矢量分析与数理方程总复习题

矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题矢量和矢性函数1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）k j i A 32++= k j i B654++=2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘）()k t j t i t t A ++=sin cos ， ()k t j e i t t B t2++=3、设k t j i t A 23+-=，k j i B 22+-=，k j t i C-+=3，求()C B A ⋅⨯4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ，()k t j e i t t B t 2++=求 ()dt t A d 和 ()dtt B d 5、如果 ()j i eϕϕϕsin cos +=① 求 ()()ϕϕϕd e d e=1 ， ② 证明 ()ϕe ⊥()ϕ1e.6、如果 ()j i eϕϕϕcos sin 1+-= 证明()()ϕϕϕe d e d -=1 7、求不定积分 ()⎰ϕϕd e， ()⎰ϕϕd e 1。

8、计算不定积分()⎰+ϕϕϕd e 122 . 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r。

方向导数和梯度1、求 k j i l22++= 的方向余弦2、写出矢径 k z j y i x r ++=的单位矢径0r ，用方向余弦表示0r3、求矢性函数 ()k z j xy i x z y x l 4232,,+-= 的方向余弦4、求函数222z y x u ++=在()1,0,1M 处沿k j i l22++=的方向导数5、求数量场 z y z x u 2322+= 在点 ()1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4232+-= 方向的方向导数6、求下列数量场的梯度① 222z y x r ++=， ② ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=22211z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 32z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 62332222--++++=.7、设c是常矢量，k z j y i x r ++=，证明 ()c c r =⋅∇ 。

通量及散度1、利用通量的定义求矢量 k z j y i x r ++= 通过球面 2222R z y x =++的通量. 2、利用奥氏定理求矢量 k z j y i x r ++= 通过球面 2222R z y x =++的通量.3、计算下列矢量场的散度① k z j y i x r ++=， ② 3rr D =，其中k zj y i x r++=，222z y x r ++=，③ ()()()k x y j z x i y z A2332-+-+-=，④ ()()()k xy z j xz y i yzx A +++++=223，⑤ k z j y i x A 333++=， ⑥ r xyz A =，其中 k z j y i x r ++=.4、计算 ()z y x 23cos ∇⋅∇5、设c是常矢量，k z j y i x r ++=，证明 ()c r c r ⋅=⋅∇0环量及旋度1、求矢量场 j x i y A +-= 沿 l 的正方向的环量 Γ ，其中 l 的参数方程是 ϑ3cos R x =，ϑ3sin R y =，()πϑ20≤≤ .2、计算下列矢量场的旋度① k z j y i x r++=，② k e x j y z i z xy A y2222sin ++=， ③ k y x j x z i z y A 222222++=.3、 设k z j y i x r ++=，222z y x r ++=，c 是常矢量，求① ()[]r r f ⨯∇ ② ()[]c r f⨯∇4、设c是常矢量，k z j y i x r ++=，证明 ()c r c r ⨯=⨯∇0有势场、管形场和调和场 1、 证明下列矢量场是有势场① ()k yz x j y z x i xyz A 22222cos 2+++= ② ()()j y x x y i x y y x A sin cos 2sin cos 222-+-=2、证明下列矢量场是管形场()()()k x z j y x i y z A2332+-++-=，3、证明矢量场是调和场 ()()()k z y j z x y i y x A62242-+++++=4、证明 ()2221,zy x y x u ++=（0≠x ，0≠y ，0≠z ）满足拉普拉斯方程.5、证明 ()k z y x j yz i xz A 1222222-+++=是无旋场. 6、 求下列势函数所对应的矢量场① 222z y x r ++=， ② ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=22211z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 32z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 62332222--++++=.7、设c是常矢量，k z j y i x r ++=，证明 ()c c r =⋅∇ 。

数学物理方程，边界条件和初始条件，分离变量1、验证 ()l at n l x n t x u ππsin sin ,= 满足一维波动方程 22222),(),(x t x u a t t x u ∂∂∂∂＝ 2、验证 ()l at n l x n t x u ππcos sin ,= 满足一维波动方程 22222),(),(x t x u a t t x u ∂∂∂∂＝ 3、 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===>≤≤∂∂∂∂)()0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222x t x u x x u t l u t u a l x x t x u a t t x u ψφ＝是一维弦振动的定界问题，指出哪一个条件是边界条件？哪一个是初始条件？什么叫定解条件？什么叫定解问题？3、 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===>≤≤∂∂∂∂0)0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222t x u x x u t l u t u a l x x t x u a t t x u φ＝写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。

4、 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===>≤≤∂∂∂∂)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222x t x u x u t l u t u a l x x t x u a t t x u ψ＝写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。

4、真空中的电磁场满足麦克斯韦方程组，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t E H H t H E E εμ00 利用公式 ()()A A A 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ 推导电磁场的波动方程01222=∇-∂∂E tE με5、静电场中有⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇00E D其中 E D0ε= 写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？ 6、静电场中有⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0E D ρ 其中 E D0ε= 写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？7、利用分离变量将下列偏微分方程分成两个常微分方程① ()()0,,2222=∂∂+∂∂y y x u x y x u ， ②0),(),(222=∂∂-∂∂x t x u a t t x u 8、设弦的两端固定于0=x 及l x =，弦的初始位移如图所示，初始速度为零，没有外力作用，假设弦振动时的位移是()t x u ,，写出()t x u ,满足的的定解问题。

8、()l at l x t x u ππ5cos 5sin,=， ()latl x t x u ππ7cos 7sin ,= 是定解问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===>≤≤∂∂∂∂0)0,(,)()0,(0),(,0),0()0,0(),(),(22222t x u x x u t l u t u a l x x t x u a t t x u φ＝ 的一个解，写出这个解的节点的位置，它的振动频率9、证明 ()()()at x f at x f t x u -++=21, 是一维波动方程的解。

9、证明 ()()()at x f at x t x u -++=cos sin , 是一维波动方程的解。

10、将函数()ϑϑϑϑcos sin cos 2B A u +=展开成如下形式的级数()ϑϑn b n a a n n n sin cos 21++∑∞= 11、利用分离变量 )(),,,(),,,(t T z y x V t z y x u =，将三维波动方程 0),,,,(),,,(2222=∇-∂∂t z y x u a tt z x u ，分解成关于时间的微分方程和空间的偏微分方程。

贝塞尔函数，勒让德多项式1、勒让德多项式()x P 6是什么方程的的解？2、贝塞尔函数()x J 5 是什么方程的解3、利用贝塞尔函数的递推公式 [])()(1x J x x J x dxd n n n n-= 计算积分()⎰112dx x J x 。

4、如果 1)(0=x P ，x x P =)(1，)13(21)(22-=x x P ，)35(21)(33x x x P -= 将 ()21532-+=x x x f 按 ()x P n 展开。

5、利用贝塞尔函数的递推公式 [])()(1x J x x J x dx d n n n n-= 计算积分 ()⎰10dx x xJ 。

6、方程 012)(2)()1(222=+--y dx x dy x dxx y d x 的解是什么？ 7、方程()042222=-++y x dx dy x dxy d x 的解是什么达朗贝尔公式、格林函数、镜像法1、利用达朗贝尔公式解定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=>∞<<-∞=∂∂-∂∂x t x u x x u a x x t x u a t t x u )0,(sin )0,()0,(,0),(),(222222、在0>z 的半空间中的有一个点电荷，置放在 ()000,,z y x M ，()00>z ，假设0=z 的平面的电势为零，写出这个点电荷的像的位置。

3、写出由上题的两个点电荷所产生的格林函数。

4、达朗贝尔公式 []⎰+-+-++=atx atx d aat x at x t x u ξξψφφ)(21)()(21),( 是一维无界波动方程的解，如果初始速度为零，达朗贝尔公式应该是什么？5、在上式中第一项的物理意义是什么？第二项的物理意义是什么？6、达朗贝尔公式 []⎰+-+-++=atx atx d aat x at x t x u ξξψφφ)(21)()(21),( 是哪一个定解问题的解？（写出数理方程和定解条件）7、如果一个无限长的弦振动的定解问题是()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=>∞<<-∞=∂∂-∂∂0)0,()0,()0,(,0),(),(222222t x u x x u a x x t x u a t t x u b ϕ()x ϕ 传播的速度是什么？。