逻辑电路应用习题55.1 设计一个10线-4线编码器，输出为8421BCD 码。
解：设输入9I ,8I …0I 分别表示十进制数码9，8…0，输出3Y ,2Y ,1Y ,0Y 分别表示8421BCD 码的4个二进制位。
输入低电平有效的编码器真值表如下： 得到最简逻辑函数为：893Y =I +I 89=I I 27654Y I I I I = 17632Y I I I I = 5.2 试用线-3的2101Y Y Y ===，31EX Z Y ==,0F Y =,导致1U 对76,A A 进行优先编码，且与门的输出为1U 的编码输出，所以，3210Z Z Z Z 的值在1000—1111之间,1F Z =。
5.3 试分析图P5.3所示电路的功能（74148为8线-3线优先编码器）。
解：由题知0EI =当2A ,3A ...9A 中有逻辑0时，则：则1U 对它们进行优先编码，且1U 的1F Y =，导致2U 的输出全为1，与门的输出为1U 的编码输出，所以3L 2L 1L 0L 的值在0000—0111之间，1F Y =。
如果2A ,3A ...9A 全为逻辑1，则1U 的2101Y Y Y ===，31EX L Y ==,0F Y =,导致2U 对10,A A 进行优先编码，且与门的输出为2U 的编码输出，所以，3L 2L 1L 0L 的值在1000—1111之间,1F Y =。
5.4 分析图P5.4所示电路的功能。
解： 102L Y Y =• 23567L Y Y Y Y =••• 即1L ABC ABC AC =+= 2L ABC ABC ABC ABC AC AB BC =+++=++74138译码器能实现函数1L AC = 2L AC AB BC =++的功能。
5.5 用2片3线-8线译码器74138，组成4线-16线译码器。
图P5. 4图P5.33 当0EN =时，编码器对输入位号进行编码30Y = 891I I ==，相当于一个输出加上非门的8线-3线优先编码器，按765I I I …0I 的优先级数，对应的输出二进制代码依次为111,110,101…000，所以当时的输出二进制代码依次为0111,0110,0101…0000。
第九章信道编码（精品）
第九章差错控制编码主讲人：***主要内容信道编码的基本概念线性分组码循环码9.1 引言目的：改善数字通信系统的传输质量基本思路：根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码元（冗余码，监督码），以保证传输过程可靠性,n=k+r。
任务：构造出以最小多余度代价换取最大抗干扰性能的“号码”又称差错控制编码信道编码的分类（1）按照信道编码的不同功能，可以将它分为检错码和纠错码。
（2）按照信息码元和监督码元之间的检验关系，可以将它分为线性和非线性码。
（3）按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可以将它分为分组码和卷积码。
差错控制方式发发可以纠正错误的码(a) 前向纠错(FEC)收收发能够发现错误的码应答信号(b) 检错重发(ARQ)收可以发现和纠正错误的码应答信号(c) 混合纠错检错(HEC)1.检错重发方式--自动请求重传方式，ARQ(Automatic Repeat Request) •由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重发。
•其特点是需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效，但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。
2. 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword Error Correction)。
发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。
其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。
纠错码发收3. 反馈校验方式•接收端将接收到的码元转发回发送端。
•发送端和源发送码逐一比较。
•发现不同——出错，重发•发现相同——正确，不重发•特点：简单，浪费资源4. 检错删除接收端收到的码元检查出错误后立即删除，并不要求重发。
适用存在大冗余量的通信系统。
9.2 差错控制编码的基本概念¾几个概念:¾码长n：码字中码元的数目；•在编码前先把信息序列分为k位一组（称为信息码），然后附加m位监督码，形成n = k + m位的码组。
精简版第九章循环码PPT课件
2020/9/26
通信原理II讲义
5
什么是循环码？
请注意“线性”和“循环”本身是不相干的事 情，我们对循环码的定义已经包括了线性特性。 在下页表所列的4种(3,2)码中，只有第一种符 合我们对循环码的定义。
2020/9/26
通信原理II讲义
6
信息 00 01 10 11
2020/9/26
什么是循环码？
c8=1011100
2020/9/26
通信原理II讲义
3
什么是循环码？
例如c3=(0101110)循环移一位是c8=(1011100)， 再循环移一位是c7=(0111001)。
2020/9/26
通信原理II讲义
4
什么是循环码？
c3 c2
c4
c8 c7
c6 c5
c1
(a ) (7 ,3 )循 环 码 的 码 字 循 环 关 系
n 1
cx c n 1 xn 1 c n 2 xn 2 ... c 1 x c 0c ixi
i 0
2020/9/26
通信原理II讲义
12
循环性
码字 Ccn1cn2...c1c0 的循环左移1位为
C1cn2...c1c0cn1
其码多项式
c 1 x c n 2 x n 1 ...c 1 x 2 c 0 x c n 1
但g’(x)的次数小于g1(x),g2(x)，与假设矛盾。
2020/9/26
通信原理II讲义
16
循环码的性质
设 gx g r 1 x r 1 g r 2 x r 2 ... g 1 x g 0
则根据循环性和线性性
fx f0 f1 x ... fn r x n rg x
循环码(最新整理)
2、循环码2.1循环码的基本原理1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为(3))1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x 也即是(4))1mod()()()1(-≡n x x xC x C 以此类推，可以得到(5))1mod()()()(-≡n i i x x C x x C 2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式，每一个码多项式都是的倍式，0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----)(x C )(x g即循环码的码多项式中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生)(x C 成多项式，记做。
循环码C 中的每个码多项式都可唯一表示成。
)(x g )(x C )()()(x g x m x C =(2)都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项)(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式一定是的因子。
)(x g )1(-nx (4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=nx x h x g 。
因此，h(x)也是的因子。
2-3 格雷码
4位典型格雷码
0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
余3循环码 1110
1111
《数字电子技术基础》
第二讲 码制
█ 格雷码（Gray Code）
格雷码是一种无权码，其特点是任意两个相邻码 组之间只有一位码元不同。典型的n位格雷码中，0和 最大数（ 2n-1 ）之间也只有一位码元不同。因此它是 一种循环码。 与普通二进制码相比，格雷码在传输过程中引起 的误差较小，因为相邻码组中仅有一位码元不同，这 样可减小逻辑上的差错，避免可能存在的瞬间模糊状 态，所以它是错误最小化代码。 表2对比了8421-BCD码与几种常用的四位格雷码。
《数字电子技术基础》
《数字电子技术基础》
第二讲 码制 表2 常用4位格雷码与8421-BCD码比较
十进制数 8421BCD码 典型格雷码 修改格雷码 格雷码1 格雷码2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 B3B2B1B0
0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1000
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《数字电子技术基础》
第二讲 码制
◆ 格雷码的特点 ★ 任何两个相邻的十进制数的格雷码仅有一位不 同，这样可大大减小代码变化时出现的错误概率； ★ 典型格雷码与8421-BCD码关系简单，即： Gi = Bi +1 ⊕ Bi ★ 修改格雷码与典型格雷码隔开3位（余3）； ★ 修改格雷码、格雷码1具有镜面反射特性，所以又 称反射码； ★ 典型格雷码与格雷码2只是最后一个码不一样，其 余一样。
BCD码——精选推荐
BCD码BCD码⽤4位⼆进制数来表⽰1位⼗进制数中的0~9这10个数码，简称BCD码，即BCD 代码。
Binary-Coded Decimal?，简称BCD，称BCD码或⼆-⼗进制代码，亦称⼆进码⼗进数。
是⼀种⼆进制的数字编码形式，⽤⼆进制编码的⼗进制代码。
⽬录编辑本段定义BCD码这种编码形式利⽤了四个位元来储存⼀个⼗进制的数码，使⼆进制和⼗进制之间的转换得以快捷的进⾏。
这种编码技巧，最常⽤于会计系统的设计⾥，因为会计制度经常需要对很长的数字串作准确的计算。
相对于⼀般的浮点式记数法，采⽤BCD码，既可保存数值的精确度，⼜可免却使电脑作浮点运算时所耗费的时间。
此外，对于其他需要⾼精确度的计算，BCD 编码亦很常⽤。
由于⼗进制数共有0、1、2、……、9⼗个数码，因此，⾄少需要4位⼆进制码来表⽰1位⼗进制数。
4位⼆进制码共有2^4=16种码组，在这16种代码中，可以任选10种来表⽰10个⼗进制数码，共有N=16！/（16-10）！约等于2.9乘以10的10次⽅种⽅案。
常⽤的BCD代码列于末。
编辑本段常⽤BCD编码⽅式最常⽤的BCD编码，就是使⽤"0"⾄"9"这⼗个数值的⼆进码来表⽰。
这种编码⽅式，在中国⼤陆称之为“8421码”。
除此以外，对应不同需求，各⼈亦开发了不同的编码⽅法，以适应不同的需求。
这些编码，⼤致可以分成有权码和⽆权码两种：有权BCD码，如：8421(最常⽤)、2421、5421…⽆权BCD码，如：余3码、格雷码…以下为三种常见的BCD编码的⽐较。
⼗进数 8421-BCD码余3-BCD码 2421-A码(M10) ＤＣＢＡ C3 C2 C1 C0 a3 a2 a1 a0０００００００１１００００１０００１０１０００００１２００１００１０１００１０３００１１０１１０００１１４０１０００１１１０１００５０１０１１００００１０１６０１１０１００１０１１０７０１１１１０１００１１１８１０００１０１１１１１０９１００１１１００１１１１常⽤BCD码⼗进制数 8421码 5421码 2421码余3码余3循环码0 0000 0000 0000 0011 00101 0001 0001 0001 0100 01102 0010 0010 0010 0101 01113 0011 0011 0011 0110 01014 0100 0100 0100 0111 01005 0101 1000 1011 1000 11006 0110 1001 1100 1001 11017 0111 1010 1101 1010 11118 1000 1011 1110 1011 11109 1001 1100 1111 1100 1010-----------------------编辑本段特点8421编码直观，好理解。
6.3循环码解读
c (i ) ( x) x i c( x) mod(x n 1)：i 1 ， 2， n 1
另：xi c( x)：等价于c右移i位
例：已知（7,3）循环码的任意一个码字
解：简单方法1：直接循环移位得所有码字。 方法2：用多项式求：
1010011，求其所有的码字。
c 1010011
7
x 1 (1 x)(1 x x )(1 x x )
7 3 2 3
常数项为1，最高项为3次
选择 或 任一均可 作为（7，4）循环码的生成多项式。
1 x x3
1 x 2 x3
例：求输入消息m=1001时，(7，4)循环码 的输出码字。
解： c( x) m( x) g ( x)
例：C=(C0 C1 …… Cn-1)
循环码
如：已知编码1101001，循环右移一位 —>1110100
—>0111010—>0011101
—>1001110—>0100111 —>1010011 —>1101001 注意：循环码并非都是由一个码字的全部循环移位构成。
循环码的多项式
循环码的多项式表示
G47
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
（2）求输入消息m=1001时的输出码字:
解：C=mG 代入得c=1010011
循环码的校验多项式
循环码的校验多项式h(x)
(n,k)循环码的校验多项式h(x)定义为：
条形码之三九码
条形码之三九码(上)(附两三种制作方法)一、39码简介39码是1974年发展出来的条码，是一种可供使用者双向扫描的分散式条码，也就是说两个资料码之间，必须包含一个不具任何意义的空白（或细白，其逻辑值为0），但其具有支援文字的能力，帮应用较一般条码广泛。
三九码仅有两种单元宽度，分别为宽单元和窄单元。
宽单元的宽度为窄单元的1到3倍，一般多选用2倍、2.5倍或3倍。
三九码的每一个条码字符由九个单元组成，其中有三个宽单元,其余是窄单元，因此称为三九码。
目前主要应用于工业产品、商业资料及医院的保健资料，它的最大优点是条码的长度没有强制的限定，可用大写英文字母码，且检查码可忽略不计。
39码还有编码规则简单、误码率低、所能表示字符个数多等特点，因此在各个领域有着极为广泛的应用。
我国也制定了相应的国家标准（GB/ T 12908-91）。
二、39码的特性标准的39码是由起始安全空间、起始码、资料码、可忽略不计的检查码、终止安全空间及终止码所构成，其所编成的39码如图所示。
综合来说，39码有以下特性：o条码的长度没有限制，可随着需求作弹性调整。
但在规划长度的大小时，应考虑条码扫描器能允许的范围，避免条码扫描器无法读取完整的资料。
o起始码和终止码必须固定为“*”字元。
o允许条码扫描器进行双向的扫描处理。
o由于39码具有自我检查能力，故检查码可有可无。
o条码占用空间比较大。
o可表示的资料包含有0-9的数字，A-Z的英文字母，以及“+”、“-”、“*”、“/”、“%”、“$”、“.”等特殊字符，再加上空白字元“ ”，共计44组编码，并可组合出128个ASCII CODE的字元符号，如表所示。
表：ASCII DODE 字元符号与39码对照表三、39码编码方式39码的每一个字元编码方式都是籍由九条不同排列的线条编码而得。
可区分以下四种类型，如表所示。
表：39码字元编码方式英文字母部分26个英文字母所对应的39码如表所示。
表：39码编码对应表（英文字母部分）数字与特殊符号部分39码也可以表示数字0-9以及特殊符号，其对应的逻辑值如表所示。
循环码名词解释 -回复
循环码名词解释-回复
循环码（Cyclic Code）是一种线性纠错码，其定义在有限域上，具有特殊的循环性质。
在一个循环码中，任何码字的循环移位仍然是一个有效的码字。
换句话说，如果将一个编码序列向左或向右移动任意位数（对于二进制码就是0或1的位置），得到的新序列仍然是码集中的一个合法编码。
循环码的主要优点是其编码和解码可以通过高效的算法实现，如基于格雷码生成矩阵的编码以及利用欧拉-费马定理和Berlekamp-Massey算法进行的解码。
这种特性使得循环码在通信系统、数据存储设备等领域得到广泛应用，尤其是在需要纠正传输错误的情况下。
在纠错能力方面，循环码能够检测并纠正一定数量的错误，这取决于码的具体设计，如码长、生成多项式等因素。
74循环码——精选推荐
循环码的系统编码1.循环码：一个线性分组码，若具有下列特性，称为循环码。
设码字c ＝（cn-1，cn-2，…，c1，c0）若将码元左移一位，得c (1)＝（cn-2，…，c1，c0，cn-1）c (1)也是一个码字。
2.码多项式：设c ＝（cn-1 cn-2 … c1 c0）是（n ，k ）循环码的一个码字，则与其对应的多项式 c (x)＝c n 1-c x c x c x n n n 01221.........+++--- 称为码字c 的码字多项式（或码多项式）。
3.非系统循环马变系统码的方法：（1）首先将信息元多项式m(x)乘以x k n )(-成为x k n )(-m(x)；（2）将xn-km(x)除以生成多项式g(x)得到余式r(x)，该余式就是校验元多项式，（3）系统码的码字多项式c(x)＝xn-km(x)＋r(x)。
用电路实现编码时可采用以g(x)为除式的除法电路，该电路是一个（n-k ）级移位寄存器。
以生成多项式g(x)＝x3＋x2＋1的（7，4）循环码的编码电路如下：电路的工作原理：输入消息前需将寄存器清零处理，闭合k1，再输入消息序列，序列的输入是从后位逐个输入，一边直接输出到输出码字中（右后向前逐个输入的），一边影响寄存器里的存储信息；当输完消息序列后断开K1，闭合K2，将移位寄存器的信息序列逐个输出到接收的码字中。
程序总代码：#include <iostream.h>#include<windows.h>void main(){int g[4]={1,1,0,1};int b[3],u[4],v[7];int i,j,m,n;cout<<"移位寄存器的初始值为："<<" ";for(i=0;i<3;i++){ //初始时刻，将寄存器清零b[i]=0;cout << b[i];}cout << endl;Sleep(1000);//调用的库函数windows中的延时函数，延时1秒。
单生成拟循环码的生成元
个 完 全表 示集 合． 约定 ７ （ ＝ ） （ ｒ ） ０ ．
证 明 ： １ 中的元 素个 数 为 （）
ｇ Ｉ ＋ ９ １ ’＋ … ＋ ＝ ＝
．
二
一
１
［０４ 拟 循环 码． １ ，］ 我们 用 递 推 ａ ＝１＋ａ来 生 成 ， Ｆｚ： 则 ２
一
１ — ８
ｄ０ ｉ
， 因此 ｄ ＝
・ 故 （ ， （ 均 ） …， ）
的多项 式 ， 且 ＝ ｎ ｅ） ，ｉ・
以及
Ｂ ｘ ７ ） ＋７ ． ｌ ） ＋… ＋仃 （ ，， （ ）＝ ｒ 洳（ ｒ （ ， ＋ ）
，
为 Ｆｎ 中度为 ｄ ａ［ ］ 。
，
１， —１ ｍ
）∈Ｃ
对于 ｉ ，， ， ＝１ ２ …ｒ假设 ｈ（ 能够 分解 成 ） ｈ（ ）＝ｈ （ ｈ （ …ｈ．（ ） ） ） 。 “
堡 ）＝（ ０ Ｘ ，１ ） …０ 一（ ） （ 口 （ ）口 （ ， 。 ）
ｍ 一１
其中ｔ ＝∑ ０ ， １等 ｌ ） ， ｉ （ 则（） 价于
１
令ａ ｘ （ ）：（ 。 ）口 （ ， ） 口 （ ， ） …ｎ 一（ ）∈Ｒ ，０ 贝 Ｒ （ ）：｛ （ ａ ）＝（ ） ｏ ） 口（ 口 ａｘ 口 ） （ 口（ 。 （ ， ）
）
其中 ｅ为满足 ＝ 的最小正整数． ｎ 所 则ｅｌ ，
（ ， （ ） 。 ） ｝ ） …ａ ｘ 口 一（ ）
２１ ０ ２年 ８月 第２ ８卷 第 ４期
江 苏教 育学 院学报 （自然科 学 ）
Ｊｕ ａ ｆ ｉ ｇｕＩｓｔｔ ｏ ｄ ｃｔ ｎ（ ａｕａ Ｓ ｉｎｅ ） ｏ ｒ ｌ ａ ｓ ｔｕｅ ｆ ｕ ａｉ Ｎ ｔｒ ｃｅｃｓ ｎ ｏＪｎ ｎｉ Ｅ ｏ ｌ
(完整word版)循环码(word文档良心出品)
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
循环码实验报告
课程名称：信息论与编码课程设计题目：循环码的编码和译码程序设计指导教师：系别：专业：学号：姓名：合作者完成时间：成绩：评阅人：一、实验目的：1、通过实验了解循环码的工作原理。
2、深刻理解RS 码构造、RS 编译码等相关概念和算法。
二、实验原理1、RS 循环码编译码原理与特点设C 使某线性分组码的码字集合，如果对任C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该码为循环码。
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。
其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。
如果一个线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j 次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。
RS 码的编码系统是建立在比特组基础上的，即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二进制BCH 码，这使得它处理突发错误的能力特别强。
码长：12-=mn信息段：t n k 2-= （t 为纠错符号数）监督段：k n t -=2最小码段：12+=t d最小距离为d 的本原RS 码的生成多项式为：g(x)=(x-α)(x -α2)(x -α3)…(x -αd -2)信息元多项式为：：m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk -1xk-1循环码特点有：1）循环码是线性分组码的一种，所以它具有线性分组的码的一般特性，且具有循环性，纠错能力强。
2）循环码是一种无权码，循环码编排的特点为相邻的两个数码之间符合卡诺中的邻接条件，即相邻数码间只有一位码元不同，因此它具有一个很好的优点是它满足邻接条件，没有瞬时错误（在数码变换过程中，在速度上会有快有慢，中间经过其他一些数码形式，即为瞬时错误）。
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目录目录 (1)一、摘要： (2)二、关键字： (2)三、基本概念： (2)四、循环码的多项式描述： (3)4.1 生成多项式g(x)及生成矩阵G (3)4.2 系统循环码 (4)4.3 循环码的编码： (5)4.4 检错纠错能力 (6)五、编码器.译码器原理图： (6)5.1 编码器原理图 (6)5.2 译码器原理图 (8)六、循环码和线性分组码、Hamming码的区别、联系： (12)6.1 线性分组码 (12)6.2 循环码 (12)6.3 汉明码hamming (13)七、循环码的MATLAB仿真： (13)八、参考文献： (16)九、参与人员： (16)循环码（9，3）码课程设计一、摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。
分析和讨论了此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。
二、关键字：循环码 编码 译码 检错 纠错 Matlab三、基本概念：更好的设计和实现线性分组码的方法是引入特定的数学结构来界定某一类线性分组码。
循环码即是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。
循环码定义：设C 使某(n,k)线性分组码的码字集合，如果对任何C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该（n,k ）码为循环码。
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。
其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。
如果一个（n,k ）线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j 次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。
四、循环码的多项式描述：码字的多项式描述，一个n 元码字可以用一个次数不超过n-1的多项式唯一表示)(0121c c c c c n n --=0112211)(c x c x c x c x c n n n n ++++=----其中，我们不关心x 的具体位置，其次数只表示相应码元的位置。
称这样的c(x)为c 的码字多项式。
4.1 生成多项式g(x)及生成矩阵G如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。
在循环码中，次数最低的多项式（0除外）就是生成多项式g(x)，其他码多项式都是其倍数。
且该g(x)的阶数为r=n-k ，常数项为1，是n x +1的一个因式。
为了寻求生成多项式，必须对nx +1进行因式分解。
循环码的生成矩阵多项式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--)()()()()(21X g X Xg X g X X g X X G k k然后将系数提出就得到生成矩阵G 。
4.2 系统循环码循环码也可以构成为系统循环码。
为方便系统码的构造，将消息多项式和码式都记为高位在前，即),,,,(0121m m m m m k k ⋅⋅⋅=--的消息多项式为m(x)，1110)(--+++=k k x m x m m x m又设码式的高幂次部分等于m(x)，即)()()(111110x p x m x x c x c x c x c c x c k n n n k n k n k n k n +⋅=++++++=---+-+--- k n r x p -=<∂)(其中p(x)称为校验位多项式，由于码式是生成式的倍式，所以))((mod 0)()()()(x g x g x a x m x x p k n ==+-))()(mod ()(x g x m x x p r⋅-=因此循环码的系统码码式为))]((mod )([)()(x g x m x x m x x c r r -=将循环码的系统码构造步骤总结为多项式乘))(()(x m x x m x r r =多项式求模（余式）)())())(mod ((x p x g x m x r = 多项式减)()())((x c x p x m x r=- 如果令)(x m 为单项式1+r x ，1,,1,0-=k ir x p x p x g x a x i i r <∂+=+)(),()()(1ir i i x x p x c ++=)()(那么容易看到，)(x c i 对应的向量i c ，1,,1,0-=k i 是线性无关的，从而得到循环码系统码的生成矩阵sG 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------1000100011,11,10,11,111101,00100r k k k r r s p p p p p p p p p G4.3 循环码的编码：利用生成多项式g(x)实现编码：如上所述，但循环码的生成多项式g(x)确定时，码就完全确定了。
现在讨论生成多项式g(x)给定以后，如何实现循环码的编码问题。
若已知 g(x)=gn-kxn-k+gn-k-1xn-k-1+...g1x+g0 并设信息元多项式 m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+...m1x+m0 要编码成系统循环码形式，即码字的最左边k 位是信息元，其余n-k 位是校验元，则要用xn-k 乘以m(x)，再加上校验元多项式r(x),这样得到的码字多项式c(x)为c(x)=xn-km(x)+r(x)=mk-1xn-1+mk-2xn-2+...m0xn-k+rn-k-1xn-k-1+...r1x+r0其中 r(x)=rn-k-1xn-k-1+...r1x+r0 c(x)一定是g(x)的倍式，即有c(x)=xn-km(x)+r(x)=q(x)g(x) c(x)=xn-km(x)+r(x)=0. mod g(x)注意到g(x)为n-k 次多项式，而r(x)最多为n-k-1次多项式，必有 r(x)=xm(x), mod g(x) （1） 即r(x)必是xn-km(x)除以g(x)的余式。
式(1)指出了系统循环码的编码方法：首先将信息元多项式m(x)乘以xn-k 成为xn-km(x)，然后将xn-km(x)除以生成多项式)(x g 得到余式r(x)，该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式)()()(x r x km xn x c +-=。
综上所述，系统循环码的编码问题，可以归结为两个多项式的除法运算，即将xn-km(x)除以生成多项式g(x)得到余式r(x)的运算，因此研究多项式除法的电路实现是必要的。
4.4 检错纠错能力若纠错码的最小距离为min d ，那么如下三个结论的任何一个结论独立成立。
（1）可以检测出任意小于等于1dim -=d l 个差错； （2）可以纠正任意小于等于)]1(2/1[min -=d t 个差错；（3）可以检测出任意小于等于l 同时纠正小于等于t 个差错，其中l 和t 满足：11min -≤+d t 和1<t五、编码器·译码器 原理图： 5.1 编码器原理图编码电路工作方程为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==++===+=4534523120150P P P P m P P P P P P P m P P 0,121==G G ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧='='='='='='453423120100P P P P P P P P PP P 1,021==G G （9，3）循环码编码电路工作过程5.2 译码器原理图输入R已知生成矩阵G 如下，列出S 与E 的对照表。
当收到码组[]001011001=B 时，解出对应的信息码组D⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001G ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000100010000010001000001000100100000010010000001001H⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000010000001000000100000010000001100100010010001001T HS 有62种形式，相应的码重最小的E 矢量有62种。
S 与E 的对照表如下：[][]000010100000010000001000000100000010000001100000010010001001001011001=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==T BH S 查表可知，E 矢量为：[]000010000=E所以正确的码组A 为：[]001001001=⊕=-=E B E B A 所以信息码组为：[]001001=S由生成多项式求解生成矩阵的过程：已知：（9，3）循环码的生成多项式为1)(36++=x x x G ,求生成矩阵及系统码生成矩阵。
解：由生成多项式可得生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001G 则系统码生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100100100010010010001001001s G 发现错误能力及纠正错误能力：由生成矩阵得纠错码的最小距离3min =d ，则：（1）可以检测出任意小于等于l=2个差错；（2）可以纠正任意小于等于t=1个差错；（3）可以检测出任意小于等于2同时纠正小于等于1个差错。
六、循环码和线性分组码、Hamming 码的区别、联系：6.1 线性分组码是同时具有分组特性（码子和消息长度恒定）和线性特性（消息相加后的编码等于各自编码后相加）的纠错码。
每个监督码元都是码组中某些信息码元的线性相加得到的。
将q 元符号按每k 个分为一组．然后通过编码得到n-k 个q 元符号作为冗余校验符号，最后由校验符号和信息符号组成有n 个q 元符号的码字符号。
得到的码字可以纠正t 个错误，编码码率为为k/n 。
两个属于该码的码字的和仍是一个属于该码的码字，全零字总是一个码字，一个线性码的两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小汉明重量。
6.2 循环码是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。
是线性分组码的一个重要子类；BCH 码是其主要的一大类；汉明码、R-M 码、Golay 码、RS 码等可变换；纳入循环码内，Goppa 码的一个子类也属于循环码；用反馈线性移位寄存器可以容易的实现其编码和得到伴随式；由于数学上的特性，译码方法简单。