复变函数的微积分
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复变函数的微积分
基本要求： 1. 理解解析函数的定义。 2．掌握C-R条件与解析函数及调和函数的关系 3. 掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及 关键步骤。 内容： 复变函数的导数，科希一里曼方程，解析函数， 共轭调和函数，平面标量场及多值函数；复变函数的 积分，单,复通区域上的科希定理和科希公式。
cf ( z)dz c f ( z)dz
l l
2。函数和的积分等于各函数积分的和
f ( z ) f ( z ) ...... f ( z ) dz 1 2 n l
f1 ( z )dz f 2 ( z )dz ....... f n ( z )dz
又u、v 满足C-R条件
u v , x y
u v , y x
故
c
f ( z )dz 0
25
推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连 通域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭 合曲线C (也可以是 B 的边界)，有
c （二）复连通域情形 如果区域内存在： （1）奇点 ；（2）不连续线 段； （3）无 定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来， 形成带孔的区域-复连通区域。
l l l
3。反转积分路径，积分值变号
20
l
l
f ( z )dz f ( z )dz
l
4。全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即： 如果 l=l1+l2+……+ln
f ( z)dz
l1
f ( z )dz f ( z )dz ...... f ( z )dz
9
f lim z 0 极限 是与 的方式无关的有限值 z 0 z
• 若复变函数可导，则其实部和虚部通过C-R 而联系起来
极坐标中的C-R方程：
u 1 v ,
1 u v ,
10
• 复变函数求导方法(如果存在）: 一、 已知 f(z), 求导: 与实变函数求导类似。
u u v v 1, 0, 0, 0, x y x y
不满足C-R条件 事实上 w x when z x 0, 1, z x w 0 when z iy 0, 0, z iy
8
z 沿实轴或虚轴， 0 or / 2,
23
y
c
f ( z )dz 0
o
B
c
l
x
证明：由路径积分的定义：
o
u u v v , , , 因 f(z)在 B上解析，因而 在B x y x y 上连续，
c
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
c c
24
对实部虚部分别应用格林公式
Q P x y dxdy cPdx Qdy s
将回路积分化成面积分
v u u v x y dxdy i s x y dxdy c f ( z)dz s
u v u v ; x y y x
两边对应相乘, 得
u v u v 0 x x y y
u v 0
15
u(x, y)=C1 与 v(x, y)=C2 互相正交;
2、2u=0 和 2v=0, 即 u 和 v 是调和函 数; 将
u v ; x y
3 2 3 2
df 2 2 -6xy 3i ( x - y ) dz 2 2 3i ( x y ) 2ixy
3
12
3iz i ( z )' f ( z ) iz
2 3
解析函数
一、 解析函数的 定义：如果单值函数f(z) 在点 z0及其邻域内处处可导，则称 f(z) 在 z0 点解析。 又若f(z)在区域B上每一点都解析（可导），则称 f(z)是区域B上的解析函数
z0
z0 邻 域
z0 点可导与 z0 点 解析的区别: 函数 f(z)=|z|2 (§1.4例2) 在 z=0 点可导，而在其他点均不可导，故 z=0 点不解析。
13
可导与解析的关系
z0 点可导
不一定！
z0 点解析
区域上可导
区域上解析
14
二. 解析函数的性质：若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上 解析，则 1、u(x, y)=C1 与 v(x, y)=C2 互相正交; 将C-R方程
6
df / dz 与z0 的方式无关， 3、f(z)可导， 因此 u v v u
从而：
x
i
x
y
i
y
u v , x y
v u x y
——柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程
C-R方程是可导的必要条件。
7
例:
w Re z x, u x, v 0,
l2源自文库ln
5。积分不等式1：
f ( z)dz
l
l
f ( z ) dz
6。积分不等式2：
l
f ( z )dz ML
21
其中 M 是 |f(z)| 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。
例 计算积分 I1 l Re zdz, 1 解 1 1
I 2 Re zdz,
l2
I1 xdx idy
zn
y
f (
k 1
n
zk-1 •
• k l •
zk
•
• B
k
)( zk zk 1 )
o
A • •z z0 1
x
17
若
n max|zk | 0 k 1
lim
f (
n
k
)( zk zk 1 )
存在且与k的选取无关, 则这个和的极限称 为函数f(z) 沿曲线l从A到B的路积分，记为
l
f ( z )dz f ( z )dz 0
i 1 li
n
l 为外边界线， li为内边界 线，积分沿边界线正向
证： 作割线连接内外边界线
28
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
0 0
y i l2
l2
1+i l1
1 i, 2 I 2 0 idy xdx
0 0 1 1
o
l1
1 x
1 2
一般言,复变函数的积分 不仅与起点和终点有关, 同时还与路径有关.
22
柯西（Cauchy）定理 ——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域 在其中作任何简单闭合围线，围线 内的点都是属于该区域内的点 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f(z) 在 闭单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中 任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 B 的边界l), 函数的积分为零。
w f ( z z ) f ( z ) lim lim z z 0 z z 0
dz
或 f ' ( z)
2
与实变函数导数的区别： 实变函数：x0；复变函数：z0
y 1、z=x 3、z=x+iy z0 2、z=iy
o
•
z0 方式图示
x
3
二、求导公式
dw n 1 wz nz ; dz
n
dw w sin z cos z; dz
二、已知 u(x,y)+iv(x,y), 求导:
dw u v v u i i dz x x y y (1.3.1)and (1.3.2)
11
例：
f ( z ) y 3 x y i ( x 3 xy )
n
30
柯西定理总结：
1。若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭合 曲线C(也可以是 B 的边界)的积分为零； 2。闭复连通区域上的单值解析函数沿所有 内外境界线正方向的积分为零； 3。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境 界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线 逆时针方向积分之和；
1
导
数
一、 导数的定义： 设 w f ( z ) z B 为单值函数， 即对于B上的每一个z值，有且只有一个w值与之 相对应。如果对于B上的某点z, 极限
存在，且与z0 的方式无关，则称函数 w =f(z) 在 z 点可导，此极限定义为函数 w=f(z) 在z点的导数（或微商）， 记为 df ( z )
d dw1 dw2 ( w1 w2 ) , dz dz dz d dw1 dw2 ( w1w2 ) w2 w1 , dz dz dz d w1 w1 ' w2 w1w2 ' ( ) , 2 dz w2 w2 dw dz 1/ , dz dw d dF d w F ( w) , dz d w dz
即
l
f ( z )dz
l
f ( z )dz
n max|zk |0 k 1
lim
f (
n
k
)( zk zk 1 )
18
分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy
l
f ( z )dz udx vdy i udy vdx
l l
31
由Cauchy 定理可推出： （与开头呼应！）
l AB l1 B ' A' CD l2 D 'C '
l
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
l1 l2
l
f ( z )dz f ( z )dz
i 1 li
29
n
即
l
f ( z )dz f ( z )dz
i 1 li
f lim z 0 z
0
z 0
满足C-R条件。可见C-R条件不是复变函数可导的充分条件
可导的充要条件：u(x,y) 和v(x,y) 的偏导数
u u v v , , , x y x y
存在、连续，且满足C-R条件, 则复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 可导。
参数形式：曲线l 的参数方程 {x=x(t), y=y(t)}, 起始点A 和结束点 BtA, tB
l
dy dx dx dy f ( z )dz u v dt i u v dt . dt dt dt dt tA tA
19
tB
tB
几个重要性质 1。常数因子可以移到积分号之外
26
f ( z )dz 0
一般言，在区域内，只要有一 个简单的闭合围线其内有不属 于该区域的点，这样的区域便 称为复连通域
y
l3 l2 B l1 l0 x
区域边界线的正向 当观察者 沿着这个方向前进时，区域 总是在观察者的左边。
o
27
复连通区域的Cauchy 定理： 如果 f(z) 是闭复连通区域 B 中的单值解析 函数，则
5
三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程 证明： 1、实轴方向 y
0, z=x
y
1、z=x
u iv u v lim i x 0 x x x
2、虚轴方向
z0
2、z=iy
x 0, z=iy
o
x
u iv v u lim i y 0 iy y y
2 2
u v y x
前式对x求导,后式对y求导, 相加, 得
u u 2 0; 2 x y
同理可得
v v —共轭调和函数 2 0; 2 x y
2 2
16
复变函数的积分
复变函数的积分 复平面上的路积分 • 定义: 复平面分段
光滑曲线L上的连续函 数 f(z)，作和
d n n 1 z nz , dz d z z e e , dz d sin z cos z , dz d cos z sin z , dz d 1 ln z , dz z
4
必须指出，复变函数和实变函数的导 数定义，虽然形式上一样，实质上却有很 大的不同．这是因为实变数Δ x只能沿着实 轴逼近零、复变数 Δ z 却可以沿复数平面 上的任一曲线逼近零．因此，与实变函数 的可导相比，复变函数可导的要求要严格 得多．
基本要求： 1. 理解解析函数的定义。 2．掌握C-R条件与解析函数及调和函数的关系 3. 掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及 关键步骤。 内容： 复变函数的导数，科希一里曼方程，解析函数， 共轭调和函数，平面标量场及多值函数；复变函数的 积分，单,复通区域上的科希定理和科希公式。
cf ( z)dz c f ( z)dz
l l
2。函数和的积分等于各函数积分的和
f ( z ) f ( z ) ...... f ( z ) dz 1 2 n l
f1 ( z )dz f 2 ( z )dz ....... f n ( z )dz
又u、v 满足C-R条件
u v , x y
u v , y x
故
c
f ( z )dz 0
25
推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连 通域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭 合曲线C (也可以是 B 的边界)，有
c （二）复连通域情形 如果区域内存在： （1）奇点 ；（2）不连续线 段； （3）无 定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来， 形成带孔的区域-复连通区域。
l l l
3。反转积分路径，积分值变号
20
l
l
f ( z )dz f ( z )dz
l
4。全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即： 如果 l=l1+l2+……+ln
f ( z)dz
l1
f ( z )dz f ( z )dz ...... f ( z )dz
9
f lim z 0 极限 是与 的方式无关的有限值 z 0 z
• 若复变函数可导，则其实部和虚部通过C-R 而联系起来
极坐标中的C-R方程：
u 1 v ,
1 u v ,
10
• 复变函数求导方法(如果存在）: 一、 已知 f(z), 求导: 与实变函数求导类似。
u u v v 1, 0, 0, 0, x y x y
不满足C-R条件 事实上 w x when z x 0, 1, z x w 0 when z iy 0, 0, z iy
8
z 沿实轴或虚轴， 0 or / 2,
23
y
c
f ( z )dz 0
o
B
c
l
x
证明：由路径积分的定义：
o
u u v v , , , 因 f(z)在 B上解析，因而 在B x y x y 上连续，
c
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
c c
24
对实部虚部分别应用格林公式
Q P x y dxdy cPdx Qdy s
将回路积分化成面积分
v u u v x y dxdy i s x y dxdy c f ( z)dz s
u v u v ; x y y x
两边对应相乘, 得
u v u v 0 x x y y
u v 0
15
u(x, y)=C1 与 v(x, y)=C2 互相正交;
2、2u=0 和 2v=0, 即 u 和 v 是调和函 数; 将
u v ; x y
3 2 3 2
df 2 2 -6xy 3i ( x - y ) dz 2 2 3i ( x y ) 2ixy
3
12
3iz i ( z )' f ( z ) iz
2 3
解析函数
一、 解析函数的 定义：如果单值函数f(z) 在点 z0及其邻域内处处可导，则称 f(z) 在 z0 点解析。 又若f(z)在区域B上每一点都解析（可导），则称 f(z)是区域B上的解析函数
z0
z0 邻 域
z0 点可导与 z0 点 解析的区别: 函数 f(z)=|z|2 (§1.4例2) 在 z=0 点可导，而在其他点均不可导，故 z=0 点不解析。
13
可导与解析的关系
z0 点可导
不一定！
z0 点解析
区域上可导
区域上解析
14
二. 解析函数的性质：若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上 解析，则 1、u(x, y)=C1 与 v(x, y)=C2 互相正交; 将C-R方程
6
df / dz 与z0 的方式无关， 3、f(z)可导， 因此 u v v u
从而：
x
i
x
y
i
y
u v , x y
v u x y
——柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程
C-R方程是可导的必要条件。
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例:
w Re z x, u x, v 0,
l2源自文库ln
5。积分不等式1：
f ( z)dz
l
l
f ( z ) dz
6。积分不等式2：
l
f ( z )dz ML
21
其中 M 是 |f(z)| 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。
例 计算积分 I1 l Re zdz, 1 解 1 1
I 2 Re zdz,
l2
I1 xdx idy
zn
y
f (
k 1
n
zk-1 •
• k l •
zk
•
• B
k
)( zk zk 1 )
o
A • •z z0 1
x
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若
n max|zk | 0 k 1
lim
f (
n
k
)( zk zk 1 )
存在且与k的选取无关, 则这个和的极限称 为函数f(z) 沿曲线l从A到B的路积分，记为
l
f ( z )dz f ( z )dz 0
i 1 li
n
l 为外边界线， li为内边界 线，积分沿边界线正向
证： 作割线连接内外边界线
28
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
0 0
y i l2
l2
1+i l1
1 i, 2 I 2 0 idy xdx
0 0 1 1
o
l1
1 x
1 2
一般言,复变函数的积分 不仅与起点和终点有关, 同时还与路径有关.
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柯西（Cauchy）定理 ——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域 在其中作任何简单闭合围线，围线 内的点都是属于该区域内的点 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f(z) 在 闭单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中 任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 B 的边界l), 函数的积分为零。
w f ( z z ) f ( z ) lim lim z z 0 z z 0
dz
或 f ' ( z)
2
与实变函数导数的区别： 实变函数：x0；复变函数：z0
y 1、z=x 3、z=x+iy z0 2、z=iy
o
•
z0 方式图示
x
3
二、求导公式
dw n 1 wz nz ; dz
n
dw w sin z cos z; dz
二、已知 u(x,y)+iv(x,y), 求导:
dw u v v u i i dz x x y y (1.3.1)and (1.3.2)
11
例：
f ( z ) y 3 x y i ( x 3 xy )
n
30
柯西定理总结：
1。若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭合 曲线C(也可以是 B 的边界)的积分为零； 2。闭复连通区域上的单值解析函数沿所有 内外境界线正方向的积分为零； 3。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境 界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线 逆时针方向积分之和；
1
导
数
一、 导数的定义： 设 w f ( z ) z B 为单值函数， 即对于B上的每一个z值，有且只有一个w值与之 相对应。如果对于B上的某点z, 极限
存在，且与z0 的方式无关，则称函数 w =f(z) 在 z 点可导，此极限定义为函数 w=f(z) 在z点的导数（或微商）， 记为 df ( z )
d dw1 dw2 ( w1 w2 ) , dz dz dz d dw1 dw2 ( w1w2 ) w2 w1 , dz dz dz d w1 w1 ' w2 w1w2 ' ( ) , 2 dz w2 w2 dw dz 1/ , dz dw d dF d w F ( w) , dz d w dz
即
l
f ( z )dz
l
f ( z )dz
n max|zk |0 k 1
lim
f (
n
k
)( zk zk 1 )
18
分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy
l
f ( z )dz udx vdy i udy vdx
l l
31
由Cauchy 定理可推出： （与开头呼应！）
l AB l1 B ' A' CD l2 D 'C '
l
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
l1 l2
l
f ( z )dz f ( z )dz
i 1 li
29
n
即
l
f ( z )dz f ( z )dz
i 1 li
f lim z 0 z
0
z 0
满足C-R条件。可见C-R条件不是复变函数可导的充分条件
可导的充要条件：u(x,y) 和v(x,y) 的偏导数
u u v v , , , x y x y
存在、连续，且满足C-R条件, 则复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 可导。
参数形式：曲线l 的参数方程 {x=x(t), y=y(t)}, 起始点A 和结束点 BtA, tB
l
dy dx dx dy f ( z )dz u v dt i u v dt . dt dt dt dt tA tA
19
tB
tB
几个重要性质 1。常数因子可以移到积分号之外
26
f ( z )dz 0
一般言，在区域内，只要有一 个简单的闭合围线其内有不属 于该区域的点，这样的区域便 称为复连通域
y
l3 l2 B l1 l0 x
区域边界线的正向 当观察者 沿着这个方向前进时，区域 总是在观察者的左边。
o
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复连通区域的Cauchy 定理： 如果 f(z) 是闭复连通区域 B 中的单值解析 函数，则
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三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程 证明： 1、实轴方向 y
0, z=x
y
1、z=x
u iv u v lim i x 0 x x x
2、虚轴方向
z0
2、z=iy
x 0, z=iy
o
x
u iv v u lim i y 0 iy y y
2 2
u v y x
前式对x求导,后式对y求导, 相加, 得
u u 2 0; 2 x y
同理可得
v v —共轭调和函数 2 0; 2 x y
2 2
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复变函数的积分
复变函数的积分 复平面上的路积分 • 定义: 复平面分段
光滑曲线L上的连续函 数 f(z)，作和
d n n 1 z nz , dz d z z e e , dz d sin z cos z , dz d cos z sin z , dz d 1 ln z , dz z
4
必须指出，复变函数和实变函数的导 数定义，虽然形式上一样，实质上却有很 大的不同．这是因为实变数Δ x只能沿着实 轴逼近零、复变数 Δ z 却可以沿复数平面 上的任一曲线逼近零．因此，与实变函数 的可导相比，复变函数可导的要求要严格 得多．