临界极值问题

临界极值问题

要点精析

一、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题

例2 如图3所示，质量为3m 的竖直圆环A

的半径为r ，固定在质量为2m 的木板B 上，

木板B 放在水平地面上，不能左右运动．在

环的最低点静止放置一质量为m 的小球C ，

给小球一水平向右的瞬时速度v 1，小球会在

环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不 会使环在竖直方向上跳起，瞬时速度必须满足 ( )

A ．最小值4gr

B ．最大值3gr

C ．最小值5gr

D ．最大值10gr

解析 为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行受力分析，临界条件下是小球只受重力，由mg ＝m v 2

r 知小球在最高点时的速度至少为v ＝gr

从小球开始运动到最高点过程由机械能守恒定律得

12m v 12＝12

m v 2＋2mgr 小球在最低点时v 1＝5gr 所以小球在最低点时的瞬时速度至少为v 1min ＝5gr ，C 正确．

如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对A 的弹力最多为F N ′＝5mg ，A 对小球的竖直向下的弹力最多为F N ＝F N ′＝5mg ，对小球在最高点进行受力分析可知F N

＋mg ＝m v ′2

r

解得小球在最高点时的速度v ′＝6gr

对小球由机械能守恒定律得12m v 1′2＝12m v ′2＋2mgr

解得小球在最低点时v 1′＝10gr

所以小球在最低点时的瞬时速度最大为v 1max ＝10gr ，

D 正确．答案为C 、D

[点评] 临界问题往往和极值问题相互关联，研究临界问题和极值问题的基本观点：(1)物理方法：通过对物理过程的分析，明确出现极值时有何物理特征，抓住临界(或极值)条件进行求解，这种方法突出了问题的物理本质．(2)数学讨论，通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系，用数学方法求解极值．

一、静摩擦力的范围引出的临界问题

例1 如图1所示，倾角为α＝60°的斜面上，

放一质量为1 kg 的物体，用k ＝100 N/m

的轻质弹簧平行于斜面吊着，物体放在

PQ 之间任何位置都能处于静止状态，而

超过这一范围，物体都会沿斜面滑动，若

AP ＝22 cm ，AQ ＝8 cm ，试求轻质弹簧原长及物体与斜面间的最大静摩擦力的大小．(g 取10 m/s 2)

解析 物体在临界位置Q 点，弹簧被压缩，压缩量为x ＝

L －AQ ，受力图如图(a)，物块有下滑趋势，最大静摩擦力F m 沿斜面向上；物体在临界位置P 点，弹簧被拉长，伸长量为x ，物块有上滑趋势，最大静摩擦力F m 沿斜面向下，受力图如图(b)．

由上两图分别列出：

F m ＝k (L －AQ )＋

G sin 60° ①

F m ＝k (AP －L )－

G sin 60° ②

解①②式得：L ＝⎝

⎛⎭⎪⎫0.15－320 m ，代入①式得：F m ＝7 N.

答案 ⎝

⎛⎭⎪⎫0.15－320 m 7 N [点评] 由于静摩擦力的大小有一定的范围，本题中物体在斜面上平衡的位置也就是一个范围，最下面的临界状态对应于静摩擦力向下达到最大值，最上面的临界状态对应于静摩擦力向上达到最大值．

针对训练1 如图2所示，位于斜面上的物体M 在沿斜面向上的力F 的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力 ( )

(1)方向可能沿斜面向上 (2)方向可能沿斜面向下 (3)大小可能等于零 (4)大小可能等于F

A ．仅(1)正确

B ．仅(1)(3)正确

C ．仅(2)(3)正确

D ．全部正确

解析 这是一个临界状态问题．由于物体静止，

其所受合力应该为零，如图所示，除受重力Mg 、

推力F 、支持力F N 外，物体是否受到静摩擦力取

决于这三个力的合力大小和方向，即：因摩擦力

必须沿着斜面方向，有无摩擦力取决于Mg 沿斜

面的分力与F 的合力的大小和方向．假设有静摩擦力存在，并且其方向向下，由平衡条件有

F －Mg sin θ－F f ＝0即F f ＝F －Mg sin θ.

于是有以下三种可能的临界状态：

当F ＞Mg sin θ时，F f ＞0，方向沿斜面向下；

当F ＝Mg sin θ时，F f ＝0，物体不受摩擦力；

当Mg sin θ＝2F 时，F f ＝F ，方向沿斜面向上．

(D)

针对训练2 如图4所示，光滑管形圆轨道半径

为R (管径远小于R )，小球a ，b 大小相同，质

量均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩

擦运动，两球先后以相同速度v 通过轨道最低

点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，

以下说法正确的是 ( )

A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需的向心力大5mg

B ．当v ＝5gR 时，小球b 在轨道最高点时对轨道无压力

C ．速度v 至少为5gR ，才能使两球在管内做圆周运动

D ．只要v ≥5gR ，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力大6mg

解析 小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b 所受重力充当向心力，mg ＝m v 02

R ，

v 0＝gR ，小球从最高点运动到最低点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR ＋12m v 02＝12m v 2，可得v ＝5gR ，B 项正确；小球在最低点时，F 向＝m v 2R ＝5mg ，最高点

和最低点所需向心力的差为4mg ，A 项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，

所以小球通过最高点的最小速度可以为0，再由机械能守恒定律可知，2mgR ＝12m v ′2，

解得v ′＝2gR ，C 项错；当v ≥5gR 时，小球在最低点所受的支持力F 1＝mg ＋m v 2

R ，由

最低点运动到最高点，2mgR ＋12m v 12＝12m v 2，设小球对轨道的压力为F 2则F 2＋mg ＝m v 12R ，

解得F 2＝m v 2

R －5mg ，F 1－F 2＝6mg ，可见小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力大6mg ，D 项正确．所以本题答案为B 、D.

三、传送带上的临界速度问题

例3 如图5所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度L ＝8 m ，传送带的皮带轮的半径R ＝0.2 m ，传送带的上部距地面的高度h ＝0.45 m ，现有一个旅行包(视为质点)以v 0＝10 m/s 的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数μ＝0.6.本题中g 取10 m/s 2.试讨论下列问题：

(1)若传送带静止，旅行包滑到B 端时，人若没有及时取下，旅行包将从B 端滑落．则包的落地点距B 端的水平距离为多少？

(2)设皮带轮顺时针匀速转动，并设水平传送带长度仍为

8 m ，旅行包滑上传送带的初速度恒为10 m/s.当皮带速度在什么范围内，旅行包落地点距B 端的水平距离始终为(1)中所求的水平距离？若皮带轮的角速度ω1＝40 rad/s ，旅行包落地点距B 端的水平距离又是多少？

(3)设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，在图6中画出旅行包落地点距B 端的水平距离x 随皮带轮的速度v 变化的图象．

图5 图6

解析 (1)v ＝v 02－2aL ＝v 02－2μgL ＝2 m/s.包的落地点距B 端的水平距离为x ＝v t ＝

v 2h g ＝2×2×0.4510 m ＝0.6 m.

2)由(1)问得当传送带静止不动时，包到达B 点的速度为2 m/s.若传送带以2 m/s 的速度运动，则包恰好到达B 点时与传送带有共同速度，此时落地的水平距离仍为0.6 m ；若传送带的速度v 大于2 m/s ，则当包减速到v 时就和传送带一起运动，因速度大于2 m/s ，所以落地的水平距离大于0.6 m ．综上所述，当皮带的速度小于等于2 m/s 时，旅行包落地点距B 端的水平距离始终为0.6 m.