一般级数ppt

法
一、 别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛 还是条件收敛? n 1 n 1、 ( 1) ； n 1 3 n 1 1 1 1 1 ； 2、 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ( 1) n 3、 . n 2 n ln n 二、若 lim n 2 un 存在,证明:级数 un 收敛 .
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
上定理的作用：
任意项级数


正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1
n 1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1



例6
sin n 判别级数 的收敛性. 2 n 1 n
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若
u
n 1

n
收敛,则
u
n 1

n
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
又 un ( 2v n un ),
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n

解
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数绝对收敛.

四、小结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
任意项级数
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散 ;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 5 判别级数 的收敛性. n1 n 2
解

x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
u1
n
数列 s2 n是有界的 ,
lim u2 n1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n1 lim( s2 n u2 n1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
n
n 1
b 3n 0. 三、证明: lim n n n! a
n
rn 的绝对值 则级数收敛,且其和 s u1 ,其余项
rn un 1 .
证明
un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2 n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
第三节
一般级数
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
Baidu Nhomakorabea
( 1) n 1

n 1
un或 ( 1) un (其中un 0)
n n 1

莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) un un 1 ( n 1,2,3,) ;(ⅱ)lim un 0 ,