数列的导学案
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
二、学习重点1、数列的概念及数列的通项公式。
2、利用数列的通项公式求数列的项。
三、学习难点1、根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
2、理解数列的递推公式，并能运用递推公式求出数列的项。
四、知识梳理（一）数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
（二）数列的分类1、按项数分类：（1）有穷数列：项数有限的数列。
（2）无穷数列：项数无限的数列。
2、按项的大小变化分类：（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
（3）常数列：各项都相等的数列。
（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
（三）数列的通项公式如果数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的第\（n\）项\（a_{n}＼）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
（四）数列的递推公式如果已知数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项\（a_{n}＼）与它的前一项\（a_{n 1}＼）（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
五、典型例题例 1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2，4，6，8；（3）1，4，9，16。
解：（1）观察数列 1，3，5，7，发现各项都是奇数，且都是从 1开始的连续奇数，所以通项公式可以是\（a_{n} ＝ 2n 1\）。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及通项公式。
（2）由数列的前几项写出数列的通项公式。
2、难点（1）根据数列的前几项准确地写出数列的通项公式。
（2）理解数列是一种特殊的函数。
三、知识链接1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
2、函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法。
四、自主学习（一）数列的概念1、观察下列例子中的数，它们有什么共同特点？（1）一个工厂把所生产的钢管按内径尺寸从小到大排成一列：250mm，251mm，252mm，253mm，…（2）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…（3）正整数 1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：1，1/2，1/3，1/4，1/5，…2、数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。
3、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…。
4、数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}。
（二）数列的分类1、按项数的多少，数列可以分为：（1）有穷数列：项数有限的数列。
（2）无穷数列：项数无限的数列。
2、按项的大小变化，数列可以分为：（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
（3）常数列：各项都相等的数列。
（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
（三）数列与函数的关系1、数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、能根据数列的前几项写出数列的通项公式。
二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及数列的通项公式。
（2）根据数列的前几项写出数列的通项公式。
2、难点（1）根据数列的前几项准确地写出数列的通项公式。
（2）理解数列与函数的关系。
三、知识梳理1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
2、数列的分类（1）按项数分类：有穷数列：项数有限的数列。
无穷数列：项数无限的数列。
（2）按项的大小变化分类：递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数列：各项都相等的数列。
摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
3、数列的通项公式如果数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的第\（n\）项\（a_{n}＼）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
4、数列与函数的关系数列可以看作是一个定义域为正整数集\（N^｛｝＼）（或它的有限子集\（＼｛1,2,3,＼cdots,n\｝＼））的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列的通项公式就是相应函数的解析式。
四、典型例题例 1：判断下列数列是有穷数列还是无穷数列。
（1）＼（1, 2, 3, 4, 5\）（2）＼（1, 2, 4, 8, 16, ＼cdots\）解：（1）因为数列\（1, 2, 3, 4, 5\）只有 5 项，所以是有穷数列。
（2）因为数列\（1, 2, 4, 8, 16, ＼cdots\）的项数是无限的，所以是无穷数列。
高中数学必修5导学案_第二章_数列
§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备复习：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学学习探究⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列，数列和 数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示，那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.典型例题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.三、总结提升知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++。
数列的导学案
数列的导学案一、引言数列是数学中常见的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本导学案将带领大家系统了解数列的定义、性质以及求解方法，以便能够更好地应用数列解决实际问题。
二、数列的定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
其中，每个数称为数列的项，用a₁、a₂、a₃……表示。
2. 等差数列：当数列中任意两个相邻的数之差都相等时，这个数列称为等差数列。
公差是指等差数列中任意两项之间的差。
等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n - 1)d。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其公差d为2，其通项公式为aₙ = 1 + (n - 1)2。
3. 等比数列：当数列中任意两个相邻的数之比都相等时，这个数列称为等比数列。
公比是指等比数列中任意两项之比。
等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n - 1)。
例如，1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，其公比r为2，其通项公式为aₙ = 1 * 2^(n - 1)。
三、数列的性质1. 数列的有界性：数列可能是有界的，也可能是无界的。
当数列的所有项都不超过一个定值时，称其为有上界的数列；当数列的所有项都不小于一个定值时，称其为有下界的数列。
同时，有界数列中必然存在最大值和最小值。
2. 数列的单调性：数列可以是递增的，也可以是递减的。
当数列中任意两项的大小关系保持不变时，称其为单调数列。
3. 数列的递推关系：数列中的每一项都可以通过前一项来确定。
通过发现数列中项与项之间的关系，可以得到递归公式或递推关系式。
四、常见数列的求和方法1. 等差数列的求和：等差数列的求和可以通过求出数列的首项、末项和项数，利用求和公式来计算。
等差数列的求和公式为Sn =(n/2)(a₁ + aₙ)。
2. 等比数列的求和：等比数列的求和可以通过求出数列的首项、末项和项数，利用求和公式来计算。
等比数列的求和公式为Sn = a₁(1 - r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
数列导学案
三、当堂检测
1. 写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2) ， ， ， ， ，…；
(3)－1， ，－ ， ，－ ， ，…；
(4)3,33,333,3333，….
2(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.
二、深入学习
例1.根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．
（1）2,4,6,8,……
（2）1,3,7,15,31,……
（3） ,……
（4） ……
（5）－ ， ，－ ， …
例2.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
⑴Sn＝3n－2
⑵Sn＝n2＋3n
（3）Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，
(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________．
二、深入学习
例1.求项数（1）1,4,7,10,……73,共__个数
（2）3，6，9，12，……3n+6,共项
（3） 共项
（4） 共项．
例2、数列 满足 ，则 =
8.若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．
四、反思
《等比数列（一）》导学案
【学习目标】
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
【重点难点】
等差数列的定义、通项公式及前 项和 的公式
【学法指导】
高中数学--必修五数列导学案
数列导学案§数列的概念及简单表示（一）【学习要求】1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．2．探索并掌握数列的几种简单表示法．3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．【学法指导】1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．【知识要点】1．按照一定顺序排列的一列数称为，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项．2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式．【问题探究】探究点一 数列的概念问题 先看下面的几组例子：（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…；（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，15； （3）π精确到1,,,，…的不足近似值排成一列数：3,,,，…；（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；（5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，….请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质 探究点二 数列的几种表示方法问题 数列的一般形式是什么回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．（1）数列：1,3,5,7,9，…①用公式法表示：a n ＝ ；②用列表法表示：（2）数列：1，12，13，14，15，… ①用公式法表示：a n ＝ .②用列表法表示：③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：探究点三 数列的通项公式问题 什么叫做数列的通项公式谈谈你对数列通项公式的理解探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗【典型例题】例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．（1）a n ＝cos n π2；（2）b n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1.小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．（1）a n ＝2n＋1；（2）b n ＝2)1(1n -+例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…；（2）12，2，92，8，252，…； （3）9,99,999,9 999，…；（4）0,1,0,1，….小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式：（1）212，414，618，8116，…； （2）,,, 9，…；（3）－12，16，－112，120，….例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1n n ＋12n －12n ＋1. （1）写出它的第10项；（2）判断233是不是该数列中的项． 小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．【当堂检测】1．下列叙述正确的是 ( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{n n ＋1}是递增数列 2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，….3．已知下列数列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12，23，…，n －1n，…； （3）1，12，14，…，12n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…； （5）1,0，－1，…，sin n π2，…； （6）6,6,6,6,6,6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4．写出下列数列的一个通项公式：（1）a ，b ，a ，b ，…；（2）－1，85，－157，249，…. 【课堂小结】1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．§数列的概念及简单表示（二）【学习要求】1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．【学法指导】1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．【知识要点】1．如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的公式．2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．3．一般地，一个数列{a n}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果数列{a n}的各项都，那么这个数列叫做常数列．4．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝1，则a n＝，从单调性来看，数列是单调数列．【问题探究】公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n＋1＝a n＋a n－1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢这一节我们就来学习数列的递推公式．探究点一数列的函数特性问题数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面谈谈你的认识．探究1 数列的单调性下面给出了一些数列的图象：a n＝2n－1a n＝1na n＝(－1)n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．因此，要证明数列{a n}是单调递增数列，只需证明a n＋1－a n 0；要证明数列{a n}是单调递减数列，只需证明a n＋1－a n 0.探究2 数列的周期性已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律你能否求出该数列中的第2 012项是多少探究点二由简单的递推公式求通项公式问题递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢探究1 对于任意数列{a n}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a n都成立．试根据这一结论，求解下列问题．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝2，试求通项a n.探究2若数列{a n}中各项均不为零，则有：a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1＝a n成立．试根据这一结论求解下列问题．已知数列{a n}满足：a1＝1，a na n－1＝n－1n(n≥2)，试求通项a n.【典型例题】例1在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6项．小结已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可．跟踪训练1已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝23，1a n－2＋1a n＝2a n－1(n∈N*，n≥3)，求a3，a4.例2已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：数列{a n}为递增数列．小结数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．跟踪训练2已知数列{a n}的通项公式是a n＝anbn＋1，其中a、b均为正常数，那么a n与a n＋1的大小关系是 ( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值相关例3 已知a n ＝9nn ＋110n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．小结 数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n ，n的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1来确定；若求最小项a n ，n 的值可通过解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1来确定．跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．【当堂检测】1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( ) A ．107 B ．108 C ．10818D ．1094．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n【课堂小结】1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法． 2．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的有限子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n>a n－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n}递增⇔a n＋1>a n对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{a n}递减⇔a n＋a n对任意的n(n∈N*)都成立．1<【拓展提高】§等差数列（一）【学习要求】1．理解等差数列的意义．2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．【学法指导】1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式．2．利用a n＋1－a n＝d(n∈N＋)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．【知识要点】1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示．2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_________，并且A＝ .3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝________. 4．等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为数列；若公差d<0，则数列{a n}为数列．【问题探究】1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．哈雷彗星的回归时间表(单位：年)1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，….预测它在本世纪回归的时间是2061年．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢这个数列叫什么数列呢这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式．探究点一等差数列的概念问题1我们先看下面几组数列：（1）3,4,5,6,7，…；（2）6,3,0，－3，－6，…；（3）,,,,，…；（4）－1，－1，－1，－1，－1，….观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是问题2判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由：（1）4,7,10,13,16，…；（2）31,25,19,13,7，…；（3）0,0,0,0,0，…；（4）a，a－b，a－2b，…；（5）1,2,5,8,11，….探究如何准确把握等差数列的概念谈谈你的理解．探究点二等差数列的通项公式问题如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗探究1根据等差数列的定义：a n＋1＝a n＋d，可以依次得到a1，a2，a3，a4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式a n.探究2由等差数列的定义知：a n－a n－1＝d(n≥2)，可以采用叠加法得到通项公式a n .探究点三 等差中项问题1 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A .探究 若数列{a n }满足：a n ＋1＝a n ＋a n ＋22，求证：{a n }是等差数列．【典型例题】例1 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． （1）a 3＝5，a 7＝13；（2）前三项为：a,2a －1,3－a .小结 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪训练1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc也成等差数列．跟踪训练2 已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列例3 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值.如果 1 km 高度的气温是℃,5 km 高度的气温是℃，求2 km ，4 km ，8 km 高度的气温.【当堂检测】1．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是 ( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列2．若a b s ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是 ( )A ．b －aB ．b －a2C ．b －a3D ．b －a43．在等差数列{a n }中，（1）已知a 1＝2，d ＝3，n ＝10，则a n ＝___； （2）已知a 1＝3，d ＝2，a n ＝21，则n ＝___； （3）已知a 1＝12，a 6＝27，则d ＝___； （4）已知d ＝－13，a 7＝8，则a 1＝___.4．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗（2）利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远它爬行49 cm 需要多长时间【课堂小结】1．等差数列的判定关键要看a n＋1－a n(n∈N*)是否为一个与n无关的常数．由于a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1⇔2a n＋1＝a n＋a n＋2，所以也可以利用2a n＋1＝a n＋a n＋2(n ∈N*)来判定等差数列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．2．等差数列的通项公式及其变形a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d的应用极其灵活，公式中的四个量a1，a n，n，d中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷．3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．【拓展提高】§等差数列（二）【学习要求】1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．2．能运用等差数列的性质解决有关问题．【学法指导】1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质．2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．【知识要点】1．等差数列的通项公式：a n＝.2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋a n＝a2＋＝…＝a k＋.3．等差数列的性质（1）若{a n}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.（2）若{a n}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为 .（3）若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p、q是常数)是公差为的等差数列．【问题探究】探究点一等差数列的常用性质问题设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：（1）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.（2）若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a m＋a n＝2a k.请你给出证明．探究已知等差数列{a n}、{b n}分别是公差为d和d′，则由{a n}及{b n}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．①{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；②下标成等差数列且公差为m的项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列；③数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；④数列{a n＋b n}仍是等差数列，公差为；⑤数列{λa n＋μb n}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 .探究点二等差数列与一次函数的联系探究由于等差数列{a n}的通项公式a n＝dn＋(a1－d)，与一次函数对比可知，公差d本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}中的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，可知点(n，a n)分布以为斜率，以为纵截距的直线上．请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.【典型例题】例1在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n}的性质：若m ＋n＝p＋q＝2w，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a w(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练1已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．例2三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．小结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d 向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．跟踪训练2四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．例3已知数列{a n}，满足a1＝2，a n＋1＝2a n a n＋2.（1）数列{1a n}是否为等差数列说明理由．（2）求a n.小结判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：a n＋1－a n＝d(d为常数)，也可以用a n＋1－a n＝a n－a n－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．跟踪训练3正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1－a n＋1＝a n＋a n.（1）数列{a n}是否为等差数列说明理由．（2）求a n.【当堂检测】1．等差数列{a n}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )A．3 B．－3 C．32D．－322．等差数列{a n}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝____3．已知等差数列{a n}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a84．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【课堂小结】1．判断一个数列{a n}是否是等差数列，关键是看a n＋1－a n是否是一个与n无关的常数．2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.3．在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．【拓展提高】n项和（一）§等差数列前【学习要求】1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两个．3．掌握等差数列前n项和公式及性质的应用．【学法指导】1．运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题．2．要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的求和方法——倒序相加法．【知识要点】1．把a1＋a2＋…＋a n叫数列{a n}的前n项和，记做.例如a1＋a2＋…＋a16可以记做；a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＝(n≥2)．2．若{a n}是等差数列，则S n可以用首项a1和末项a n表示为S n＝；若首项为a1，公差为d，则S n可以表示为S n＝3．写出下列常见等差数列的前n项和（1）1＋2＋3＋…＋n＝．（2）1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.（3）2＋4＋6＋…＋2n＝.4．等差数列{a n}中（1）已知d＝2，n＝15，a n＝－10，则S n＝________；（2）已知a1＝20，a n＝54，S n＝999，则d＝________；（3）已知a 1＝56，d ＝－16，S n ＝－5，则n ＝_______【问题探究】“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢它用于解决什么类型的问题呢这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法．探究点一 等差数列前n 项和公式的推导 问题 求和：1＋2＋3＋ (100)对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍：S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S ＝50×101＝5 050.请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n ＝探究 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，你能利用“倒序相加法”求等差数列{a n }的前n 项和S n 吗探究点二 等差数列前n 项和的性质探究1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，易知a 1＋a 2＋…＋a m ，a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ，a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m 也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n 项和符号S n 表述为：若{a n }成等差数列，则S m ， ，_________也成等差数列．探究2 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，求证：数列{S n n}也是等差数列．探究3 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，证明：a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.【典型例题】例1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .小结 在解决等差数列问题时，如已知a 1，a n ，n ，d ，S n 中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．跟踪训练1 已知等差数列{a n }中，（1）a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；（2）a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .例2 （1）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；（2）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值． 小结 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练2 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .例3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. （1）甲、乙开始运动后几分钟相遇（2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇小结建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n项和．跟踪训练3现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A．9 B．10 C．19 D．29【当堂检测】1．记等差数列前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )A．2 B．3 C．6 D．72．已知等差数列{a n}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于 ( ) A．18 B．27 C．36 D．453．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12＝84，S20＝460，则S6＝________. 4．已知等差数列{a n}的前3项依次为a,4,3a，前k项和S k＝2 550，求a 及k.【课堂小结】1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，a n，S n，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项a n，用公式S n＝n a1＋a n2较好，若已知首项a1及公差d，用公式S n＝na1＋n n－12d较好．3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．【拓展提高】§等差数列前n项和（二）【学习要求】1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．2．掌握等差数列前n项和的最值问题．3．理解a n与S n的关系，能根据S n求a n.。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及数列的通项公式。
（2）根据数列的通项公式或递推公式写出数列的项。
2、难点（1）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
（2）理解数列的递推公式，并能运用递推公式求出数列的项。
三、知识链接1、集合的概念：具有某种特定性质的事物的总体。
2、函数的概念：设 A、B 是非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
四、学习过程（一）数列的概念1、观察下列实例：（1）堆放的钢管，自上而下每层的钢管数分别为 4，5，6，7，8，9，10。
（2）正整数 1，2，3，4，5，…（3）－1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…，分别为－1，1，－1，1，…（4）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…思考：以上这些例子有什么共同特点？这些例子的共同特点是：都是按照一定次序排列的一列数。
2、数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
3、数列的表示数列通常用大写字母 A、B、C、…表示，如数列 A，数列 B 等。
数列的一般形式可以写成：a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，简记为{ aₙ ｝。
其中 aₙ 是数列的第 n 项。
4、数列的分类（1）按照项数的多少，数列可以分为有穷数列和无穷数列。
项数有限的数列叫做有穷数列；项数无限的数列叫做无穷数列。
例如，上述例子（1）是有穷数列，例子（2）（3）（4）是无穷数列。
数列导学案
（ 6）已知 a5＝ 10， a15＝90，求 a20；
3
例 4 设 { an}
a1 a4 a7
a 97
是公差为
50,则 a3 a6 a 9
2 的等差数列，
a 99 等于（ ）
5．已知 {a n} 为等差数列， Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和，已知 S7＝ 7， S15＝75， T n 为数 列 { Sn } 前 n 项和。求 Tn．
4
《等差数列 （二） 》导学案
【学习目标】
一、掌握并应用等差数列的性质
【重点难点】
二、等差数列的性质
【学法指导】
归纳总结、习题训练
【教学过程】 一、导入 【疑 点探究 】：
等差数列的性质
1 、 在 等 差 数 列 中 ， 若 p+q=m+n ， 则
则
；
2、an=A n+B { an} 成等差数列；
【重点难点】 等差数列的定义、通项公式及前 n 项和 Sn 的公式。 【学法指导】
归纳总结、习题训练
为 __________ ；若 d＝ 0，则数列为 ________．
二、深入学习
例 1.求项数 （1） 1,4,7,10, …… 73, 共 __个数 （2） 3， 6，9， 12，…… 3n+6,共 项
(1) 求通项 an； (2) 若 Sn＝ 242，求 n.
7.已知数列
{
an
}
中，
a
1＝
3 5
，
an＝
2－
1 a n－ 1
(n≥ 2， n∈N *)，数列
{ bn} 满足
b
n＝
1 an－
1
(n
数列导学案
3 9 25 65 4.数列 , , , ... 的一个通项公式为（ 2 4 8 16
） D.
n 1 2n
A. n
1 2n
n B. n 2
3n C. n 2
5.对于数列 an 满足 an A. a1, a50 B. a1, a44
n 2004 ，则该数列前 100 项中的最大项和最小项分别是（ ） n 2005
D. a45 , a50
C. a44 , a45
6.已知数列 an 的前 4 项为 11，102，1003，10004， ，则适合它的一个通项为 7.已知数列 an 的通项公式为 an （1）判断
1 是不是数列中的项 120
1 ， n(n 1)
（2）证明： an 为递减数列 （3）判断是否有界。
1.按照
数列简记作 an ，其中 an 叫做这个数列的通项。 课 前 2.如果数列 可以用公式来表示，那么这个公式叫做这个数列 自 的通项公式。 主 学 3.从映射和函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 的函数， 习 数列作为特殊的函数，也可以用 表示，他们的图像是相应的曲线或直 线上的 ． 4. 叫做有穷数列， 叫做无穷数列；从第 2 项起， 的 数列叫做递增数列，从第 2 项起， 的数列叫做递减数列。 从第 2 项起， 的数列叫做摆动数列。 1．数列 0，1，0，-1，0，1，0，-1， 的一个通项公式是（ A.
例 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列 各数： 找规律？ （1）3，5，7，9 想办法？ （2）2，0，2，0 （3）9,99,999,9999, 2 4 6 8 10 （4） , , , , , 3 15 35 63 99 1 9 （5） , 2, ,8 2 2
第二章 数列导学案
1(1)1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的2830 ，找出疑惑之处） 复习1：函数3xy =，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：数列的概念 ⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项. 4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？ ⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，数列， 数列和 数列. ※ 典型例题 例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴ 1，－12，13，－14；⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ⑴ 12，45，910，1617； ⑵ 1， －1， 1， －1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系. 例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2n an b a cn +=，求这个数列的第四项和第五项.变式：…，则是它的第 项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项. ※ 动手试试练 1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴1， 13，15， 17；⑵ 1 2 .练2. 写出数列2{}n n -的第20项，第n ＋1项. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式； 2. 会用通项公式写出数列的任意一项. ※ 知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. 思考：设()f n ＝1＋12＋13＋…＋131n -（n ∈*N ）按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所23(2)1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单.3134 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2：数列如何分类？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：数列的表示方法 问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数n a 与层数n 之间有何关系？1. 通项公式法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一个通项公式是 . 2. 图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3. 递推公式法： 递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 . 4. 列表法： 试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？反思：所有数列都能有四种表示方法吗？※ 典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式：已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想通项公式n a .小结：由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+， 那么2007a =（ ）.A. 2003×2004B. 2004×2005C. 2007×2006D. 22004变式：已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，求n a .小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试练 1. 已知数列{}n a 满足11a =，223a =，且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-=（2n ≥），求34,a a .练2.（2005年湖南）已知数列{}n a 满足10a =， 1n a+ （*n N ∈），则20a =（ ） .A ．0B. D.练3. 在数列{}n a 中，12a =，1766a =，通项公式是项数n 的一次函数.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 88是否是数列{}n a 中的项.三、总结提升 ※ 学习小结1.数列的表示方法； 2. 数列的递推公式.※ 知识拓展n 刀最多能将比萨饼切成几块？ 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多少块？n 刀呢？解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交4点，所以第n 刀最多与前n －1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n 刀的切痕最多被前n －1刀分成n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块. 记刀数为1时，饼的块数最多为1a ，……，刀数为n 时，饼的块数最多为n a ，所以n a =1n a n -+. 由此可求得n a =1+)1(+n n .※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知数列130n n a a +--=，则数列{}n a 是（ ）.A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列2. 数列{}n a 中，2293n a n n =-++，则此数列最大项的值是（ ）.A. 3B. 13C. 1318D. 123. 数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =（ ）. A. (1)n n + B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n -4. 已知数列{}n a 满足113a =，1(1)2n n n a a -=-（n ≥2），则5a = . 5. 已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ≥2）， 则6a =.一、基础过关1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n＋12n ，则此数列的第4项是 ( ) A ．1B.12C.34D.582．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( )A.259B.2516C.6116D.31153．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是( )A.116 B.117 C.119 D.1254．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是 ( ) A ．9B ．17C ．33D ．655．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，n ∈N *，则使a n >100的n 的最小值是________． 6．已知数列{a n }满足a1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________.7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．8．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列． 二、能力提升9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 012( )A.67B.57C.37D.1710．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是 ( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 3011．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．12．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．51）1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定3639 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63 ③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知： 1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A = 探究任务二：等差数列的通项公式 问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+32a a -= ， 即：321a a d a =+=+43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 典型例题例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 例 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数.※ 动手试试练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练 2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)； 2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1). ※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，6可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点. 2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列 3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .一、基础过关1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．524．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，若a n ＝2 011，则n 等于( )A ．671B ．670C ．669D ．6685．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( ) A ．15 B ．30C ．31D ．646．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________．7．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．8．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 二、能力提升9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是 ( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．－610．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．11．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有____种可能．12．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．72）1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关3940找出疑惑之处） 复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中， 若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a =，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则 m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化.※ 动手试试练1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？三、总结提升 ※ 学习小结1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+ 注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即： （1）1n n a a d +-=； （2）(0)n a pn q p =+≠； （3）2S an bn =+.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（ ）.A. 99B. 49.5C. 48D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（ ）.A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（ ）.A. 3B. 5C. －3D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d8＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .一、基础过关 1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于 ( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．3002．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．63．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是 ( ) A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 4．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或25．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．756．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3＝________.7．在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，求a m ＋n 的值．8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 二、能力提升9．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( ) A ．6 B ．7C ．8D ．不确定10．等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝______. 11．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝______.12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．三、探究与拓展13．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n ，n ∈N *. (1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．9n 项和(1)1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的. 4244找出疑惑之处）复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？ 二、新课导学※ 学习探究探究：等差数列的前n 项和公式问题： 1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知： 数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 反思： ① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，；⑵114.50.715a d n ===，，.小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： .2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： .※ 典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意： ① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量. ※ 动手试试 练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 为（ ）. A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9三、总结提升10※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个. ※ 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差2※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.A. 12B. 24C. 36D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.A ．5880B ．5684C ．4877D ．4566 3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = . 5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则S = .一、基础过关1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．52．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于 ( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．633．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) A.2n ＋1n B.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为 ( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－155．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于 ( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．276．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 8．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 二、能力提升9．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n－1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( ) A ．3 B ．－3C ．－2D ．－110．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则该数列有____项．11．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整 数n 的值是________．12．有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为212，试求此数列的首项、公差和项数．三、探究与拓展13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .11n 项和(2)1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究S 的最大（小）值.4546找出疑惑之处）复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求n a 和8S .二、新课导学 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 典型例题例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a . 例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法. （1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 动手试试练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系； 2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下：121°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝； 1S n S n +偶奇＝.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（ ）. A. 2n a n = B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则...a a a a ++++= .一、基础过关1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．172．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为 ( ) A ．91 B ．152 C ．218 D ．2793．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于 ( ) A ．1 B ．－1C ．2 D.124．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于 ( ) A.310 B.13 C.18 D.19 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值． 8．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 二、能力提升9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值11．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．12．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n＋1＋a n ＝0 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .三、探究与拓展13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．131）1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；.4851找出疑惑之处） 复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ， 等差数列的性质有：二、新课导学 ※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1nn a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ； 24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：※ 典型例题例1 （1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n naa +是一个不为0的常数就行了.※ 动手试试练 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?练 2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（）.A.B. C. D.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.※ 知识拓展在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列； ⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.14152）1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列.5154找出疑惑之处） 复习1：等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是复习2：等差数列有何性质？二、新课导学※ 学习探究问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G bG ab G a G=⇒=⇒=新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）.试试：数4和6的等比中项是 .问题2：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？ 新知2：等比数列的性质 在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =. 试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = .※ 典型例题 例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证n b -}n b 是否等比变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{n na b }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列. 例2在等比数列{n a }中，已知47512a a =-，且38124a a +=，公比为整数，求10a.变式：在等比数列{n a }中，已知7125a a =，则891011a a a a = .※ 动手试试 练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）. A. 三边之比为3：4：5 B. 三边之比为1 3 C. D. 练2. 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值. 三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比中项定义；2. 等比数列的性质.※ 知识拓展 公比为q 的等比数列{}na 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则{}n n a b ，{}nn a b 也等比.162. 若*m N ∈，则n m n m a a q -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则m n k l a a a a =.4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）. A. ±4 B. 4 C. 2 D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x （ ）A.依次成等差数列B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列D.各项的倒数依次成等比数列 4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，569a a =，则log+ log … log 310a = .一、基础过关1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为 ( )A ．16B ．27C ．36D ．812．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于 ( )A ．64B ．81C ．128D ．243 3．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34C ．2D ．3434．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于 ( ) A ．5 2 B ．7C ．6D ．4 2 5．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x －8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.6．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 7．已知数列{a n }成等比数列．(1)若a 2＝4，a 5＝－12，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．8．已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.求数列{a n }的通项公式． 二、能力提升9．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65C.23D.3210．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 211．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.12．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋49依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式． 三、探究与拓展 13．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?。
导学案数列
导学案：数列一.说明及学法指导1. 结合问题导学自学课本P25---P28页，用红笔勾出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。
2. 针对预习自学及合作探究找出疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑。
二.重点难点了解数列是一种特殊的函数，理解数列的通项公式，会根据数列的前几项写出某些简单数列的通项公式。
三.学习目标1（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是一种特殊的函数。
（2）理解数列的通项公式，会根据数列的前几项写出某些简单数列的通项公式。
2.通过独立思考，合作探究，让学生经历发现和推理过程。
3.以极度的热情投入到学习中，体验探索的乐趣，享受成功的快乐。
四.问题导学问题1：数列的概念是什么？你能举出例子吗？问题2：概念中关键的字词有哪些？你是如何理解的？问题3：数列的通项公式怎样定义的？是不是所有的数列都能写出通项公式？问题4：如何理解数列的通项公式与函数的关系？问题5：数列如何分类？五.合作，探究，展示例1根据下面数列}n a 的通项公式，写出它的前5项：（1）21;21n n a n -=- （2）sin .2n n a π= 例2根据下面数列}n a 的通项公式，写出它的前10项:（1）11(1);21n n n a n ++=-∙- （2）(1)1cos .2n n a π-=+ (3)请判断5199是不是第（1）小题中那个数列的项。
规律方总结____________________________________________________________________ 例3写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1 ， 3 ， 5 ， 7； （2）0， 2， 0 ，2;（3）2468,,,. 3153563 ----规律方总结____________________________________________________________________例4.已知函数1(),xf xx-=设()()na f n n N+=∈求证：（1）1;na<（2）{}n a是递增数列还是递减数列？为什么？规律方总结____________________________________________________________________六.本节小结1.数学知识，题型及方法；2.数学思想。
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、能根据数列的前几项写出数列的通项公式。
二、学习重难点1、重点（1）理解数列的概念，认识数列是一种特殊的函数。
（2）掌握数列的通项公式，会用通项公式写出数列的项。
2、难点（1）根据数列的前几项写出数列的通项公式。
（2）理解数列与函数的关系。
三、知识链接1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
2、函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法。
四、学习过程（一）引入在生活中，我们经常会遇到按照一定顺序排列的数，比如：1、一个班级学生的学号：1，2，3， (50)2、一年中 12 个月份的顺序：1 月，2 月，3 月，…，12 月。
3、银行定期存款的利率表：一年期利率 15%，二年期利率 21%，三年期利率 275%，……像这样按照一定顺序排列的一列数，就是我们今天要学习的数列。
（二）数列的概念1、定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
例如，数列 2，4，6，8，10，…，其中 2 是首项，4 是第 2 项，6是第 3 项，以此类推。
2、数列的表示：数列通常用{aₙ}表示，其中右下角的n 表示项数。
例如，上面提到的数列 2，4，6，8，10，…可以表示为{aₙ}，其中 a₁＝ 2，a₂＝ 4，a₃＝ 6，…（三）数列的分类1、按项数的多少分类（1）有穷数列：项数有限的数列。
例如，数列 1，2，3，4，5 是有穷数列。
（2）无穷数列：项数无限的数列。
数列的导学案
第一章数列第1课时数列的概念一•自“学”提纲(一)知识点1•数列的概念(1)______________________________ 数列：一般地，按照一定排列的一列数叫做数列•(2)__________________________________________ 项：数列中的每个数都叫做这个数列的.(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a i,a2,a3,…，a n,…,简记为：.数列的第1项a i也称________ ,a n是数列的第n项，叫数列的 _________ .2•数列的分类项数有限的数列叫作 _________ ，项数无限的数列叫作__________ .3•数列的通项公式如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n=f(n)，那么式子叫作数列｛a n｝的________ .4•数列的表示方法数歹U的表示方法一般有三种：________ 、________ 、________ .(二)预习自测1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列个数：(1)1,3,5,7221 321 421 521⑵ 2 ， 3 ， 4 ， 52. 根据下面数列｛a n｝的通项公式，写出前5项.a n(1)⑵a n (1)n n⑶9n:■•典型“导”例［例1: 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列?(1) {0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4 …;(4),1,,-1,1,-1 …；(5)6,6,6,6,6.［例2: 写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,2 4 6 8⑵ —?---, -- ，…； 315 35 6319 ,8, 25 ⑶,2, — ...■2 22⑷221 322 22 423 524315 7变式应用 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数:否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由变式应用 以下四个数中，哪个是数列｛n （n + 1） ｝中的项（ ） A. 380B. 39C. 32D. 23［例 4］ 在数列｛a n ｝中，a i =2,a 2=1,且 a n+2=3a n+i -a n ，求 a 6+a 4-3a 5.变式应用4已知数列｛a n ｝的首项a 1=1,a n =2a n-1+1（n 》2），那么a 5= _________ . ［例5:已知数列｛a n ｝的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 ｛a n ｝的通项公式的有（）1 n 11 cos n n① a n =— : 1+(-1) n+1];②a n =sin 2- n, (n € N +)；③a n =- : 1+(-1) n+1] +(n-1)(n-2);④a n =2 2 2 21 (n 为偶数)⑤ a n ='0 (n 为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个三•练习反馈 、选择题(1) 1, 3, 7,15, 31,…；1 11(2) 1, ,_，…；2 3 4第n 项有n 个 9(3) 0.9, 0.99, 0.999, , 0.99 9,[例3: 在数列｛ a n ｝中通项公式是 a n =（-1）n 81（2n 1）（n 1），写出该数列的前5项，并判断是A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项2.数列0, ——3 2. ••的通项公式为（) 3 2 5 3n2r n 1 厂n 1 n2 A. a n= B.a n= C.a n= D. a n=n n n 1 n23.数列1 , 3, 6 , 10 , x ,21,- ••中，x的值是（)1.数列辽, 5 , 2 2 , . 11，…，则2 5是该数列的（)A.12B.13C.15D.16、填空题4. _____________________________________________ 已知数列｛a n｝的通项公式为a n=2n+1,则a k+i= .1 15. 已知数列｛a n｝的通项公式a n= (n€ N+),则是这个数列的第项.n(n 2) 120 ------------三、解答题6. 根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式(1)-1,1,-1,1；(2)-3,12,-27,48;3 ⑶51 5 3 2，丁7;2 ⑷34 6 8 15 ' 35 ' 63四•归纳总结1. 知识方面：2 •思想与方法方面:3. 典型题型第2课时数列的函数特性一•自“学”提纲(一)知识点1. 几种数列的概念(1)__________________________________________ 数列按照项与项之间的大小关系可分为________ 数列，___________________________________________________ 数列，_________ 数列和 _________ 数列.(2)___________________________________________________________________________ 一般地，一个数列｛a n｝,如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即________________________________ ，那么这个数列叫做 ________ 数列；(3)____________________________________________________________ 一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ____________________________________________ ，那么这个数列叫做_____ 数列；(4)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；(5)___________________________________________________ 如果数列｛a n｝的各项都相等，那么这个数列叫做 ______________________________________________________ 数列.2. 数列的递推公式如果已知数列的 ________ (或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的__________________ 与它的_______ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 ________ 公式.3. a n与S n的关系(n=1) 若数列｛a n｝的前n项和记为S n,即S n=a1+a2+…+a n,则a n=(n > 2)3.写出下列数列的前5项：1(1)q , a n 1 4a n 1(n1);21 1,a n 1 ——(n 1);4a n 1:■•典型“导”例［例1: (1)根据数列的通项公式填表:⑵画出数列｛a n ｝的图像，其中a n =3［例 2: 已知函数 f(x)=2x -2-x ，数列｛a n ｝满足 f(log 2a n ) =-2n. (1)求数列｛ a n ｝的通项公式； (2) 求证数列｛a n ｝是递减数列.2 3 4 5变式应用2写出数列1,,,,,…的通项公式，并判断它的增减性4 7 10 13［例3: 求数列｛-2n 2+9n+3｝中的最大项.变式应用3已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =n 2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数？)预习自测 已知数列a n 中的首项a 1 1,且满足 A. 1B.1 C.2已知数列a n 满足a 1 1, D.2 an 11丄，此数列的第三项是()2n1,(n 1),则这个数列的前 5项分别为(2)a 11. 12. a na n(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值.[例4] 在一次人才招聘会上，有 A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准： A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加 230元，B 公司允诺第一年月工资为 2000元，以后每年月工 资在上年月工资的基础上增加 5%，设某人年初被 A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在 A 公司工作比 在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由（精确到1元）.变式应用4某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响, 满足a n =2n 2-15n+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？1[例5 ]已知a n =a • （ 一）n （a z 0且a 为常数），试判断数列｛a n ｝的单调性.2三•练习反馈 一、 选择题1. 已知数列｛ a n ｝ ,a 1=1,a n -a n-1 = n-1（n >2），则 a 6=（ ） A.7B.11C.16D.172. （2012 •济南高二检测）数列｛a n ｝中，a n =-n 2+11 n,则此数列最大项的值是（ ）121 A ——B.30C.31D.324二、 填空题5. ___________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝中，a n =a n +m(a<0,n € N +)满足 a 1=2,a 2=4,则 a 3= ________________________________________ 三、解答题6.证明数列｛ ｝是递减数列n （n 1）四•归纳总结1 .知识方面：2 •思想与方法方面： 3. 典型题型§2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式自“学”提纲（一）知识点1. 等差数列一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与前一项的 ___________ 是 _________ ，我们称这样的数列为等差数预测2012年的月产值（万元） 组成数列｛a n ｝,4.已知 f(1)=2,f(n+1)=f(n) 12(n € N +),则 f(4)=2•等差中项如果在a 与b 中间插入一个数 A ，使a,A,b 成等差数列，那么 A 叫做 3•等差数列的判断方法(1) 要证明数列｛a n ｝是等差数列，只要证明：当 n >2时， ___________ . (2) 如果a n+i =a n亚2对任意的正整数n 都成立，那么数列｛a n ｝是2(3) _________________________________ 若a,A,b 成等差数列，则 A = . 4•等差数列的通项公式等差数列的通项公式为 _____________ ，它的推广通项公式为 ______________ . 5•等差数列的单调性当d>0时，｛a n ｝是 ___________ 数列；当d=0时，｛a n ｝是 ___________ 数列；当d<0时，｛a n ｝是 _______ _________列. (二)预习自测1. 在下列选项中选出等差数列 _____________2 2 2 2(1) -1,1,3 (2) 1 ,2 ,3 ,4 (3)0,1,2,3,5,6(4) 满足通项公式 a n =2n 的数列 (5)满足递推关系 a n+1=a n +3的数列(n 为正整数)1(6)满足通项公式 a n =n 的数列 (7) 3,3,3,3，…(8) 9,8,72. 等差数列 a n 中，首项a 1=4,公差d=-2，则通项公式为 ________________3. 等差数列 a n 中，第三项a 3=0，公差d=-2，贝U a 1= __________ ，通项公式为 ___________4. 等差数列a n 的通项公式为a n 3 2n ，则它的公差为( )A. 2B. 3C. -2D. -3:■•典型“导”例［例1: 判断下列数列是否为等差数列 (1) a n =3 n+2; (2) a n = n 2+n.n 》2［例2］ 已知数列｛a n ｝为等差数列，且a 5=11,a 8=5,求an.变式应用1试判断数列｛ C n ｝,n=1是否为等差数列12n-5变式应用2已知等差数列｛a n｝中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项［例3: 已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?变式应用3已知数列｛X n｝的首项x i=3,通项x n=2n p+nq (n € N + ,p,q为常数)，且x i、X4、X5成等差数列.求: p,q的值.［例4］某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？变式应用4 2012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？［例5］已知数列｛a n｝,a1=a2=1,a n=a n-1+2(n>3).(1)判断数列｛a n｝是否为等差数列？说明理由；(2)求｛a n｝的通项公式.三.练习反馈一、选择题1. ( 2011 •重庆文，1)在等差数列｛ a n｝中,a2=2,a3=4,则a10=( )A.12B.14C.16D.182.已知等差数列｛a n｝的通项公式a n=3-2n,则它的公差为( )A.2B.3C.—2D. —33方程x2-6x+仁0的两根的等差中项为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题4. _____________________________________________ 在等差数列｛ a n｝中，a2=3,a4=a2+8,则a6= .5. 已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a^ 0)的图像与x轴的交点有__________ 个.三、解答题6. 在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式a n.四•归纳总结1 .知识方面：2 •思想与方法方面：3.典型题型第2课时等差数列的性质一•自“学”提纲（一）知识点1•等差数列的项与序号的性质（1）两项关系通项公式的推广：a n=a m+ __________ （m、n€ N+）.（2）多项关系项的运算性质：若m+n =p+q（m、n、p、q€ N+），则_______ =a p+a q.特别地，若m+n =2p（m、n、p€ N+），贝y a m+a n= ________ .2•等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a i+a n=a2+ ________ =a k+ _______ =2a n 1 （其中n 为奇数且n> 3）.3•等差数列的性质（1）若｛a n｝是公差为d的等差数列，则下列数列：①殳c+a n｝（c为任一常数）是公差为 _______ 的等差数列；②殳c • a n｝（c为任一常数）是公差为______ 的等差数列；③殳a nk｝（k€ N+）是公差为_______ 的等差数列.⑵若｛a n｝、｛b n｝分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列｛pa n+qb n｝（p、q是常数）是公差为___________ 的等差数列.（二）预习自测1 •在等差数列a n中，a2,a10是方程x23x 5 0的两根，求a6的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 数 列第1课时 数列的概念一．自“学”提纲（一）知识点1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为： .数列的第1项a 1也称 ，a n 是数列的第n 项，叫数列的 . 2.数列的分类项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . 3.数列的通项公式如果数列｛a n ｝的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n )，那么式子叫作数列{a n }的 . 4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种： 、 、 .（二）预习自测1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数: (1)7,5,3,1(2)515,414,313,2122222---- 2.根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项.(1)1+=n na n(2)na n n ⋅-=)1((3)2=n a二．典型“导”例［例1］ 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…; (5)6,6,6,6,6.［例2］ 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,…;(2)32，154，356，638，…； (3)21,2, 29，8，225，…; (4) 1122-，3232-，5342-，7452-，….变式应用 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）1，3，7，15，31，…; （2）1，21，31，41，…； （3）0.9，0.99，0.999，……， 0.9999个项有第n n ，….［例3］ 在数列｛a n ｝中通项公式是a n ＝（-1）n -1·)1)(12(2+-n n n ,写出该数列的前5项，并判断17081是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.变式应用 以下四个数中，哪个是数列{n （n ＋1）}中的项（ ） A. 380 B. 39 C. 32 D.23［例4］ 在数列{a n }中，a 1=2,a 2=1,且a n +2=3a n +1-a n ,求a 6+a 4-3a 5.变式应用4 已知数列{a n }的首项a 1=1,a n =2a n -1+1(n ≥2)，那么a 5= .［例5］ 已知数列{a n }的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{a n }的通项公式的有（ ） ①a n =21［1+(-1) n+1］;②a n =sin 22n π，(n ∈N +);③a n =21［1+(-1) n+1］+(n -1)(n -2);④a n =2πcos 1n -; 1 (n 为偶数) ⑤a n =0 (n 为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 三．练习反馈 一、选择题1.数列2，5，22，11，…，则25是该数列的（ ） A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项2.数列0，31，21，53，32，…的通项公式为（ ） A.a n =n n 2- B.a n =n n 1- C.a n =11+-n n D.a n =22+-n n 3.数列1，3，6，10，x ，21，…中，x 的值是（ ）A.12B.13C.15D.16二、填空题4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,则a k +1= .5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =)2(1 n n (n ∈N +),则1201是这个数列的第 项.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式. (1)-1,1,-1,1; (2)-3,12,-27,48; (3)53，21,115，73; (4)32，154，356，638. 四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型第2课时 数列的函数特性一．自“学”提纲 （一）知识点 1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为 数列， 数列， 数列和 数列. （2）一般地，一个数列｛a n ｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列； （4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做 数列；（5）如果数列｛a n ｝的各项都相等，那么这个数列叫做 数列. 2.数列的递推公式如果已知数列的 (或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的 与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 公式. 3.a n 与S n 的关系S 1 (n =1) 若数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ，即S n =a 1+a 2+…+a n ,则a n =(n ≥2)（二）预习自测1. 已知数列{}n a 中的首项,11=a 且满足,21211na a n n +=+此数列的第三项是( ) A. 1 B. 21 C. 43 D. 852. 已知数列{}n a 满足,11=a ),1(,121>-=-n a a n n 则这个数列的前5项分别为____________________________ . 3. 写出下列数列的前5项： (1) ,211=a );1(141>+=+n a a n n(2) ,411-=a );1(111>-=-n a a n n二．典型“导”例［例1］ (1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n }的图像，其中a n =3n -1.［例2］ 已知函数f (x )=2x -2-x ，数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求证数列{a n }是递减数列.变式应用2 写出数列1, 42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性.［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.变式应用3 已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n +4. (1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值.［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. 三．练习反馈 一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.172.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32 二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . 5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= . 三、解答题 6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型§2 等 差 数 列第1课时 等差数列的概念及通项公式一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 . 3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， . （2）如果a n+1=22++n n a a 对任意的正整数n 都成立，那么数列{a n }是 . （3）若a,A,b 成等差数列，则A ＝ . 4.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为 .5.等差数列的单调性 当d >0时，{a n }是 数列；当d =0时，{a n }是 数列；当d <0时，{a n ｝是数列.（二）预习自测1. 在下列选项中选出等差数列 __________（1） -1,1,3(2) 12,22,32,42(3)0,1,2,3,5,6（4）满足通项公式a n =2n 的数列 （5）满足递推关系a n+1=a n +3的数列(n 为正整数） （6）满足通项公式a n =1n 的数列 （7）3,3,3,3,... (8) 9,8,72. 等差数列{}n a 中，首项a 1=4，公差d=-2，则通项公式为__________3. 等差数列{}n a 中，第三项a 3=0，公差d=-2，则a 1=_______，通项公式为__________4. 等差数列{}n a 的通项公式为n a n23-=，则它的公差为（ ）A ．2 B. 3 C. -2 D. -3二．典型“导”例［例1］ 判断下列数列是否为等差数列. （1）a n =3n +2； （2）a n =n 2+n .1 n =1变式应用1 试判断数列｛c n ｝，c n = 是否为等差数列. 2n -5 n ≥2 ［例2］ 已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11,a 8=5,求a 11.变式应用2 已知等差数列{a n }中，a 10=29,a 21=62,试判断91是否为此数列中的项.［例3］已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？变式应用3已知数列｛x n｝的首项x1=3,通项x n=2n p+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.［例4］某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？［例5］已知数列｛a n｝,a1=a2=1,a n=a n-1+2(n≥3).（1）判断数列｛a n｝是否为等差数列？说明理由；（2）求｛a n｝的通项公式.三．练习反馈一、选择题1.（2011·重庆文，1）在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.16D.182.已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.－2D.－33.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题4.在等差数列{a n}中，a2=3,a4=a2+8,则a6= .5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有个.三、解答题6.在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式a n.四．归纳总结1．知识方面：2．思想与方法方面：3．典型题型第2课时 等差数列的性质一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列的项与序号的性质 （1）两项关系通项公式的推广：a n =a m +(m 、n ∈N +).(2)多项关系 项的运算性质：若m+n =p+q (m 、n 、p 、q ∈N +)，则=a p +a q .特别地，若m+n =2p (m 、n 、p ∈N +)，则a m +a n =.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a 1+a n =a 2+=a k +=2a 21+n (其中n 为奇数且n ≥3).3.等差数列的性质（1）若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①｛c+a n ｝(c 为任一常数)是公差为 的等差数列； ②｛c ·a n ｝(c 为任一常数)是公差为的等差数列；③｛a nk ｝(k ∈N +)是公差为的等差数列.(2)若｛a n ｝、｛b n ｝分别是公差为d 1、d 2的等差数列，则数列｛pa n +qb n ｝(p 、q 是常数)是公差为的等差数列.（二）预习自测1．在等差数列{}n a 中，102,a a 是方程0532=--x x 的两根，求a 6的值。