一元二次方程的综合复习

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一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5．用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（）2；（2）x 2+px+ =（）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2）．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

中考总复习一元二次方程复习

解方程：x2-│x│-2=0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，解得x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）．（2）当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，解得x1=1
（不合题意，舍去），x2=-2．
∴原方程的根是x1=2， x2 =-2．请参照例题解方程：
x2-│x-3│-3=0，则此方程的根是________．
∴x2=5，x=± . ∴原方程的解为x1=
x3= ，x4=－ .解答5 问题：
2 ，x2=－，
2
(1)填2 空：在由5 原方程得到5方程①的过程中，利用_________
法达到了降次的目的，体现了_________的数学思想.
(2)解方程x4－x2－6=0
第十二页，编辑于星期一：十五点五十二分。
基础闯关
• １．判断下列方程是否为一元二次方程？
•
•
（1） 3x + 2 = 5y - 3
（2）
• 整式方程中都只含有一个未知数，并
且未知数的最高次
• （3）
数是2，这样的方程叫做一元二次方
程
• （4）
２．若方程(k²+2k-3)x²+(k-1)x+4=0是关于x的一
元二次方程，则k的取值范围是＿＿＿＿
2 )x + ( 1 ) 2 - 3 x + 1 + 2 = 0 ;（因式分解法）
３) －x2＋4x－3=0（因式分解法）
４）2x2-9x+8=0（公式法）
１０. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式
３k2＋６k＋5的值必定大于零.
第十页，编辑于星期一：十五点五十二分。
基础闯关

一元二次方程复习知识点梳理

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。

中考数学——一元二次方程的综合压轴题专题复习含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥（2）4 【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+，因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.3．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍．（1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．【解析】【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.5．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到21344m?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？【答案】羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米．根据题意得（100﹣4x ）x=400，解得 x 1=20，x 2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x 2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．7．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．8．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0 y +1=0解得：x =1，y =﹣1∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0∴a ﹣3=0，b ﹣4=0解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．10．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a -=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝，∴x1＝2，x 2＝2。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

一元二次方程复习课(绝对经典)

2
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根、
(1)求k的取值范围；（）若 6, 求（） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程一般形式二次项系一次项常数项数系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4

中考数学专题复习一元二次方程的综合题附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3 【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6aa + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】6．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．7．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++，故答案为()() ab a1b14++；探究三：（8）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×6=()()3ab a1b12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．8．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a＝15代入原方程得24x2054x5-+-=，解得：x1＝12，x2＝2．∴a＝15，方程的另一根为12；（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.。

一元二次方程复习课(精品)

一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。

利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”，而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

初中数学一元二次方程全章复习与巩固(基础)

《一元二次方程》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程⎯⎯⎯→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42−叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42−=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根. （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根. （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x −=+21，a cx x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况. (2)根据参系数的性质确定根的范围. (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数.(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数. (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题. 二是把握问题中的等量关系. 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等). 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量). 列 (根据题目中的等量关系，列出方程).解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰). 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）. 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x −+=D ．223250x xy y −−=【答案】C【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误.B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程，故本选项错误.C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确.D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2 （2）二次项系数不为0 （3）是整式方程（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x −−++−=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0 (2) (x+a)2=(3) 2x 2-4x-1=0 (4) (1-)x 2=(1+)x【答案与解析】 (1)原方程可化为0.5x 2=∴x 2=用直接开平方法，得方程的根为 ∴x 1=，x 2=-(2)原方程可化为x 2+2ax+a 2=4x 2+2ax+∴x 2=a 2用直接开平方法，得原方程的根为 ∴ x 1=a ，x 2=-a ．(3) a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0 (2)2(t-1)2+t＝1【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x= (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0∴11t=，21 2t=类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2020•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0 ∴a ≥1 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t −++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=,122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+−222(2)2t t =−+=−，即2(1)s t t =−<−．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =−−的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +−+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =−−=−+≥△，∴ 12m ≤．（2） 1222y x x m =+=−+，且12m ≤．因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2020春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300解得：x1=10，x2=15当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25故x1=10（不合题意舍去）50﹣2x=50﹣30=20答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0解得，x1＝2，x2＝3∴当x＝2时，2x＝4当x＝3时，2x＝6答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（）A ．2B ．5C ．7D ．83．（2020•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（） A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20%4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（）A.（x-2）2+3 B.（x+2）2-4 C.（x+2）2-5 D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ． B ． C ．且 D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是．10．（2020秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为和． 11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a −++−=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=−，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝；问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2020•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×，整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5，∵20﹣2x ＞0，∴x＜10，∴x=2.5， ∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a −≠，所以1a =−.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++−=，再整体代换．具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++−−−⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x −−=的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+−=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y=－10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。

一元二次方程总复习资料

第3章一元二次方程总复习资料主备人：张静审核人：一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。

这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。

例如：535,53,02,3422222+===-+-x x x x x x x 都是一元二次方程。

而03132=-+x x不是一元二次方程，原因是x1是分式。

2.任何关于x 的一元二次方程的都可整理成)0(02≠=++a c bx ax 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。

化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。

注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b 、c 均可以为零。

如方程013x 023x 02222=-=-=、、x x 都是一元二次方程。

3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。

如x=1时，022=-+x x成立，故x=1叫022=-+x x的解。

4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。

（1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x的解为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。

它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成()a =2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。

一元二次方程总复习[原创]1900

一元二次方程复习一）一元二次方程的定义二）)0a (0c bx ax 2≠=++。

a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。

这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2-∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根.4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为ab -7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。

8若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两个实数根，即① a b x x 21-=+ acx x 21=∙（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。

）②一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。

可以用求根公式法分解二次三项式。

9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）x+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212212221x x 2x x x x -+=+②()()()()[]2122121222121213231x x 3x x x xx x x x x x x x -++=+-+=+③()2121221221x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅④()()()2212121a x x a x x a x a x +++⋅=++ ⑤212121x x x x x 1x 1⋅+=+ ⑥()()22121221222122212221x x x x 2x x x x x x x 1x 1⋅-+=⋅+=+⑦()()2122122121x x 4x x x x x x -+=-=-例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

一元二次方程总复习

适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：适应于左边能分解为两个一次式的积，
右边是0的方程
一元二次方程的应用
注意：一元二次方程的
一、一元二次方程的概念引例：判断下列方程是不是一元二次方程
三个要素
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
是
（3）ax²+ｂx+c=0 不一定巩固提高：
通过复习，掌握一元二次方程的概念，并能够熟练的解一元二次方程，并且利用一元二次方程解决实际问题
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程
一元二次方程的定义
一
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
元二
直接开平方法：适应于形如（x-k）²=h（h>0）型
次方程
一元二次方程的解法配方法：公式法：
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。（21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。（22）再后来，她睡了。（23）我走在走廊的尽头，心绪难平。（24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮

一元二次方程专题复习资料

一元二次方程专题复习知识盘点1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为项和项，右边为项；③配方，即方程两边都加上的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个的乘积；③令每个因式都等于，得到两个方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。

4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。

中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习

中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习一元二次方程综合复习一选择题：1. 关于X 的一元二次方程（m-1） x=+5x+m : - 3m+2=0,常数项为0,则m 值等于（） A. 1 B. 2C ・ 1 或 2 D. 0 2. 下列方程中，是一元二次方程共有（） ①呂3二0：②2x c - 3xy+4=0； (3)x : - 4x+k=0：④x ：hnx - 1 二0；⑤3x :+x=20・ 3A.2个B.3个C.4个D.5个 3. —元二次方程3x c - 4= - 2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） C. 3, 2, -4 D.3, -4,04. 若关于x 的一元二次方程kx 2 - 6x+9二0有两个不相等的实数根，则k 的取值范羽（）5. 关于x 的一元二次方程（m ・1） x 2+5x+m : - 3m+2二0的常数项为0,则m 等于（） 6. 用配方法解一元二次方程x :-6x-4=0.下列变开征确的是（） 7•三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x=10x+21二0的根，则该三角形的周长为（） A. 14 B. 10 C. 10或14 D.以上都不对8.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程X 3 -4x+3二0的根，则该三角形的周长可以是（）A. 5B.7 9. 一元二次方程4x=+l=4x 的根的情况是（A.没有实数根C.有两个相等的实数根 B. 3, - 2, - 4 A. kV ］且 k^O B.k^O C.k<lD.k>lA. 1B.2 C ・1或2 D.0A. (x-6) '=-4+36B. (x-6)2=4+36C. (x-3) J-4+9D. (x-3)^4+9C. 5 或 7D. 10B.只有一个实数根D.有两个不相等的实数根A. 1B.2 C ・1或2 D.010•已知“ &是关于x的方程x2+ax - 2b=0的两实数根，且X,+XF・2, X/X R,则X的值是（）A. 1B. - 1C.4D. - 14 411.若关于x的一元二次方程x:+mx+m-3m+3=0的两根互为倒数，则m的值等于（）12•已知x为实数，且满足（丘+3»+2（€+3»-3二0,那么€+3x的值为（）A. 1B. -3 或1C.313•有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习A. x (x+1) =64B. x (x - 1) =64C. (1+x)'二64D. (l+2x) =6414.某市2013年生产总值(GDP)比2012年增长T 12%,由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%.若这两年GDP年平均增长率为嚥，则硫满足的关系是( )A. 12%+7%=x%B. (1+12%) (1+7%) =2 (1+x%)C. 12%+7%=2*x%D. (1+12%) (1+7%) = (1+x%):15.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A. 200(l+x)==1000B. 200+200X2x=1000C. 200+200 X3x=1000D. 200 C1+ (1+x) + (1+x) :]=100016.有两个一元二次方程：M： ax'+bx+c二0, N： cf+bx+a二0,其中a+c二0,以下列四个结论中，错误的是( ) A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B•如果6是方程M的一个根，那么寺是方程N的一个根6C.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是X二-1D.如果方程M有两根符号相异，那么方程N的两根符号也相异17•根据下面表格中的取值，方程x:+x - 3=0有一个根的近似值(精确到0.1)是( )A. 1.5B. 1.2C. 1.3D. 1.418.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A.4个B.5个C.6个D.7个19•已知实数/ b分别满足a: - 6a+4=0, b2 - 6b+4=0,且aHb,则屯冲的值是( )a bA. 7B. - 7C. 11D. - 1120.设关于x的一元二次方程(x-l)(x-2)二m(m>0)的两实根分别为0 ,且0< 0，则G, 0满足( )A. l<a <3 <2B. 1< a <2< BC. a <1<P<2D. a < 1 且B >2二填空题:中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习21.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求疑不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为_%.22.某公司4月份的利润为160万元，由于经济危机，6月份的■利润降到90万元，则平均每月减少的百分率是___________________ .23. __________________________________________________________________________设血&是方程X2+X-2013= 0的两个不相等的实数根，则/十的值为____________________________________________•24.九年级(3)班全体同学在圣诞节将自己的贺卡向本班其他同学各赠送一张，全班共互贈了1980张，若全班共有x名学生，则根据题意列出的方程是________________________25.某厂一月份生产零件50万件，第一季度共生产零件182万个，该厂二、三月份平均每月的增长率为兀，则兀满足的方程是___________________________________ .26.若m、n是方程x:+6x・5=0的两根，则3m+3n - 2mn二____ ・27.若关于x的一元二次方程(k - 1) x:+2x - 2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范用是2&如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x:+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是 ______________ .29.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长岀x个小分支，则可得方程为____________________________________ .30.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m\那么通道的宽应设计成多少m?设通道31•解方程：(2x- l)s=(3-x)s32.解方程:3x2 - 6x+l=0 (用配方法)33•解方程:x2+l=3x：中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习34•已知a、b. c是三角形的三条边长，且关于x的方程(c-b)x c+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.35•已知：关于x的一元二次方程(4k+l) x+3k+3=0 (k是整数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根：(2)若方程的两个实数根分别为m X：(其中X1<x=),设y二判断y是否为变量k的函数？如果是，请写岀函数解析式；若不是，请说明理由.36. 已知关于x的一元二次方程x2+2 (m+1) x+m2 - 1=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围：(2)若方程两实数根分别为X-也且满足(x厂Q咗16-xg 求实数m的值.37•如图，有长为24米的篱笆，一而利用墙（墙的最大可用长度为幺为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成而积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？1///////7/"/////////IA\ \ \DB C38•在美化校园的活动中.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆用成一个矩形花|TC| ABCD （篱笆只围AB, BC两边），设AB=xm・（1）若花园的而积为192m：,求x的值;（2）若在P处有一棵树与墙CD, AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树囤在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求X取何值时，花园面积S最大，并求出花园而积S的最大值.39. 如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通适的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地而作为运动场地.（1）________________________________________ 设通道的宽度为x米，则a二（用含x的代数式表示）：（2）若塑胶运动场地总占地而积为2430平方米.请问通道的宽度为多少米？40. 如图，在直角三角形ABC中，直角边AC二3cm, BOlcm.设P、Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB 方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒lcm,当Q 点到达C点时，P点就停止移动.设P、Q移动的时间t秒.（1）写出APBQ的面积S（cm’）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围.（2）当f为何值时，APBQ为等腰三角形？（3）APBQ能否与直角三角形ABC相似？若能，求f的值；若不能，说明理由.中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习参考答案 x :+x+l=91 30、(30 - 2x) (20 ・x)二6X78 Ab 2-4ac=(-3)2-4XlXl = 5>0. ：.x=3^ ・：.x.= 3^ , x 戶朋・21 2 2 34、解：由已知条件得 A = [2(A - «) f - 4(c - i) (« - A) = 0 整理为仙—E)@ — Q = 0：• a = b 或ct = c •: U —Z PH O j[lj c b 这个二角形是等腰二角形・35、【解答】(1)证明：kHO, △二(4k+l) 2-4k (3k+3) = (2k- 1) %•・・k 是整数,・・・kH 寺,2k ・lH0, ・•・△= (2k ・1) 3>0, /.方程有两个不相等的实数根;Tk 是整数,•••1』W2<3・又m, /.X1=lkk 36、【解答】解：(1)由题意有△二[2 (m+1) ]_41) 20,整理得8m+8M0,解得- b•'・实数 m 的取值范【间是 - 1： (2)由两根关系，得 Xi+x2= - 2 (m-rl) , x^x^m' - 1> (x ： - x ：) "=16 - XiXc (Xi+x ：) ■・ 3xiX ： ■ 16 二 0, •： [ ■ 2 (m+1 )]"-3(m'"l) - 16-0, .•.m"+8m ・ 9二0,解得 • 9 或 m^l - 137、 (1)设AB 的长是x 米.(24-3x)x=45,解得X ：=5,当x 二3时，长方形花圃的长为24-3x=15；当x=5 时，长方形花圃的长为24-3x=9,均符合题意：・・.AB 的长为3m 或5m.(2)花圃的而积为(24-3x) x=-3x2+24x=-3 (x2-8x+16-16)二-3 (x-4) 2+4&・••当AB 长为4m,宽为12m 时，有最大面积，为48平方米.38、 (1) VAB=xm,则 BC 二(28-x) m, Ax (28-x)二 192,解得：xl=12, x2二 16,答：x 的值为 12m 或 16m ：x 2 6(2)由题意可得出：i ' 、仃，解得：6 < x < 13•又 S=x (28-X )= - x2+28x= - (x- 14) 2+196.28 - K > 15•••当x£14时，S 随x 的增大而增大■•••x=13时，S 取到最大值为：S=- (13-14) 2+196=195 答：X 为13m 时，花恫而积S 最大，最大而积为195m :.39、【解答】解：(1)设通道的宽度为x 米，则店~-—:故答案为：一-—60 ■ 3x(2)根据题意得，(50・2x) (60-3x) - 一-~=2430,解得x ：=2, x ：=38 (不合题意，舍去).40、作 PH 丄BC 于 M AC=3cm, BC=4cm, ZC=90° AAB=5 VPA=BQ=t APM=sinB PB=3/5(5-t)BM=cosB fB 二4/5(5-1) •••QH 二BM-BQ 二4-9/5 •'•PQ 二 VQM 2 +PM 2 = 4(4-9/5 •t)2 + (3-3/5 *t)2 V APBQ 为等腰三角形•••①当 BQ 二PB 时 5-t=t, /. t=2. 5②当 PQ 二BQ 时 t 二 J (4-9/5 • t)2+ (3-3/5 • t)2 A 13t 2-90t+125=0 At=25/13, (t=5 不符合题意，舍去) ③当 PB=PQ 时 5-t= 4 (4-9/5 • t)2+ (3-3/5 • t)2t=40/13, (t=0 不符合题意,舍去)总之,t=2. 5或t 二25/13,或t 二40/13时，APBQ 为等腰三角形.1、B2、B3、C 4. A 5. B 6、D14.24、 7、 B 8、 B D 15、 D 16、 C 17、 C 18、 B 19、 A 20、 D X (X- 1) =1980 25. 50+50(1+x)+50(l+x)J1829、 21、 26、C 10、 A 11、 B 12. A 10 ■ 22、 25% 23. -8 . 27、k>~|•且 kHl 13、C 2012 29、 31、 33、3G 咗(1)将原方程化为一般形式，得x s -3x+l=0, Va=l, b=-3, 可用直接开平方X1 = -2,x 2 = -32. 3x ：-6x+l 二0, ⑵照y 是k 的函数.解方爾，严)士护+牟严2A x=3 或 x=。

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附答案

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附答案一、一元二次方程1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．3．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝，∴x 1＝2，x 2＝24．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0， ∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2， ∵m 2≥0， ∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±，∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根. 5．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.6．∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m）×即m2－80m+1500=0解得m1=30，m2=50．又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．∴m=50【解析】7．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=8．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ，解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.9．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2；（2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．10．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．11．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m 件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m ），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x 元，根据题意列方程得，150（x ﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m ）=5670，150+m ﹣150×m%﹣m%×m=162，m ﹣m 2=12，60m ﹣3m 2=192， m 2﹣20m+64=0， m 1=4，m 2=16， ∵要使销售量尽可能大， ∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根，∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-；∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.14．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600．化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．15．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值．【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35. 【解析】【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 340602?元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克则(10020)(10)1000x x +-=，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去) 所以a =35. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.。

一元二次方程中考综合复习题(基础+提高+应用题)

一元二次方程综合复习题基础题：一、选择题：1．定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论成立的是( )A ．a ＝cB ．a ＝bC ．b ＝cD ．a ＝b ＝c2．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（）A ． 25（1+x ）2=64 B ． 25（1﹣x ）2=64 C ． 64（1+x ）2=25D ． 64（1﹣x ）2=25 3．关于关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣k 2=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断4．若关于x 的一元二次方程nx 2﹣2x ﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x ﹣n 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0有一个根是0，则m 的值是（）A ． 2B ． ﹣2C ． 2或﹣2D ． 126．下面关于x 的方程中①ax 2+bx+c=0； ②3（x ﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=0； ④（a 2+a+1）x 2﹣a=0；⑤3x 2+k=x ﹣1．一元二次方程的个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47．关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则a 满足（）A ． a ≥1B ． a>1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠58．关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k ﹣1=0的两根互为相反数，则k 的值为（）A ． ±2B ． 2C ． ﹣2D ．不能确定9．用配方法解方程x 2﹣4x+1=0时，先把方程变为（x+h ）2=k 的形式，则h ､k 的值分别是（）A ． 2､17B ． ﹣2､15C ． 2､5D ． ﹣2､310．关于x 的一元二次方程()221x m 3x m 04-++=有两个不相等的实数根，那么m 的最小整数值是（） A ． ﹣1 B ． 0 C ． 1 D ． 211．已知方程x 2+bx+a=0有一个根是﹣a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A ． abB ． a bC ． a+bD ． a ﹣b 12．设a ､b ､c 是三角形的三边，则关于x 的一元二次方程c ()2c x a b x 04+++=的根的情况是（） A ．方程有两个相等实根 B ．方程有两个不等的正实根C ．方程有两个不等的负实根D ．方程无实根13．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（）A ． k>﹣1B ． k≥﹣1C ． k>﹣1且k≠0D ． k≥﹣1且k≠014．如果（x+2y ）2+3（x+2y ）﹣4=0，那么x+2y 的值为（）A ． 1B ． ﹣4C ． 1或﹣4D ． ﹣1或315．若α､β是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是（） A ． ﹣2 B ． 4 C ． 0．25 D ． ﹣0．516．若方程（x 2+y 2）2﹣5（x 2+y 2）﹣6=0，则x 2+y 2=（） A ． 6 B ． 6或﹣1 C ． ﹣1D ． ﹣6或117．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（）A ． x （x+1）=182B ． x （x ﹣1）=182C ． x （x+1）=182×2D ． x （x ﹣1）=182×218．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（7m 2﹣14m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值等于（）A ． ﹣5B ． 5C ． ﹣9D ． 9二、解答题： 19．（换元法）解方程：（x 2﹣3x ）2﹣2（x 2﹣3x ）﹣8=0解：设x 2﹣3x=y 则原方程可化为y 2﹣2y ﹣8=0解得：y 1=﹣2，y 2=4当y=﹣2时，x 2﹣3x=﹣2，解得x 1=2，x 2=1当y=4时，x 2﹣3x=4，解得x 1=4，x 2=﹣1∴原方程的根是x 1=2，x 2=1，x 3=4，x 4=﹣1，根据以上材料，请解方程：（2x 2﹣3x ）2+5（2x 2﹣3x ）+4=0．20．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m ），另外三边利用学校现有总长38m 的铁栏围成．（1）若围成的面积为180m 2，试求出自行车车棚的长和宽；（2）能围成的面积为200m 2自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．21．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?25．阅读材料：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根，那么有x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x 1，x 2是方程x 2+6x ﹣3=0的两根，求x 12+x 22的值．解法可以这样：∵x 1+x 2=6，x 1x 2=﹣3则x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2（﹣6）2﹣2×（﹣3）=42．请你根据以上解法解答下题：已知x 1，x 2是方程x 2﹣4x+2=0的两根，求：（1）1211x x 的值；（2）（x 1﹣x 2）2的值．26．解下列方程：（1）22x 50-= （2）2113x 6x 2022⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．27．已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0，其中m ､n 分别是一个等腰三角形的腰和底边．（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两根x 1､x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m ､n 的值．28．关于x 的一元二次方程4x 2+4（m ﹣1）x+m 2=0（1）当m 在什么范围取值时，方程有两个实数根?（2）设方程有两个实数根x 1，x 2，问m 为何值时，2212x x 17+=?（3）若方程有两个实数根x 1，x 2，问x 1和x 2能否同号?若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．29．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且|x 1﹣x 2m 的值，并求出此时方程的两根．提高练习一、选择题：1．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b ）x 2+2cx+（a+b ）=0的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 2．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形面积是（）A ． 24B ． 24或C ． 48D ．3．关于关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣k 2=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断4．若关于x 的一元二次方程nx 2﹣2x ﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x ﹣n 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列命题①方程x 2=x 的解是x =1②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有：【】A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个6．已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b a a b+的值是（） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --7．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2009=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（）A ． 2006B ． 2007C ． 2008D ． 20098．方程x 2﹣kx ﹣（k+1）=0的根的情况是（）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．方程的根的情况与k 的取值有关9．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0有一个根是0，则m 的值是（）A ． 2B ． ﹣2C ． 2或﹣2D ． 12 10．关于x 的一元二次方程22(1)10a x ax a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1 B ． 0 C ． -1 D ． ±111．若式子2210a x x +-能构成完全平方式，则a 的值为（）．A ．10B ．15C ．5或5-D ．2512．若是方程的两个实数根，则的值（） A ．2007 B ．2005 C ．-2007 D ．401013．设a ､b ､c 是三角形的三边，则关于x 的一元二次方程c ()2c x a b x 04+++=的根的情况是（） A ．方程有两个相等实根 B ．方程有两个不等的正实根C ．方程有两个不等的负实根D ．方程无实根14．关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则a 满足（）A ． a ≥1B ． a>1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠515．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ． a>2B ． a<2C ． a<2且a ≠lD ． a<﹣216．（非课改）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m 的值是（）A ． 3或﹣1B ． 3C ． 1D ． ﹣3或117．关于x 的方程ax 2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1､x 2，且有x 1﹣x 1x 2+x 2=1﹣a ，则a 的值是（）A ． 1B ． ﹣1C ． 1或﹣1D ． 2,αβ2220070x x +-=23ααβ++18．设α､β是方程的两根，则的值是（）A ．0B ．1C ．2000D ．400000019．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（7m 2﹣14m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值等于（）A ． ﹣5B ． 5C ． ﹣9D ． 920．方程x （x+2）=2（x+2）的解是（）A ． 2和﹣2B ． 2C ． ﹣2D ．无解21．已知x 是实数，且满足（x 2+4x ）2+3（x 2+4x ）﹣18=0，则x 2+4x 的值为（）A ． 3B ． 3或﹣6C ． ﹣3或6D ． 622．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．若关于x 的方程x 2+px+q=0得一个根为零，另一个根不为零，则（）A ． p=0且q=0B ． p=0且q≠0C ． p≠0且q=0D ． p=0或q=024．若方程（x 2+y 2）2﹣5（x 2+y 2）﹣6=0，则x 2+y 2=（）A ． 6B ． 6或﹣1C ． ﹣1D ． ﹣6或125．一元二次方程x 2﹣3x+1=0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值是（）A ． 3B ． ﹣3C ．D ． ﹣二、解答题：27．用指定方法解方程（1）2x 2﹣7x+3=0（公式法）（2）y 2+4y ﹣5=0（配方法）（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）28．已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0，其中m ､n 分别是一个等腰三角形的腰和底边．（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两根x 1､x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m ､n 的值．29．已知､是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数的整数值． 30．已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长． 0192=++x x )12009)(12009(22++++ββαα1x 2x 01442=++-k kx kx k 23)2)(2(2121-=--x x x x k 21221-+x x x x k⑴k 取何值时，方程在两个实数根；⑵当矩形的对角线长为5时，求k 的值．应用题：一、选择题：1．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（）A ． 200（1+x ）2=1000B ． 200+200×2x=1000C ． 200+200×3x=1000D ． 200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000 2．利民大药房将原来每盒盈利30%的某种药品先后两次降价，经两次降价后每盒仍能盈利10%．则这两次降价的平均降价率是多少?（）A ．（1﹣x ）2=1+10%B ． 30%（1﹣x ）2=1+10%C ．（1﹣x ）2×30%=1+10%D ．（1+30%）（1﹣x ）2=1+10% 3．某品牌电脑20XX 年的销售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降．至20XX 年该品牌电脑的销售单价为4900元，设20XX 年至20XX 年，20XX 年至20XX 年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x ，则可列出的正确的方程为（）A ．4900（1+x ）2=7200B ．7200（1﹣2x ）=4900C ．7200（1﹣x ）=4900（1+x ）D ．7200（1﹣x ）2=4900 4．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产450台．设二、三月平均每月增长率为x ，根据题意列出方程是（）A ．150（1+x ）2=450B ．150（1+x ）+150（1+x ）2=450C ．150（1﹣x ）2=450D ．150+150（1+x ）2=4505．实数m 满足210m +=，则44mm -+的值为（）A ．62 B ．64 C ．80 D ．100 二、解答题：6．百货商店服装部在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售量，增加赢利．减少库存，商场决定采取适当的降价措施经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）若平均每天销售这种童装赢利1200元，则从消费者的角度考虑．每件童装应降价多少元？（2）销售这种童装是否可以使赢利最大？若可以，求出这个最大赢利；若不可以．请说明理由．7．某商场为迎接元旦，计划以单价40元的价格购进一批商品，再以单价50元出售，每天可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件（每件售价不能高于56元）．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每天的销量为y 件．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量X 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为2210元?（3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润?最大利润是多少元?8．在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．（1）几秒后△PBQ的面积等于4cm2？（2）几秒钟后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由．9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元；（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多．10．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自20XX年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？11．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求a bb a的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．12．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？13．某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1角，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5角．（1）如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少?这天卖面包的利润是多少?（2）如果每天销售这种面包获得的利润是48元，那么这种面包的单价是多少?14．如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽?。

完整版一元二次方程知识点总结和例题复习

知识框架知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。

(2) 配方法配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。

根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；代替，则有化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式过整理，？都能化成如下形式一个一元二次方程经过整理化成是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。

2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。

数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，方法。

人教版九年级数学第21章一元二次方程综合复习(含答案)

人教版九年级数学第21章一元二次方程综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是( )A ．0B ．0，2C ．2D ．2，－22. 若方程ax 2＋2x ＝bx 2－1是关于x 的一元二次方程，则a ，b 的值可以是( )A ．1，1B.12，12 C ．－3，3D ．－3，－33. 一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4. 一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝25. 方程3x (2x ＋1)＝2(2x ＋1)的两个根为( )A ．x 1＝23，x 2＝0B ．x 1＝23，x 2＝12C ．x 1＝32，x 2＝－12D ．x 1＝23，x 2＝－126. 2018·福建已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )A ．1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C ．1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D ．1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－28. 对于二次三项式－x2＋4x－5的值，下列叙述正确的是()A．一定为正数B．一定为负数C．正、负都有可能D．一定小于－19. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为() A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定10. 如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程中正确的是()A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝570二、填空题（本大题共7道小题）11. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．12. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝________．13. 已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则+c的值等于.14. 一个三角形其中两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则此三角形的周长是________．15. 根据下表中的数据写出方程x2＋3x－4＝0的一个根为________．x 0123 4x2＋3x－4－406142416. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．17. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小19，则这个两位数是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都将被感染？19. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．20. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”题意为已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长一丈，那么门的宽和高各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)21. 已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)当p 为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)人教版九年级数学第21章一元二次方程综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】代入数据求出根的判别式Δ＝b 2－4ac 的值，根据Δ的正负即可得出结论．∵Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．4. 【答案】D [解析] x(x －2)＋(x －2)＝0， (x ＋1)(x －2)＝0，x ＋1＝0或x －2＝0，所以x 1＝－1，x 2＝2.故选D.5. 【答案】D [解析] 3x(2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0，(3x －2)(2x ＋1)＝0，3x －2＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝23，x 2＝－12.6. 【答案】D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，∴⎩⎨⎧a ＋1≠0，Δ＝（2b ）2－4（a ＋1）2＝0，∴b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)．当b ＝a ＋1时，有a －b ＋1＝0，此时－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根；当b ＝－(a ＋1)时，有a ＋b ＋1＝0，此时1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根． ∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)，∴1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．7. 【答案】C8. 【答案】B[解析] ∵－x 2＋4x －5＝－(x 2－4x ＋4)－1＝－(x －2)2－1＜0，∴原式的值一定为负数．9. 【答案】A [解析] 因为b ＋c ＝5，所以c ＝5－b.因为Δ＝b 2－4×3×(－c)＝b 2－4×3×(b －5)＝(b －6)2＋24>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根．10. 【答案】A二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝b 2－4ac ＞0，即⎩⎨⎧k≠0，16＋16k>0，解得k ＞－1且k≠0，∴k 的最小整数值为1.12. 【答案】－3或4 [解析] 根据题意，得[(m ＋2)＋(m －3)]2－[(m ＋2)－(m －3)]2＝24.整理，得(2m －1)2＝49，即2m －1＝±7，所以m 1＝－3，m 2＝4.13. 【答案】2[解析]根据题意得:Δ=4-4a(2-c)=0，整理得4ac-8a=-4，4a(c-2)=-4.∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程，∴a≠0，等式4a(c-2)=-4两边同时除以4a，得c-2=-，则+c=2.14. 【答案】13[解析] 解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.∵2，3，6不能构成三角形，∴舍去x＝2.当x＝4时，三角形的周长＝3＋4＋6＝13.15. 【答案】x＝116. 【答案】－2018[解析] 根据题意，得a＋b＝－1，ab＝－2020，∴(a－1)(b －1)＝ab－(a＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.17. 【答案】32[解析] 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x－1.根据题意，得x2＋(x－1)2＝10x＋(x－1)－19，解得x1＝3，x2＝3.5(舍去)，∴10x＋(x－1)＝32.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝16，解得x1＝3，x2＝－5(舍去)．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．(2)三轮感染后，被感染的电脑台数为16＋16×3＝64，四轮感染后，被感染的电脑台数为64＋64×3＝256＞101.答：若病毒得不到有效控制，四轮感染后机房内所有电脑都将被感染．19. 【答案】解：设这三个连续的正奇数分别为2n－1，2n＋1，2n＋3(n为正整数)．根据题意，得(2n ＋3)(2n －1)－6(2n ＋1)＝3，解得n 1＝3，n 2＝－1(舍去)．当n ＝3时，2n －1＝5，2n ＋1＝7，2n ＋3＝9.即这三个奇数分别为5，7，9.20. 【答案】解：设门的宽为x 尺，则高为(x ＋6.8)尺．根据题意，得x 2＋(x ＋6.8)2＝102，整理，得2x 2＋13.6x －53.76＝0，解得x 1＝2.8，x 2＝－9.6(舍去)，所以x ＋6.8＝9.6.所以门的宽为2尺8寸，高为9尺6寸．21. 【答案】解：(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4(4－p 2)＝4p 2＋9＞0，∴不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.由求根公式得方程的根为x ＝5±4p 2＋92. ∵方程有整数解，∴找到p 的值，使5±4p 2＋92为整数即可， ∴p 可取0，2，－2，10，－10等，此时方程有整数解(答案不唯一，写出三个即可)．。