RLC电路弹簧耦合系统的非线性动力学分析

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河 北 理 工 学 院 学 报 第 27 卷
2 但微小的扰动就会使这种状态发生改变 。当 ζ 轴相重合 , 设 ζ= sec h φ, 可以得到 : 1 =ζ 2 时 , G2 与 ζ
a1 =
ζ= E
E
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sin x, 则 :
2
ω1 4 α 式中 η = ζ 3 -ζ 2 由此可得到 : ζ 3 -ζ 1
υ Dx
E D T1
=±
(ζ 3 - ζ 1 ) ( 1 - η sin x
2
2
( 8)
2 ζ =ζ ζ ( 9) 3 - ( 3 - ζ 2 ) sn [ k ( t - t 0 ) ;η ] 上式表明 :在没有阻尼的内共振情况下 , 振动在两种模态下持续转换 , 没有能量损失 , 当一个模态的能量减小 时 , 另一个模态的能量增大 。当初始值为 a1 ( 0 ) = 2, a2 ( 0 ) = 1 时 , 如图 3 所示 , 当初始值为 a1 ( 0 ) = 1, a2 ( 0 )
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第 4 期 崔一辉 ,等 : RLC 电路弹簧耦合系统的非线性动力学分析 υ ω1 Dζ 4 α E
1 2 1 2 δ , 弹簧的势能 V = 1 Kx2 , 电容器的电能 W e = 1 S - x q2 。 m x , 磁能为 W m = L 2 2 2 2 A
根椐拉格朗日一麦克斯韦方程
[4 ]
, 可得到该系统的运动微分方程为 :
μ Ωt q ¨ +ω1 q = - 2 ^ q +αqx + f1 co s μ Ωt x ¨ +ω2 x = βq - 2 ^2 x + f2 co s 式中 ,ω1 =
式中 T0 = t, T1 =ωt,ω是小参数 。 同时 , 给各参数赋值 , 以便于定量求解 ; 2 Ω, E0 = 10V , S = 0. 1m , A = 0. 01m , m = 0. 015 g, R = 0. 05 F0 = 1. 5N ,μ = 0. 001m 3 N /S, L = 0. 0016 F, K = 369. 735N /m. 此时 ,ω1 = 12. 5Hz,ω2 = 25Hz。 2. 1 弹簧系统的固有频率与电路系统的固有频率成 2 ∶1 关系 当电场力和周期激励都为零时 , 调整弹簧系统的固有频率与电路系统的固有频率成 2 ∶1 内共振关系 , 式 ( 1 )中各频率满足关系 : ω2 ≈ 2 ω1 ] ω2 = 2 ω1 +ε σ1 ( 3) 对式 ( 1 ) 进行分析 , 可以得到消除永年项条件 : σ ′ i T - 2ω i 1 A1 - 2 μ i 1ω1 A1 +α A1 A2 e 1 1 = 0 ( 4) ′ 2 -σ i 1T1 - 2ω i 2 A2 - 2 μ i 2ω2 A2 +β A1 e =0 1 θ 1 θ i i 设 A1 = a1 e 1 A2 = a2 e 2 , 其中 an ,θ n 是实数 , 可得到 : 2 2 1 -1 ′ ω1 αa1 a2 sin γ a1 = - μ 1 a1 + 1 4 1 -1 2 ′ ω2 βa1 sin γ a2 = - μ 2 a2 1 4 ( 5) 1 -1 ′ ω1 αa1 a2 co s γ a1θ 1 = 1 4 1 -1 2 ′ ω2 βa1 co s γ a2θ 2 = 1 4 θ θ σ1 T1 式中 γ 1 = 2 - 2 1 + 将式 ( 5 ) 中的 γ 1 消掉 , 可以得到式子 : μ 2ω 2α 2 2 ( 6) a1 + a2 = 0 μ 1ω 1β 很显然 α,β同号 , a1 , a2 都有界 , 且幅值被另一个模态控制 。 α ω2 2 μ ζ( E 为常数 ) , 则 : 考虑特例 μ , a =E 1 = 2 = 0 的情况 , 令 υ = β ω1 1
第 27 卷 第 4期 2005 年 11 月
河 北 理 工 学 院 学 报 Journa l of Hebe i I n stitute of Technology
Vol127 No14 Nov . 2005
文章编号 : 1007 2 2829 ( 2005 ) 04 2 0049 2 06
0 引言
电路中电容器的极板在电场力的作用下会产生振动 。向裕民 研究了电容器和弹簧串联时极板的振 [2] 动、 证明极板的振动是非线性的 ,线性条件下的振动解仅为小幅振动下的粗糙近似 。姚仲瑜 利用拉格朗 日方程分析了 RLC 电路的暂态过程 ,得到与电磁学中用欧姆定律分析相一致的结果 。 S . K . Chakravarthy 研究了具有 spurious energisation 特征的电路的非线性振动 。结论表明 ,电路是否产生共振与系统的参数有 关 。但前人的研究大部分都是针对单自由度系统的 ,而当电子元器件与机械元件耦合 , 并加以外激励时 ,会 形成一个两自由度的系统 。选择不同的电路参数和机械参数 ,会产生不同的动力学现象 。通过对现象机理 的研究 ,可以趋利避害 ,从而使系统更稳定 、 更合理 。本文通过调节机电参数 。使电路系统与机械系统的固 有频率满足 1 ∶2 的比例关系 ,在此基础上 ,改变外激励的频率 ,使之与机械系统的固有频率相接近 ,分别研 究在内共振和双重共振两种情况下系统特有的动力学现象 ,得到几个对工程实践具有指导意义的重要结论 。
a1 = - μ 1 a1 + a2 = - μ 2 a2 ′ 1 ′ ′ ′
1 -1 ω1 αa1 sin γ 1 4 1 -1 2 1 -1 ω2 βa1 sin γ ω2 f2 sin γ 1 + 2 4 2
( 14 )
1 -1 γ a1θ = - ω1 αa1 a2 co s 1 4
a2θ 2 = -
2 2 2
2
( 1)
E0 F0 μ S K R 1 1 2 ,ω2 = ,μ ^1 = ,μ ^2 = ,α = ,β = , f1 = , f2 = AL m 2L 2m LA 2Am L m
收稿时期 : 2005 2 03 2 22 作者简介 :崔一辉 ( 1979 - ) , 男 , 河北唐山人 , 河北理工大学机械工程学院硕士生 。
E sec h [ k ( t - t0 ) ]
( 10 )
a2 =
υ
tanh [ k ( t - t0 ) ]
E
( 11 ) , 产生一个独立于低阶模态的振动 ,
当式 ( 7 ) 中 L1 =σ1 = 0 时 ,θ 时 , a1 ϖ 0, a2 ϖ 1 和θ 2 都是常数 , 当 tϖ ∞
υ
这样 , 具有内共振关系的耦合系统使得能量从低模态向高模态完全转移 , 但微小的扰动就会使其失去平衡 。 2. 2 外激励的频率与弹簧系统的固有频率接近 当外激励的频率与弹簧系统的固有频率接近时 , 式 ( 1 ) 中各频率满足关系 : Ω≈ ω2 ] Ω = ω2 +ε σ2 ( 12 ) ω2 ≈ 2 ω1 ] ω2 = 2 ω1 +ε σ1 在μ ^1 ,μ ^2 ,α,β , f2 前面冠以小参数 ε通过一系列数学变化 , 可得到消除永年项条件 :
2 2
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2
(
D T1
)
2
) =ζ ( 1 - ζ
2
υ
E
3
L1 +
ω2σ1 E 2 β υ
2
(1 - ζ )
) - G (ζ ) = F (ζ
2
( 7)
ζ 1 -ζ 式中 F = ± ,G= ±
υ
E
3
L1 +
ω2σ1 E 2 β υ
(1 -ζ ) , L1 为常数 。
函数 F、 G 的图解如图 2 所示 , 两曲线的交点可以是两个 , 如 G2 和 G3, 可能有三个交点 , 如 G1, ζ 1 Φζ 2 Φ ζ ζ ζ 取ζ 是ζ 3 ,ζ 2 ,ζ 3 之间的正值 ,ζ 2、 3 之间的周期运动 , 可以表示为雅可比椭圆函数 。令 ζ 3 - ζ= ( 3 -ζ 2 )
ζ 当ζ 是一个常数 , 此时 , a1 = 2 = 3 时 , G3 与 F 的一个分支正切 , ζ
ζ E 2 , a2 =
E (1 -ζ 2 )
υ
, 是周期运动 ,
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ω1ω2 [ 2 μ σ1 +σ2 ) ] 2 1μ 2 -σ 2 ( α β
= 1 时 , 两个模态的振幅都发生变化 , 但形式相似 , 如图 4 所示 。如果考虑阻尼 , 则振动的能量逐渐衰减 , 直
到消失殆尽 。初始值为 a1 ( 0 ) = 2, a2 ( 0 ) = 1 时 , 如图 5 所示 , 初始值为 a1 ( 0 ) = 1, a2 ( 0 ) = 1 时 , 如图 6 所 示。
2 分析求解
采用多尺度法
[5 ]
, 求系统的一次近似解 , 用 u1 , u2 分别代替 q和 x, 并定义 u1 和 u2 为 : u1 = u11 ( T0 , T1 ) +εu12 ( T0 , T1 ) u2 = u21 ( T0 , T1 ) +εu22 ( T0 , T1 ) ( 2)