中考数学专题存在性问题解题策略《角的存在性处理策略》

图 1-2-10
事实上,Rt△ OCB 与 Rt△ BDA 都是等腰直角三角形,于是有 OC = BC = 2 2 ,
BD = AD = 3 2 ,故点 A 的坐标为 ( 7
2 ,
2)；
2
22
问题 2 已知点 A(4, 6) ,将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 a 角,其中 tan a = 1 ,求其对应 2
图 1-2-13
图 1-2-14
第二步（造“一线三直角”）：如图 1-2-14,依托旋转后的 Rt△ OAB ,作系列“水平—竖 直辅助线”，构造“一线三直角”，即 Rt△ OCB ∽ Rt△ BDA ，
于是有 BC = bsin a , OC = bcos a , AD = asin a , BD = a cos a , 故点 A 的坐标为 (a cos a bsin a,b cos a a sin a) .
.
..
.
第 1 讲 角的存在性处理策略
知识必备 一、一线三等角
1.如图 1-1-1， ACB D E 90o 且 CAB 450 ACD≌CBE ，此为 “一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;
图 1-1-1
图 1-1-2
图 1-1-3
图 1-1-4
2.如图 1-1-2， ACB D E 90o ACD∽CBE ，此为“一线三直角”
图 1-2-12
第二步（造“一线三直角”）：如图 1-2-12,依托旋转后的 Rt△ OAB ,作系列“水平—竖 直辅助线”，构造“一线三直角”，即 Rt△ OCB ∽ Rt△ BDA ，
于是有 BC = 6
5 , OC = 12
5 , AD = 4
5 , BD = 8
5
,故点
A
的坐标为
14 (
58 ,
“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该
点所在图形的旋转（运动）”.
下面以三个问题说明此法：
问题 1 已知点 A（3，4），将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45º角，求其对应点 A’的
坐标.
简析 第一步 （“整体旋转”）：如图 1-2-9，作 AB⊥y 轴于点 B，则 AB=3，OB=4，点
A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45º得到点 A’，可看成 Rt△OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转 45º
得到 Rt△OA’B‘，则 A’B’=8，OB’=4，且∠BOB’=45º；
y
E3
A
E'
4
3
4 A'
O
x
图 1-2-9
第二步（造“一线三直角”）：如图 1-2-10,依托旋转后的 Rt△ OAB ,作系列“水平—竖 直辅助线”，构造“一线三直角”，即 Rt△ OCB ∽ Rt△ BDA ；
此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如
图 1-2-8 所示.
D
D定
B动
动B
B
A
A
定
定
定C
方式（三）：整体旋转法（*）
A
定
定C
图 1-2-8
DAC DEA →DA2=DC∙DE→ DG2+AG2=DC∙DE
G定 C定 E定
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..
.
.
..
.
前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是
相似，又称“K 字型”相似; 3.如图 1-1-3， ACB D E 90o ACD∽CBE ，此为更一般的“一线
三等角”. 二、相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义
如图 1-1-4，在 Rt ABC 中， tan A a ，即 A 的正切值等于 A 的对边与 A 的邻 b
5).
5
5
5
5
55
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问题 3 已知点 A(a,b) ,将点 A绕原点 O 顺时针方向旋转 a 角,求其对应点 A 的坐标.
简析 不是一般性，不妨都在第一象限思考问题：
第一步（“整体旋转”）：如图 1-2-13,作 AB⊥y 轴于点 B,则 AB= a ,OB= b ,将 Rt△OAB
绕原点 O 顺时针方向旋转 a 角得到 Rt△ OAB ,则 AB = a , OB = b ,且∠ BOB = a ；
例 1(2017•日照)如图 1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线
同时经过
点 B，且点 A 在点 B 的左侧，点 A 的横坐标为 ，∠AOB=∠OBA=45°，则 k 的值为_______。
y
y
A B
O
图1-3-1
x
D 2A t C
2 t
B
O
图1-3-2
x
简析由题可知，△OAB 为等腰直角三角形； 如图 1-3-2，构造“一线三直角”结构，即 Rt△OAD≌Rt△ABC；
二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；
三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图 1-2-6
及图 1-2-7 所示；
图 1-2-4
图 1-2-5
图 1-2-6
图 1-2-7
方式
（二）：构造“母子型相似”
“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对
点 A 的坐标. 简析 第一步（“整体旋转”）：如图 1-2-11,作 AB⊥y 轴于点 B,则 AB=4,OB=6,将 Rt△
OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转 a 角得到 Rt△ OAB ,则 AB =4, OB =6,
且 tan ∠ BOB= tan a = 1 ；
2
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..
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..
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图 1-2-11
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..
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..
.
图 1-2-2 3.tanα=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图 1-2-3；
B B
A
α
α
A α
D
CE
D
CE
图 1-2-3
4.“一线三等角”的应用分三重境界；
一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图 1-2-4
所示的“同侧型一线三等角”及图 1-2-5 所示的“异侧型一线三等角”；
设 OD=AC=t， 则 A( ，t)， B(
边之比；同理， tan B b ，则 tan A tan B 1，即互余两角的正切值互为倒数. a
方法提炼
一、基本策略：联想构造
二、构造路线
方式(一)：构造“一线三等角”
1.45o 角 构等腰直角三角形 造“一线三直角”全等，如图 1-2-1；
图 1-2-1
2.30o 角 构直角三角形 造“一线三直角”相似，如图 1-2-2；