小学奥数裂项公式汇总
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裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯
(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n
二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
a
b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+
（2）a
b b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”
分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整
三、整数裂项基本公式
(1)
)1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n
(2) )1()1)(2(4
1)1()2(......543432321+--=
⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(3
1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1(
(4) )2)(1()1(4
1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n
(5) !)!1(!n n n n -+=⨯
裂项求和部分基本公式
1.求和： 1
)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n
证：1
111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n
2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n n n S n
证：1
2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=
n n n n n S n
3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=
n n n n S n
证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n
1
3)1311(31+=+-=n n n
4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n n n S n 证：)1
111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2
111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n
5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])
2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=
∴n n n n n n S n
特殊数列求和公式
2
)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（
2127531n n =-++++）（
6
)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(12531222
22-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()4121212
22333+=++=+++n n n n
平方差公式)
(
)(
2b
2
+
=
a-
-
b
a
b
a
完全平方和（/差）公式2
22
2
±
=
a+
±
(b
)
b
ab
a
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