12.2三角形全等的判定
12.2 三角形全等的判定 课件
（1）如果用米尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？
（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？
只能测量斜边 和一条直角边
如果两个直角三角形一条直 角边和一条斜边分别相等， 这两个三角形全等么？
A
B
C
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
Байду номын сангаас
练习如1 图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时 “斜边、直角边”HL
学习目标
1. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；（难点） 2. 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角 形全等．（重点）
情景引入
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观， 工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三 角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作 人员想个办法吗？
需要添加一个什么条件？请说明理由．
D
△BAD， C
A
B
初中数学
练习2
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯 水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC+∠DFE= .
练习3
练习4
如图，AB=CD, BF⊥AC, DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.
练习5
如图，C 是路段AB的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分 别沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 到路段AB的距离相等吗？为什么？
如图，已知AB=AC，AE=AF， AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.
求证：∠1=∠2.
12.2三角形全等的判定SAS
A
D
B
E
C
F
1.如图，AE=AF, ∠AEF=∠ AFE,
BE=CF,求证：AB=AC
B A
练习：
E
F B
C
1. 如图，两车从南北方向的路 段AB的一端A出发，分别向东、 向西行进相同的距离，到达C、 D两地，此时C、D到B的距离 相等吗？为什么？ D
A
C
1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE A 求证： ∠B=∠C B
8cm
45° A B B′
显然： △ABC与△AB’C不全等
SSA不存在
两两 个边 三及 角一 形角 全对 等应 吗相 ？等 的
①两边及夹角对应相等的 两个三角形全等（SAS)； ②两边及其中一边的的对角对应相 等的两个三角形不一定全等． ③ 现在你知道哪些三角形全等的 判定方法？
SSS, SAS
∴BC=AD （全等三角形的对应边相等）
例题欣赏
(2).如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD， AC=AB请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中 AE=AD (已知) 公共角 ( )
A E B D
C
∠A = ∠A
AC = AB
(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
C
D
E
2. 如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=CD， D ∠B=∠C，求证：∠A=∠D A
B
E
F
C
(1)已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
A
B
D C
(2) 已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。问 ∠A=∠ C 吗？
12.2 三角形全等的判定1
∵
BD =CD ，
B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
变式题
如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC
中点D的支架，求证：求求△证证AB：：D∠A≌DB△⊥=A∠BCCD
A
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD 在△ABD与△ACD中
B
D
C
AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS）
A
用 数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中
AB DE BC EF CA FD
B
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形 全等。
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先 证好；
②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
八年级 上册
12.2 三角形全等的判定 （第1课时）
课件说明
• 学习目标： 1．构建三角形全等条件的探索思路，体会研究几何 问题的方法． 2．探索并理解“边边边”判定方法，会用“边边 边”判定方法证明三角形全等． 3.会用尺规作一个角等于已知角，了解作图的道理.
• 学习重点、难点： 构建三角形全等条件的探索思路，“边边边”判定 方法．
A
画法：1. 画线段B′C′=BC.
2. 分别以B′、C′为圆心，BA、
B
C CA为半径画弧，两弧相交于
A′
点A′.
3. 连接A′B′、A′C′.
B′
C′ △ A′B′C′就是所要画的三角形.
12.2 三角形全等的判定(HL)
12.2 三角形全等的判定(HL)教学目标1．知识与技能在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题。
2．过程与方法经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力。
3．情感、态度与价值观培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵。
教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学方法采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
教学准备全等三角形纸片、三角板、教学过程一、提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）二、创设情境，导入新课如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）（1）你能帮他想个办法吗？（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？（1）[生]能有两种方法．第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三角形全等．可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，可是它们又不是“两边夹一角的关系”，所以我没法判定它们全等．[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，于是他判断这两个三角形全等．你相信吗？三、探究做一做：已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使∠C=•90°，AB作为斜边．做好后，将△ABC剪下与同伴比较，看能发现什么规律？（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．作法：第一步：作∠MCN=90°．第二步：在射线CM 上截取CB=4cm ．第三步：以B 为圆心，5cm 为半径画弧交射线CN 于点A ．第四步：连结AB ．就可以得到所想要的Rt △ABC ．（如下图所示）将Rt △ABC 剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等． 可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律．探究结果总结：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL ”）．[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS 、SAS 、•ASA•、•AAS ”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL ”的方法判定．[师]很好，两直角三角形中由于有直角相等的条件，所以判定两直角三角形全等只须找两个条件，但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行．四、例题：[例1]如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD ． 求证：BC=AD ．分析：BC 和AD 分别在△ABC 和△ABD 中，所以只须证明△ABC ≌△BAD ，•就可以证明BC=AD 了．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt △ABC 和Rt △BAD 中AB AB AC BD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）∴BC=AD ．[例2]有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC•与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系？[师生共析]∠ABC 和∠DFE 分别在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，•已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系，所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等，显然，可以看出这两个角不相等，它们又是直角三角形中的锐角，是不是互余呢？我们试试看．证明：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中 又∵∠DEF+∠DFE=90°BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴∠ABC+∠DFE=90° 所以Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ） ∴∠ABC=∠DEF即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余．五、课时小结至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS ） 3．边角边（SAS ）4．角边角（ASA ） 5.角角边（A A S ） 6.HL （仅用在直角三角形中）六、布置作业课本P44页习题12.2中的第7，8七、板书设计12．2.4 三角形全等判定（4）一、复习导入二、尝试活动 探索新知三、应用新知 解决问题四、总结提高教学反思：。
12.2三角形全等的判定SAS(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解SAS全等判定的基本概念。SAS是指两个三角形中有两边和它们之间的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。它是解决几何问题的重要工具，帮助我们确定两个三角形的完全一致性。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设在两个三角形中，我们已知两边长度相等，以及它们之间的夹角也相等，通过SAS判定，我们可以确定这两个三角形是全等的。
2.掌握运用SAS判定两个三角形全等的具体步骤。
3.能够运用直尺和圆规作出符合条件的全等三角形。
4.解决实际问题，如运用SAS判定方法判断两个三角形是否全等，并解释其在现实生活中的应用。
5.通过例题和练习，加深对SAS判定全等三角形方法的理解，培养几何逻辑思维和解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
-掌握SAS全等判定的步骤：学生应学会如何通过以下步骤应用SAS判定全等：a)确认两个三角形中有两边相等；b)确认这两边的夹角相等；c)确认第三边也相等。
-应用SAS全等判定解决具体问题：学生应能够将SAS全等判定应用于解决实际几何问题，如计算未知长度或角度等。
-举例解释：如在三角形ABC和三角形DEF中，若AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则根据SAS全等判定，三角形ABC和三角形DEF全等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SAS判定中“边角边”的顺序和角的定位。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，讲解为何SSA不能判定全等，而SAS可以。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形全等判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生们用直尺和圆规尝试作出符合SAS全等条件的两个三角形。
专题12.2 三角形全等的判定(解析版)
专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。
12.2 三角形全等的判定(解析版)
12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。
一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。
2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。
②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。
③得出结论：两个三角形全等。
如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。
如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。
3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。
求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。
②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。
D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。
12-2 三角形全等的判定 课件(共25张PPT)
和 ∠2 的根据是什么？
AB=DE的根据是什么？
.连接，那么量出的长就是，的距离.为什么？
在△ 和△ 中，
=
ቐ ∠1 = ∠2
=
∴△ ≌△ （）∴ = .
【结论】因为全等三角形对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或者
第十二单元 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
情景导入
根据上一节的学习，我们知道，如果△ ≌△ ′′′，那么它们
的对应边相等，对应角相等。反过来，根据全等三角形的定义，
如果△ 与 △ ′′′满足三条边分别相等，三个角分别相等，即
= ’’， = ’’， = ’’
与△ABD不全等。这说明，有两边和
其中一边的对角分别相等的两个三角
形不一定全等。
教学新知
探索4：先 任 意 画 出 一 个 △ . 再 画 一 个 △ ′′′ ， 使 ′′ = ，
∠′ = ∠，∠′ = ∠（即两角和它们的夹边分别相等）.把画
好的△ ′′′剪下来，放到△ 上，它们全等吗？
.求证△ ≌△ .
在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = 180° − ∠ − ∠.
同理∠ = 180° − ∠ − ∠.
又∠ = ∠，∠ = ∠，∴∠ = ∠
在△ 和△ 中，
三角形木架的形状、大小就不变了.就是说，三角形三条边的长度
确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了.
例1：在右图所示的三角形钢架中， = ，是连接点与
中点的支架.求证△ ≅△ .
∵是的中点，∴ = .
在△ 和△ 中，
=
ቐ =
12.2全等三角形的判定(SSS)
课题12..2全等三角形的判定第1课时学习内容：通过独立思考和小组合作，能够利用“边边边”判定三角形全等 学习目标：1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．能够作一个三角形与原三角形全等.学习重点：三角形全等的条件．学习难点：寻求三角形全等的条件．1、已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边____________________________ 相等的角___________________________________.C 'B 'A 'C B A2、探究1（1)．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？①．只给定一条边时：只给定一个角时：可以发现按这些条件画出的三角形 一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即： ．(2)．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为3cm．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm、6cm．可以发现按这些条件画出的三角形一定全等．（3）给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：．3、探究2（1）按课本提供的作图方法画出另一个三角形（2）这两个三角形全等吗？（3）这两个三角形全等具备了哪些条件？（4）这一基本事实是简写成（5）在解题过程中的叙述∵在△和△中{∴△≌△4、学习例题15、学习尺规作图二、小组合作解决以上问题三、拓展延伸1.如图13—2—46所示，MP＝MQ，PN＝QN，MN交PQ于O点，则下列结论中不正确的是（）A．△MPN≌△MQN B.OP＝OQ C.MO＝NO D.∠MPN＝∠MQN2.如图13—2—47所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，CO＝DO，连结AD、BC交于点P，则下列结论中正确的是（）①△AOD≌△BOC ②△APC△BPD ③点P在∠AOB的平分线上A.①B.②C.①②D.①②③3.如图13—2—48所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD与BC相交于E，则图中全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对4.如图13—2—49所示，AB＝CD，AD＝BC。
12.2三角形全等的判定教案
本节课将结合实际案例，引导学生通过观察、思考、实践，掌握三角形全等的判定方法，并能够灵活运用到解题过程中。
二、核心素养目标
《12.2三角形全等的判定教案》
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用三角形全等的判定方法，通过严密的逻辑推理证明全等关系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的三角形全等判定教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这一几何概念。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生们对全等三角形的概念产生了浓厚的兴趣。他们能够积极地参与到课堂讨论中，这为后续的教学打下了良好的基础。
在理论讲授环节，我注意到了一个现象：学生在理解全等判定方法时，对于SSS和SAS的接受程度较高，但ASA和AAS则相对难以掌握。我意识到这可能是因为ASA和AAS判定方法需要学生对角度有更深刻的认识。因此，我决定在接下来的教学中，增加一些关于角度判断的练习，帮助学生更好地理解这两种判定方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形全等的基本概念。三角形全等指的是两个三角形在大小和形状上完全相同。它是解决几何问题、理解几何图形关系的基础。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用SSS、SAS、ASA、AAS判定方法来证明三角形全等，并解决实际问题。
12.2 三角形全等的判定
12.2 三角形全等的判定第1课时 “边边边”学习目标1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．学习重点三角形全等的条件．学习难点寻求三角形全等的条件．学习方法：自主学习与小组合作探究学习过程： 一．回顾思考：1．（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：①定义；②“”公理③“”定理二、新课1. 回忆前面研究过的全等三角形．已知△≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．图中相等的边是：′B 、′C ′、′C ．相等的角是：∠∠A ′、∠∠B ′、∠∠C ′．2.已知三角形△你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？阅读教材归纳：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“”．书写格式: 在△和△A 1B 1C 1中1B 1C A B A 1∴ △≌△A 1B 1C 1（）C 'B 'A 'C B A3. 小组合作学习（1）如图，△是一个钢架，，是连结点A 与中点D 的支架．求证：△≌△．证明：∵D 是的中点 ∴在△和△中(AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩公共边)∴△ ≌△ （ ）．（2）如图，已知、，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，．要用“边边边”证明△≌△，除了已知中的，以外，还应该有一个条件：，怎样才能得到这个条件？∵∴∴（3）如图, 是边上的中线P 是 的一点,求证：4.三角形的稳定性： 生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．•例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．（阅读P98）三、阅读教材例题:四．自学检测五．评价反思 概括总结1. 本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又•发现了证明三角形全等的一个规律．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？ ①定义；②“”公理③“”定理④“”定理六．作业F D C B E A。
人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定(SSS)说课稿
为了更好地辅助教学，我将使用多媒体课件、几何画板、实物模型等资源。多媒体课件和几何画板可以直观展示三角形全等的判定过程，帮助学生理解抽象的数学概念。实物模型则可以让学生更直观地感受到三角形全等的实际应用，增强空间想象力。
（三）互动方式
在教学过程中，我将设计多样化的师生互动和生生互动环节。如课堂提问、小组讨论、数学游戏等。在课堂提问环节，我会鼓励学生积极思考、发表自己的观点，培养他们的逻辑思维能力。小组讨论环节，学生可以围绕特定问题展开讨论，共同寻找解决方案，提高团队协作能力。数学游戏则可以让学生在轻松愉快的氛围中，巩固所学知识，提高实践应用能力。通过这些互动方式，我希望能够激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和合作意识。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我会设计以下巩固练习和实践活动：
1.针对SSS判定法，设计一些判断题，让学生判断给定的两个三角形是否全等。
2.让学生分组，每组设计一个利用SSS判定法证明全等的实例，并展示给其他组。
3.安排一次课堂小测，检测学生对SSS判定法的掌握程度。
（四）总结反馈
2. SSS判定法的证明过程和应用实例。
3.课堂练习题和课后作业布置。
板书的作用是辅助教学，帮助学生梳理知识点，把握知识结构，提高课堂效果。为了确保板书清晰易懂，我会采用规范的书写格式，字体大小适中，颜色搭配合理，关键知识点用不同颜色的粉笔标注，以便学生更容易关注到重点内容。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到可能出现的问题和挑战，例如部分学生对SSS判定法的理解可能存在困难，课堂互动环节可能出现冷场等。为了应对这些问题，我会时刻关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。对于理解有困难的学生，我会进行个别辅导，耐心解答他们的疑问。对于课堂互动环节，我会设计更多有趣的实践活动，激发学生的参与热情。
12.2 三角形全等的判定
12.2 三角形全等的判定教学目标1．探索并记住三角形全等的四种判定方法．2．能利用四种判定方法证明两个三角形三角形全等，并能利用三角形全等证明有关题目．3．掌握证明三角形全等的标准格式．教学重点三角形全等的判定．教学难点三角形全等的证明方法及应用．课时安排6课时．教案A第1课时教学内容三角形全等的条件（SSS）．教学过程一、导入新课如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．•反之，•如果△ABC 与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′．提出问题：一定要满足三条边分别相等，三条角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的．能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷的判定两个三角形全等呢？二、探究新知1．边边边定理教师引导学生先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两个角分别相等）．你画出的两个三角形一定全等吗？学生按上面的要求作图，并验证．通过画图可以发现，只给上述六个条件中的一个或两个条件，△ABC与△A′B′C′不一定全等．那么满足上述六个条件中的三个条件，画出的三角形能保证一定全等？教师让学生先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们全等吗？教师指导学生学生按上面的要求作图，并验证．画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，B′C′＝BC：（1）画B′C′＝BC；（2）分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；（3）连接线段A′B′、A′C′．师生共同归纳出下面判定两个三角形全等的定理：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．2．边边边定理的应用例1 在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．Array分析：要证明△ABD≌△ACD，只需要看这两个三角形的三条边是否分别相等．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）．提示：AD既是△ABD的边又是△ACD的边．我们称它为这两个三角形的公共边．教师指出由三边分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法．让学生把文字叙述改写成数学语言，并加以证明．例2 已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．作法：（1）如下图，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，CD•长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'作射线O'B'，∠A'O'B'＝∠AOB．三、课堂小结1．记住“边边边”定理内容．2．会用“边边边”定理判定全等三角形，并能解决简单的问题．四、布置作业习题12.2第1题．第2课时教学内容三角形全等的条件（SAS）教学过程一、导入新课教师让学生先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A．把画好的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们全等吗？二、探究新知1．边角边定理教师指导学生按上面的要求作图，并验证．画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A．（1）画∠DA′E＝∠A；（2）在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′ ＝AC；（3）连接B′C．师生共同归纳出判定两个三角形全等的定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（简写成“边角边”或“SAS”）2．定理的应用例1 如图，有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，Array可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，•使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？分析：如果能够证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件．证明：在△ABC和△DEC中，CA＝CD，∠1＝∠2，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴AB＝DE．提示：全等三角形的对应角、对应边相等．所以证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应角、对应边相等．让学生思考以下问题：例2 把一长一短的两根木棍的一端用螺钉固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？学生思考后，教师进行点评．△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．三、课堂小结1．记住“边角边”定理内容．2．会用“边角边”定理判定全等三角形，并能解决简单的问题．四、布置作业习题12.2第2题．第3课时教学内容三角形全等的条件（ASA、AAS）．教学过程一、导入新课教师让学生先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B．把画好的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们全等吗？二、探究新知1．边角边定理教师指导学生按上面的要求作图，并验证．画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B；（1）画A′B′＝AB；（2）在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E相交于点C′．师生共同归纳出判定两个三角形全等的定理：两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．2．定理的应用例1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B Array＝∠C，求证AD＝AE．分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE．证明：在△ACD与△ABE中，∵∠A＝∠A（公共角），AC＝AB，∠C＝∠B，∴△ACD≌△ABE（ASA）．∴AD＝AE．提示：∠A既是△ABD的角又是△ACD的角，我们称它为这两个三角形的公共角．例2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，求证△ABC与△DEF全等．分析：如果能证明∠C＝∠F，就可以利用“角边角”证明△ABC与△DEF全等．由三角形内角和定理可以证明∠C＝∠F．运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD．让学生完成此例题的解答过程，教师及时点评，并引导学生归纳规律，得到结论：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写为角角边或AAS）．三、课堂小结1．记住“角边角”或“角角边”定理内容．2．会用“角边角”定理判定全等三角形，并能解决简单的问题．四、布置作业习题12.2第4题．第4课时教学内容直角三角形全等的条件（HL）．教学过程一、导入新课思考：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？二、探究新知1．边角边定理学生根据前面所学的三角形全等的判断方法可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．教师提出问题：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？画一个Rt△A′B′C，使∠C´＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB；（1）画∠MC′N＝90°．（2）在射线C′M上取B′C′＝BC．（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′．（4）连接A′B′．教师指导学生学生按上面的要求作图，并验证．同时总结规律得判定直角三角形的全等的一个方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．定理的应用例如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD，求证BC＝AD．分析：欲证BC＝AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC•具备全等的条件．证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC＝BD，AB＝BA．∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC＝AD．三、课堂小结1．记住“HL”定理内容．2．会用“HL”定理判定全等三角形，并能解决简单的问题．四、布置作业习题12.2第7题．第5课时教学内容三角形全等的五个判断方法．教学过程一、导入新课让学生回忆证明两个三角形全等的判断方法，对于直角三角形又有一个特殊的判断方法是什么？二、探究新知1．判定和性质提示：判定两个三角形全等必须有一组边对应相等．2．定理的应用例1 如图，已知∠B＝∠DEF，BC＝EF，补充条件求证ΔABC≌ΔDEF．（1）若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；（2）若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿；（3）若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；（4）若要以“SSS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；让学生根据所学的判断方法，填写所需的条件．参考答案（1）AB＝DE（2）∠ACB＝∠F（3）∠A＝∠D（4）AB＝DE，AC ＝DF例2 如下图，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？让学生根据所学的判断方法，选择证明此题的判断方法．教师及时点评，并规范标准步骤．解：∵∠CAE＝∠BAD（已知）∴∠CAE＋∠BAE＝∠BAD＋∠BAE（等量减等量，差相等），即∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE（AAS）．练习下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等让学生根据所学的判断方法，选择此题的答案．答案D三、课堂小结1．记住判定三角形全等的五种定理内容．2．会用三角形全等的五种定理判定全等三角形，并能解决简单的问题．四、布置作业习题12.2第13题．第6课时教学内容三角形全等的应用．教学过程一、导入新课问题：小红不慎将一块三角形模具打碎为两块，她是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？为什么？答案：由“角边角”可知应带含有两个角的那一块，利用这块能配出一个与原来全等的三角形模具．二、探究新知1．证明线段（角）相等教师指出证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应角、对应边相等．例1 已知：BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，Array求证：DE＝DF．让学生根据所学的判断方法，选择证明此题的判断方法．教师及时点评，并规范标准步骤．证明：∵∠ABD＝∠ACD，∴∠EBD＝∠FCD．又∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠E＝∠F＝90°．在△DEB和△DFC中，∵∠E＝∠F，∠EBD＝∠FCD，BD＝CD，∴△DEB≌△DFC（AAS）．∴DE＝DF．2．二次全等例2 如图，已知E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？让学生根据所学的判断方法，选择证明此题的判断方法．教师及时点评，并规范标准步骤．Array解：∵在△EBC和△EBD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EB＝EB，∴△EBC≌△EBD（AAS）．∴BC＝BD．在△ABC和△ABD中，AB＝AB，∠1＝∠2，BC＝BD，∴△ABC≌△ABD（SAS）．∴AC＝AD．提示：有些结论不能通过证明三角形全等直接得到，而要通过二次证明全等或者更多，而后一次证明三角形全等缺少的条件往往要通过前一次全等来提供．三、课堂小结1．知道三角形全等的性质的应用．2．会用二次三角形全等解决简单的问题．四、布置作业教材第56页第13题．教案B第1课时教学内容三角形全等的条件（SSS）．教学过程一、导入新课已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边．思考：满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？提问1：当满足一个条件时, △ABC与△A′B′C′全等吗？一个条件：一边；一角．独立思考思考问题．学生发现需要再分两种情况进行说明，即一条边分别相等、一个角分别相等．在探究过程中，可以通过画图加以说明，也可以利用三角尺等进行说明．提问2：当满足一个条件时, △ABC与△A′B′C′全等吗？两个条件：两边；一边一角；两角．学生独立思考，教师适时点拨，最后达成共识：满足“两个条件”分两边、一边一角或两角分别相等三种情况．学生分三组分别进行探究，通过画图、展示交流，最后得出结论：只满足“两个条件”的两个三角形不一定全等．提问3：当满足三个条件时,△ABC 与△A′B′C′全等吗？三个条件：三边；三角；两边一角；两角一边．学生回答问题，并相互补充，发现需要分四种情况进行研究，即三边、三角、两边一角、两角一边分别相等．二、探究新知尺规作图：探究“边边边”判定方法．先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上．教师指导学生学生按上面的要求作图，并验证．画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，B′C′＝BC：（1）画B′C′＝BC；（2）分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；（3）连接线段A′B′、A′C′．教师指导学生画法，学生操作、思考并小组交流．通过作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，获得三角形全等的“边边边”判定方法．在概括基本事实的过程中，引导学生透过现象看本质，锻炼学生用数学语言概括结论的能力．思考：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和数学语言概括吗？边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”．三、应用提高问题：我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．你能解释其中的道理吗？例1 在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．师生共同分析解题思路，即要证明两三角形全等，就要看这两个三角形的三条边是否分别相等，题中有一个隐含条件AD是两个三角形的公共边．学生口述证明过程，教师板书．应用：用尺规作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′＝∠AOB．教师指导学生用尺规作图．让学生运用“SSS”条件进行尺规作图，同时体会作图的合理性，增强作图技能．四、自我检测已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在直线上，AD＝FB（如图所示），要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC＝FE，BC＝DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？参考答案：AB＝FD．AD＝FB两边都加上DB即可得到AB＝FD．五、课堂小结谈谈你的收获和体会．教师引导学生回答，并补充完善．通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——构建三角形全等条件的探索思路，以及判定三角形全等的“边边边”方法．六、布置作业习题12.2第1题．第2课时教学内容三角形全等的条件（SAS）．教学过程一、导入新课复习：1．如何判定三角形全等？2．有没有其他判定全等的方法呢？学生回答后教师板书课题．通过这一问题情境使学生轻松地进入了本节课的学习，既交代了本节课要研究和学习的主要问题，使学生对新知识有了期待，为本节课的顺利完成做好了铺垫．二、探究新知尺规作图，探究边角边的判定方法．问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A＇＝∠A，C′A′＝CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？教师演示，学生操作、观察，得出实验结果，师指导归纳总结边角边公理．归纳概括：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．练习：下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由．学生小组讨论后，教师提问．简单应用“SAS”进行判断，提高学生的应用意识．三、应用提高如图，有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C 不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，•使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？先引导学生分析题目，再出现过程，运用“SAS”判定方法证明简单几何证明题，规范学生的书写格式，并感悟数学的应用价值．问题：把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？学生思考后，教师进行点评．两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．四、自我检测1．如右图，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边Array公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是_________；还需要一个条件___________（这个条件可以证得吗？）．2．如下图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________，还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？）．参考答案：1．AC＝CA；∠BCA＝∠DAC．2．AB＝AC，AD＝AE；∠DAB＝∠EAC．五、课堂小结谈谈你的收获和体会．学生回答，教师归纳补充，通过回顾总结，加深对所学知识的理解，并建立知识之间的内在联系．六、布置作业习题12.2 第2题．第3课时教学内容三角形全等的条件（ASA ）． 教学过程 一、导入新课问题：工艺厂的一块三角形玻璃摔成了三块，要配一块与原来一样的三角形，为了方便，只拿其中的一块．拿哪一块最好呢？为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．二、探究新知活动一：1．先任意画一个△ABC ，再画一个满足A ′B ′＝AB ，∠A ′＝∠A ，∠B ′＝∠B 的△A ′B ′C ′． 2．观察两个三角形中所给的两角和边之间的位置有什么关系？3．把画好的△A ′B ′C ′剪下，放在△ABC 上，看看它们是否重合，也就是是否全等．4．上面的探究反映了什么规律？师生根据探究发现的规律概括得出结论“ASA ”．结论：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA ”）5．回到开头的问题：应带哪一块最好？为什么？ 活动二：解答下面问题，你能获得什么结论？ 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，求证△ABC 与△DEF 全等．结论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）．三、应用提高例题：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证AD ＝AE ．分析：证明△ACD ≌△ABE ，就可以得出AD ＝AE ． 证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A ＝∠A （公共角）， AC ＝AB ，∠C ＝∠B ， ∴△ACD ≌△ABE （ASA ）． ∴AD ＝AE ．变式：若把例题中的AB ＝AC 改成AD ＝AE ，其他条件不变．那么，AB 与AC 相等吗？引导学生观察图形分析题中的隐含条件，通过例题及其变式,进一步巩固所学的知识．四、自我检测1．观察下图中的两个三角形，它们全等吗？请说明理由．50︒50︒45︒45︒DCAB (1)2．如下图，若AE ＝BC ，这两个三角形全等吗？请说明理由． 29︒29︒DCA B (2)E参考答案：1．∵∠DAC ＝∠BAC ＝45°，∠BCA ＝∠DCA ＝50°，AC ＝CA ；∴△BAC ≌△DAC ．2．∵∠EAC ＝∠CBD ＝90°，∠ECA ＝∠CDB ＝29°，AE ＝BC ；∴△EAC ≌△CBD ．四、课堂小结让学生谈谈这一节的收获．五、布置作业习题12.2第4题．第4课时教学内容直角三角形全等的条件（HL）．教学过程一、导入新课问题1：如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？教师出示情境问题，学生思考回答，引出课题．二、探究新知探究归纳“HL”判定方法．问题2：任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C´＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？以学生画图活动为主线展开探究活动，注重“HL”条件的发生过程和学生的亲身体验，从实践中获取“HL”条件，培养学生探究、发现、概括规律的能力．培养学生动手操作与勇于探究的能力．师生共同概括直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．三、应用提高例如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD，求证BC＝AD．分析：欲证BC＝AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC•具备全等的条件．证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC＝BD，AB＝BA．∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC＝AD．变式：如上图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．四、自我检测判断：1．一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等．（）2．一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）3．一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）4．两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）5．两边对应相等的两个直角三角形全等（）6．两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）7．一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）8．一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）参考答案：√√√√××××五、课堂小结复习本节内容，巩固所学知识．六、布置作业习题12.2第7题．第5、6课时教学内容复习课．教学过程一、复习归纳1．回答下列问题：（1）判定两个三角形全等的方法有哪些？（2）判定两个直角三角形全等的方法有哪些？（3）在三角形全等的判定方法中，至少要几个条件？2．已知：如下图，（1）当AB＝DC时，再添一个条件证明△ABC≌△DCB，这个条件可以是．（2）当∠A＝∠D时，再添一个条件证明△ABC≌△DCB，这个条件可以是．分析说明：在△ABC 和△DCB 中，已经具备了什么条件？（1）若要以“SAS”为依据，还缺条件；（2）若要以“ASA”为依据，还缺条件；（3）若要以“AAS”为依据，还缺条件；（4）若要以“SSS”为依据，还缺条件．证明两个三角形全等的基本思路：①已知两边；②已知一边一角；③已知两角．教师出示问题，学生回答，并引导学生进行分析进行总结现证明两个三角形全等的基本思路．通过两个问题的设置，既对所学习过的全等三角形判定方法进行复习，又引导学生对三角形全等的判定形成基本的解题思路．二、应用提高1．例题如图，（1）若AB＝DC，∠A＝∠D，你能证明哪两个三角形全等？（2）若AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，你能证明哪两个三角形全等？2．变式训练变式1：如上图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线，求证：AB＝DC．变式2：如上图，AB＝DC，AC＝DB．求证：EA＝ED．变式3：如下图，AB＝DC，AC＝BD．求证：EA＝ED．变式4：如下图，延长BA、CD交于点P．（1）若P A＝PD，PB＝PC．求证：BE＝CE；（2）若P A＝PD，∠B＝∠C．求证：BE＝CE；（3）若P A＝PD，∠BAC＝∠BDC．求证：BE＝CE．通过引导学生对例题的分析及进行变式训练，既培养学生发散性思维能力，同时也培养学生的辨别能力，让学生学会比较，会选择适当的方法证明两个三角形全等，培养严谨的思维能力．三、体验收获证明两三角形全等的步骤：1．先确定要证哪两个三角形全等；2．在图中标出相等的边和角（公共边、公共角以及对顶角都是隐含条件）；3．分析已知条件，欠缺条件，选择判断方法．学生交流在上一环节所得经验，对证明方法进行总结归纳，提升学生运用知识解决实际问题的能力．四、练习提高教材第55页复习题12第3、4、7、8、9题．通过练习检测复习效果．。
12.2三角形全等的判定(SSS)
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E
F
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
思考：
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?
1.只给一个条件
1.只给一条边时； 3㎝ 3㎝
2.只给一个角时；
45◦
45◦
结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件，你能说出有 哪几种可能的情况？
①三角； ②三边；
③两边一角；
④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等
⑵三条边
已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4）
叫判 做断 证两 明个 三三 角角 形形 全全 等等 。的
推 理 过 程 ，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先 证好；
②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
练习: 已知：如图，AB=AD，BC=DC，
3cm
4cm
6cm
6cm 4cm
4cm 6cm
3cm
3cm
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使 A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪 下，放到△ABC上，他们全等吗？ 画法:
1.画线段 B’C’ =BC;
2.分别以 B’ ， C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两 弧交于点A’;
3. 连接线段 A’B’ ， A’C’ .
12.2 三角形全等的判定(4课时)
12．2三角形全等的判定第1课时边边边一、基本目标【知识与技能】1．会使用“边边边”证明三角形全等．2．会根据“边边边”作一个角等于已知角．【过程与方法】经历探索三角形全等条件的过程，体验由操作、归纳得出结论的过程．【情感态度与价值观】通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的水平．二、重难点目标【教学重点】掌握两个三角形全等的判定条件——“边边边”．【教学难点】探索三角形全等的条件的过程．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．三边分别相等的两个三角形全等(能够简写成“边边边”或“SSS”)．2．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF.3．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6.4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是SSS.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学)【例1】如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：△ABC ≌△ADC .【互动探索】(引发学生思考)要证△ABC ≌△ADC ，只需看这两个三角形的三边是否相等．【证明】在△ABC 与△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)注意使用“SSS ”证三角形全等时的证明格式；在证明过程中擅长挖掘“公共边”这个隐含条件．【例2】如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点E 、C 在直线BF 上，且BE ＝CF .求证：△ABC ≌△DEF .【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS ”证明△ABC ≌△DEF .【证明】∵BE ＝CF ，∴EC ＋BE ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF . 在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝EF ，AB ＝DE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【例3】如图，AB ＝AD ，DC ＝BC ，∠B 与∠D 相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC 构造三角形．【解答】结论：∠B ＝∠D . 理由如下：连结AC . 在△ADC 和△ABC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AC ＝AC ，DC ＝BC ，∴△ADC ≌△ABC (SSS)， ∴∠B ＝∠D .【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B 与∠D 相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，能够考虑添加辅助线证明．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，线段AD 与BC 交于点O ，且AC ＝BD ，AD ＝BC ，则下面的结论中不准确的是( C )A ．△ABC ≌△BADB ．∠CAB ＝∠DBAC ．OB ＝OCD ．∠C ＝∠D2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC .由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是SSS.3．如图，AC 与BD 交于点O ，AD ＝CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE ＝CF ，DE ＝BF .求证：(1)∠D ＝∠B ； (2)AE ∥CF .证明：(1)在△ADE 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，AD ＝BC ，DE ＝BF ，∴△ADE ≌△CBF (SSS)， ∴∠D ＝∠B .(2)∵△ADE ≌△CBF ， ∴∠AED ＝∠CFB .∵∠AED ＋∠AEO ＝180°，∠CFB ＋∠CFO ＝180°， ∴∠AEO ＝∠CFO ， ∴AE ∥CF .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时 边角边一、基本目标 【知识与技能】掌握三角形全等的“SAS”判定方法，并能实行简单的应用． 【过程与方法】经历探究两个三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程，进而培养学生有条理的分析、推理水平．【情感态度与价值观】通过探究活动，体会数学充满了探索和创造，提升学生的学习热情．二、重难点目标【教学重点】应用“SAS”证明两个三角形全等．【教学难点】理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(能够简写成“边角边”或“SAS”)．2．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．3．如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，根据“SAS”可得到△AOD≌△COB，从而能够得到AD＝CB.4．如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是∠ADC＝∠ADB.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，假设∠A＝∠B就可证△AEF≌△BCD.由AE∥BC 可得∠A ＝∠B .【证明】∵AE ∥BC ， ∴∠A ＝∠B . ∵AD ＝BF ， ∴AF ＝BD .在△AEF 和△BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，∴△AEF ≌△BCD (SAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等，则角必须是两边的夹角．【例2】如图，BC ∥EF ，BC ＝BE ，AB ＝FB ，∠1＝∠2.若∠1＝45°，求∠C 的度数．【互动探索】(引发学生思考)假设△ABC ≌△FBE ，就能够得出∠C ＝∠BEF ，从而由BC ∥EF 得到∠C ＝∠BEF ＝∠1，问题得解．【解答】∵∠1＝∠2， ∴∠ABC ＝∠FBE .在△ABC 和△FBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BE ，∠ABC ＝∠FBE ，AB ＝FB ，∴△ABC ≌△FBE (SAS)， ∴∠C ＝∠BEF . 又∵BC ∥EF ，∴∠C ＝∠BEF ＝∠1＝45°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( A )A ．∠1＝∠2B ．∠B ＝∠C C ．∠D ＝∠ED ．∠BAE ＝∠CAD2．以下条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( C )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF B ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF C ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DF D ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF3．如图，已知AB ＝AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？解：AC 平分∠BAD .理由： ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC . 在△ABC 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌ADC (SAS)， ∴∠ACB ＝∠ACD ， ∴AC 平分∠BCD .活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连结AE 、CG .求证： (1)AE ＝CG ； (2)AE ⊥CG .【互动探索】观察图形，证明△ADE ≌△CDG ，就能够得出AE ＝CG ，再结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AE ⊥CG .【证明】(1)∵四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，∴AD ＝CD ，GD ＝ED .∵∠CDG ＝90°＋∠ADG ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ， ∴∠CDG ＝∠ADE .在△ADE 和△CDG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，DE ＝GD ，∴△ADE ≌△CDG (SAS)， ∴AE ＝CG .(2)设AE 与DG 相交于点M ，AE 与CG 相交于点N . 在△GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED . 又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°， ∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°， ∴∠GNM ＝90°， ∴AE ⊥CG .【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是证得△ADE ≌△CDG . 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第3课时 角边角与角角边一、基本目标 【知识与技能】掌握三角形全等的证明方法“ASA”和“AAS”，并能解决相对应的实际问题． 【过程与方法】经历探究全等三角形判定的过程，进一步体会由操作、归纳获得数学规律的过程． 【情感态度与价值观】1．通过尺规作图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践水平和创新精神．2．培养良好的几何推理意识，发展数学思维，感悟全等三角形的应用．二、重难点目标【教学重点】已知两角一边的三角形全等的探究．【教学难点】灵活使用三角形全等条件证明三角形全等．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(能够简写成“角边角”或“ASA”)．2．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(能够简写成“角角边”或“AAS”)．3．能确定△ABC≌△DEF的条件是(D)A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E4．如下列图，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：∠B ＝∠C，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)教师点拨：此题答案不唯一，还能够填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.【互动探索】(引发学生思考)假设∠A ＝∠C ，∠DF A ＝∠BEC ，就可用“SAS ”证△ADF ≌△CBE .由已知中的平行线段，可得∠A ＝∠C ，∠DF A ＝∠BEC .【证明】∵AD ∥BC ，BE ∥DF ， ∴∠A ＝∠C ，∠DF A ＝∠BEC . ∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠DF A ＝∠BEC ，∴△ADF ≌△CBE (ASA)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在“ASA ”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．【例2】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 交于点F ，若BF ＝AC ，求证：△ADC ≌△BDF .【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC ≌△BDF ，只需证∠DAC ＝∠DBF 即可．又在Rt △ADC 与Rt △BDF 中，利用“等角的余角相等”即可得∠DAC ＝∠DBF .【证明】∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝90°.∵∠AFE ＝∠BFD ，∠DAC ＋∠AFE ＝90°，∠BFD ＋∠DBF ＝90°， ∴∠DAC ＝∠DBF .在△ADC 和△BDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，∴△ADC ≌△BDF (AAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．(2)有直角三角形就有互余的角，利用“同角(等角)的余角相等”是证角相等的常用方法．活动2 巩固练习(学生独学)1．完成教材P41“练习”第1～2题． 略2．如图，点B 在线段AD 上，BC ∥DE ，AB ＝ED ，BC ＝DB .求证：∠A ＝∠E .证明：∵BC ∥DE ， ∴∠ABC ＝∠BDE .在△ABC 和△EDB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠ABC ＝∠BDE ，BC ＝BD ，∴△ABC ≌△EDB (SAS)， ∴∠A ＝∠E .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第4课时 斜边、直角边一、基本目标 【知识与技能】1．掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(或HL)． 【过程与方法】经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． 【情感态度与价值观】通过探究与交流解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性． 二、重难点目标 【教学重点】直角三角形全等的判定方法的理解和应用．【教学难点】利用直角三角形全等的判定定理解决问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(能够简写成“斜边、直角边”或“HL ”)．2．判定两个直角三角形全等的方法有SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL.(用简写字母) 3．假设两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是( B )A ．AASB ．SASC ．HLD ．SSS环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.【互动探索】(引发学生思考)能够通过证△ABC ≌△ADC 得到∠1＝∠2.结合已知条件，能够利用“HL ”得到Rt △ABC ≌Rt △ADC .【证明】∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ， ∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 均为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ，AB ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)， ∴∠1＝∠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)直角三角形除一般证全等的方法，“HL ”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上说明“Rt △”．【例2】如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD .求证：AD ＝BC .【互动探索】(引发学生思考)观察图形，不能直接通过证△AOD 与△BOC 得到结论，需作辅助线CD ，用“HL ”证明Rt △ADC ≌Rt △BCD ，即得AD ＝BC .【证明】连结CD . ∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD ， ∴∠A ＝∠B ＝90°.在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝CD ，AC ＝BD ，∴Rt △ADC ≌Rt △BCD ， ∴AD ＝BC .【互动总结】(学生总结，老师点评)观察图形，当不能直接通过全等证边(或角)相等时，可根据图形特点作辅助线或转化为证其他边(或角)相等．活动2 巩固练习(学生独学)1．以下条件，不能判定两个直角三角形全等的是( B ) A ．斜边和一直角边对应相等 B ．两个锐角对应相等 C ．一锐角和斜边对应相等D ．两条直角边对应相等2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B 、C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE ，若BD ＝4 cm ，CE ＝3 cm ，则DE ＝7cm.3．如图，点C 、E 、B 、F 在一条直线上，AB ⊥CF 于点B ，DE ⊥CF 于点E ，AC ＝DF ，AB ＝DE .求证：CE ＝BF .证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ， ∴∠ABC ＝∠DEF ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL)，∴BC ＝EF ，∴BC －BE ＝EF －BE ，即CE ＝BF . 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AD 、AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，假设AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .【互动探索】要证BC ＝BE ，能够通过三角形全等解决，此题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？【证明】∵AD 、AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，∴∠ADC ＝∠AFE ＝90°.在Rt △ADC 和Rt △AFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，AD ＝AF ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)， ∴CD ＝EF .同理可证Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)， ∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF ，即BC ＝BE .【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等能够通过证明三角形全等解决，在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
12.2_三角形全等的判定(ASA)
证明： 在△ACD ≌ △ABE中，
∠A= ∠A AC=AB ∠C=∠B ∴△ACD ≌ △ABE （ASA） ∴ AD=AE
巩固与提高
1.已知:如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB．
证明:在△ABC和△DCB中，
又∵AB = AC
∴BD = CE
巩固与提高
4、如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC． 证明：∵ ∠DAB =∠EAC， A ∴ ∠DAC =∠EAB. ∵ AE⊥BE，AD⊥DC， D ∴ ∠D =∠E =90°. 在△ADC 和△AEB 中,
E
∠DAC =∠EAB， ∠D =∠E， CD =BE，
_____________ OB=OD _____________ ∠B =∠D __________
OA=OC _____________ ∠A =∠C _____________ ASA 根据：_______
例3 .如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC, ∠B= ∠C. 求证:AD=AE.
ASA
复习
1.什么是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么条件?
边边边：三边对应相等的两个三角形全等。
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形 边角边： 全等。
复习
在△ABC 和△A′B′C′中，
AB=A′B′
AC= A′C′ BC= B′C′
(SSS) ∴△ABC≌ △A′B′C′
复习
边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等（“边角边”或 “SAS”）
∴ △ADC ≌△AEB（AAS）． ∴ AC =AB．
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授课学案
【知识回顾与检测】
1.如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•则这两个三角形中相等的边 。
相等的角 。
图1 图2
2.如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的
对应角 对应边：AB AE BE 【作业批改与讲解】作业完成情况良好 【知识讲解与练习】
探究1 1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的
三角形一定全等吗？
D
C
A
B
O
D
C
A
B
E
D
C
B A E 总结：通过我们画图 可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等。
探究2 先任意画出一个△ABC ，再画一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB ，B ′C ′=BC ，C ′A ′=CA ．把画出的△A ′B ′C ′剪下来，放在△AB 上，它们能完全重合吗？（即全等吗）
由探究2可以得到：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.用它可以判定两个三角形全等。
例1）如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A
与BC 中点D 的支架．
求证：△ABD ≌△ACD ． 证明：∵D 是BC 的中点
∴__________________________
在△ABD 和△ACD 中
(AB AC BD CD AD AD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
公共边)
∴△ ≌△ （ ）．
探究3 先任意画出一个△ABC ，再画一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB ， A ′C ′=AC ，∠A ′=∠A 。
把画出的△A ′B ′C ′剪下来，放在△AB 上，它们全等吗？
由探究3可以得到：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）
例2）如图所示有一池塘，要测池塘两侧A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，•使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？
探究4 先任意画出一个△ABC ，再画一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′=AB ，∠A ′=∠A ，∠B ′=∠B 。
把画出的△A ′B ′C ′剪下来，放在△AB 上，它们全等吗？
由探究3可以得到：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）
例3） 如图D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：AD=AE ．
例4）在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？
证明：
因此，我们可以得到以下结论：
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
探究5 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt•△A′B′C′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，•它们全等吗？
由探究5可以得到，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
例5）如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．
【课堂总结与评价】
回顾判定全等三角的几种方法
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_______________________ _______________________
_______________________
【作业布置与反馈】
1、如图1，△ABN ≌△ACM ，∠B ＝∠C ，AC ＝AB ，则BN ＝＿＿＿＿，∠BAN=______,_____=AN,_____= ∠AMC.
109
图1 图2
2、如图2，△ABC ≌△DEC ，CA 和CD ，CB 和CE 是对应边，∠ACD 和∠BCE 相等吗？为什么？
3、如图3，C 是AB 的中点，AD
＝CE ，CD ＝BE ，求证：△ACD ≌△CBE
3D
4、如图，AD ＝BC ，AC ＝BD ，
求证：（1）∠DAB ＝∠
CBA （2）∠ACD ＝∠BDC
5
4
图4 图5
5、如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，
AC ＝DF ，BE ＝CF ，
求证： （1）△ABC ≌△DEF
（2）AB ∥DE
B
6、如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC = EB, ∠C = ∠B 求证：（1）△ACD ≌ △ABE
(2) AC = AB
7、如图AB ＝CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE ＝BF 求证：（1）AE ＝DF （2）C D ∥AB
成绩：________________。