三等分角器
三等分角的小工具
三等分角的小工具研著者：南昌县塔城中学李福才（版权所有请勿转发）
采用尺规三等分任意角是古代的一道难题，至今两千余年尚未解决，实际上仅用尺、规来将一个角三等分，这是不可能的。
下面介绍一种三等分角的小工具。
（一）工具的制作
1．材料：透明直尺五根、透明圆一个、空心铆钉六只。
2．制作方法：将五根透明直尺用铆钉钉成如图所示的并列的两个全等的菱
形，透明的直径d等于DF，圆心钉
在E点上。
如图（一）
图一
（二）操作方法
把任意∠POQ三等分，将此工具
的点B与∠POQ的顶点O重合，BC
与OP重合，然后根据四边形的不稳定
形，扭动小工具，使边OQ与透明圆在
AD上交于同一点M，射线OE，OF
就将∠POQ三等分。
（三）证明
连结FM交BE于点N，连BF，
图二
∵以DF为直径的圆及OQ边交于AD于M。
∴FM⊥AD
∵AD∥OE，DE=EF，
∴ON是FM的垂直平分线，
∴∠QOP=∠EOF。
又∵四边形OEFC是菱形
∴∠EOF=∠FOP
∴∠QOE=∠EOF=∠FOP
∴OE，OF三等分∠QOP
P。
阿基米德原理公式推导过程三等分角器
阿基米德原理公式推导过程三等分角器阿基米德原理是物理学中非常重要的一个原理，而三等分角器则是数学中一个有趣的工具。
让咱们先来聊聊阿基米德原理的公式推导过程。
话说有一天，我正在教室里给学生们讲阿基米德原理。
我拿了一个装满水的大玻璃缸，还有一个金属块。
我先问学生们：“你们猜猜把这个金属块放进水里，会发生啥？”学生们七嘴八舌地说开了，有的说水会溢出来，有的说金属块会沉下去。
然后我就把金属块慢慢地放进水里，果然，水溢出来了一些。
这时候我就告诉他们，溢出来的水的体积就等于金属块的体积。
这就是阿基米德原理的一个小起点。
咱们再深入一点，假设一个物体浸没在液体中。
这个物体受到了向下的重力 G 物，还受到了向上的浮力 F 浮。
根据力的平衡原理，如果物体处于静止状态，那么重力 G 物就等于浮力 F 浮。
那浮力 F 浮到底咋算呢？这就得从液体对物体的压力说起啦。
液体内部的压强是随着深度增加而增大的。
所以物体在液体中不同深度的表面受到的压力是不一样的。
想象一下，这个物体是一个规则的长方体。
它的上下表面面积相等，深度不同。
下表面受到的压力 F 下就比上表面受到的压力 F 上大。
那浮力 F 浮不就是这两个压力的差嘛！经过一番推导，咱们就能得出阿基米德原理的公式：F 浮= ρ 液 gV 排。
其中，ρ 液是液体的密度，g 是重力加速度，V 排是物体排开液体的体积。
再来说说三等分角器。
有一次我在办公室里研究三等分角器，想得那叫一个入神。
旁边的老师都笑我，说我太较真儿了。
三等分角器的原理其实挺巧妙的。
它利用了一些几何图形的特性和比例关系。
比如说，通过构建特定的三角形或者线段比例，来实现角的三等分。
但是呢，三等分角问题在只用尺规作图的情况下是没法完成的。
可这并不妨碍我们通过其他工具或者方法来实现它。
就像在学习和生活中，有时候我们觉得一个问题没法解决，可能只是我们的思路被限制住了。
当我们换个角度，或者借助一些新的工具和方法，说不定就能找到答案。
三等分角仪证明过程
三等分角仪证明过程引言三等分角仪是一种用于将一个角度等分为三等份的测量工具。
在几何学中，角度的等分是一项重要的任务，它可以帮助我们在建筑、制图、天文学等领域中进行精确的角度划分。
本文将详细介绍三等分角仪的证明过程，帮助读者理解该工具的原理和使用方法。
证明过程为了证明三等分角仪的原理，我们需要借助一些基本的几何定理和概念。
下面将逐步介绍证明过程。
步骤1：构造等边三角形首先，我们需要构造一个等边三角形ABC作为基础。
在平面上选择一个点O作为三角形的中心，然后以O为圆心，OA为半径画一个圆。
再以O为圆心，OB为半径画第二个圆。
最后以O为圆心，OC为半径画第三个圆。
这样我们就得到了一个等边三角形ABC，其中AO、BO、CO分别为三角形的边。
步骤2：构造三等分角仪接下来，我们需要构造一个三等分角仪。
在等边三角形ABC的边上，分别取三个点D、E、F，使得AD=BE=CF。
然后连接OC、OF和OE。
这样就构造出了一个三等分角仪，其中OC是三等分角仪的基线，OF和OE是三等分角仪的刻度线。
步骤3：证明三等分角仪的原理现在我们来证明三等分角仪的原理。
首先，我们知道在等边三角形ABC中，角A、角B和角C的度数都是60度。
我们可以通过测量角A来验证三等分角仪的准确性。
我们先测量角AOC的度数，假设为x度。
然后通过三等分角仪的刻度线OF和OE来测量角AOF和角AOE的度数，假设分别为y度和z度。
根据三等分角仪的设计，我们可以得到以下等式：x = y + z接下来，我们需要证明角AOC的度数是角A的三分之一。
根据等边三角形ABC的性质，我们知道角AOC的度数是60度。
因此，我们需要证明以下等式成立：x = 3 * y将之前的等式代入上述等式中，可以得到：y + z = 3 * y化简后得到：z = 2 * y由于y和z是三等分角仪的刻度线所测得的度数，它们是等分的。
因此，我们可以得出结论：角AOC的度数是角A的三分之一。
苏科版-数学-九年级上册-知识拓展 “三等分角仪”的制作原理是什么？
初中-数学-打印版
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“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．
数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．
在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分．
把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图中阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD
相等，PB 垂直于AD （即PB 与半圆相切，切点为B ）．这便做成了一个“三等分角仪”．
如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点．最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB ＝∠BPC ＝∠CPN ．
证明：连结CE ，则CE ⊥PN ．
∵Rt △PAB ≌Rt △PCB ≌Rt △PCE ，
∴∠APB ＝∠BPC ＝∠CPE ＝13
∠MPN ． 注：在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；
（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．。
三等分角的问题
三等分角的问题一、研究动机：古代数学几何作图有三大难题，一是化圆为方，一是倍立方体，另一个则是三等分角，其中又以三等分角看起来最为容易。
可是这三大难题难倒了数学家好几个世纪，现代数学证明了用几何原本所规定的标尺作图法，是无法解出这三道难题，但是如果不限于标尺作图的话，是否可以把这三道问题解决呢？于是便开始了我们的研究路程。
二、研究目的：在这三道问题中，我们选择三等分角来进行研究。
三等分角顾名思义是把一个任意角分成三个相等的角，虽然有些特殊角很容易，比如直角，但其他的角度就无法适用。
现在我们利用所有可以采用的工具来作图，以便把我们想要的角分成三个等分，其中包括我们常用可以量刻度的直尺和圆规。
三、研究设备器材：直尺、圆规、三角板、木板、雕刻刀四、研究过程或方法：我们分三个方向来进行：1.拜近来科技的发达，透过因特网，寻找所有别人已经发现三等分角的方法，再重新整理一遍。
2.利用学校及附近的图书馆，找寻有关于三等分角的几何书籍，以资参考。
3.将国中所教到的几何观念以及所找到的数据，做出三等分角的方法。
最后将所有找到以及做出的八种方法详细整理与证明。
五、研究结果：这次研究总共找出了八种将一个角分成三分之一的方法，兹将这八种方法详列如后：∫是任意數1.标度尺(一)在一根直尺上，标出P、R两点，两点间距离是2∫，在∠AOB的一边上截取一点B，使OB =2∫，再从OB的中点C做两条直线，一线垂直OA，另一线则平行OA，移动尺使O 点在尺的边上，而P 、R 两点分别在所做的垂直及并行线上，沿着尺画线，就可把角AOB 三等分。
证明:以M 表PR 的中点，则∵∠PCR 为直角 ∴OC MC MR PM ====∫ ∵CR 平行OA∴∠AOR =∠MRC = ∠MCR = 21∠PMC =21∠MOC ∴∠AOR =31∠AOB2.标度尺(二)做一半圆，圆心O ，A 、B 在圆周上，使得∠AOB 为圆心角，在直尺上标记P 、R 两点，距离与半径等长，现移动直尺，让P 、R 分别落在BO 及圆周上，而A 在直尺边上，则∠RPO =31∠AOB证明：A BOC PRMBAPRO∠RPO = ∠ROP =21∠ARO = 21∠RAO 又∠AOB = ∠RAO + ∠RPO∴ ∠RPO =31∠AOB3.三连器利用上面的方法可做出种简单的三等分角的工具，如下图：OE 、OF 、CD 代表三根木条，OE = OF ，F 可沿着CD 中的沟槽移动。
八年级数学上册第2章特殊三角形B卷浙教版
14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
BC，直线l1，l2，l3分别通过A26，B，C三点，且 l1∥l2∥l3 . 若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，
则Rt△ABC的面积为
.
15.已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD＝ 3，AD＝1， AB＝2AC，则 BC 的长为 2 3或 2 7 .
16.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，
以Rt△ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰
△ACD，再以Rt△ACD的210 斜边AD为直角边，画 第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第20个
等腰直角三角形的斜边长是
.
解析：第一个等腰直角三角形的斜边为 2， 第二个等腰直角三角形的斜边为 2＝( 2)2， 第三个等腰直角三角形的斜边为 2 2＝( 2)3， 第四个等腰直角三角形的斜边为 4＝( 2)4，… 第 20 个等腰直角三角形的斜边为( 2)20＝210.
(3)拓展结论，设计新题 若△ABC的边长为10，AE＝2，求CD的长.
解：(1)理由：∵△ABC 是等边三角形，E 为 AB 的中点， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠BCE＝12∠ACB＝30°，AE＝BE， ∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°，∵∠ABC＝∠D＋∠BED， ∴∠BED＝30°＝∠D，∴BE＝DB，∴AE＝DB；
(2)理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠DBE＝ 120°，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC， ∠AFE＝∠ACB， ∠FEC＝∠DCE，∠A＝∠AEF＝∠AFE＝ 60°，
∴∠FEC＝∠D，在△EFC 和△DBE 中，∠ ∠EFFECC＝ ＝∠ ∠DDB，E， CF＝EB，
三等分角仪制作方法
三等分角仪制作方法三等分角仪制作方法三等分角仪（Tri-Square）是一个非常有用的工具，是帮助绘制直角和平面图形的关键工具之一。
这个工具的主要作用是用来分解角度，以更加准确的方式创建图形。
虽然市场上有很多型号的三等分角仪，但是自制也是可行的。
接下来，我们将为您介绍如何简便制作一个三等分角仪。
材料：- 一张透明塑料卡片（15.5×10.5 厘米） - 一个直角三角尺 - 一把铅笔 - 一把尺子 - 一把剪刀步骤：1.在塑料卡片上找到中心点。
首先，在卡片上面画出两条彼此垂直的线段，这两条线段应该在卡片的中心点相遇（为了更加精确地找到中心点，建议使用一个直角三角尺）。
2.确定三等分角度的位置。
三等分角仪需要能够将角度分解为三个等分的功能。
因此，我们需要根据角度的大小在卡片上标出相应的短、中、长三个线段来。
比如，如果角度为 60 度，那么我们应该使用尺子在卡片上画出 20 度、40 度、和 60 度标记，每个标记应该对应着一段不同的长度。
为了使每个标记更加清晰地显示出来，我们建议使用颜色来区分不同的线段（比如，使用红色表示 60 度标记，蓝色表示 40 度标记，绿色表示 20 度标记）。
3.剪切出三等分角仪的形状。
一旦我们在卡片上完成了角度标记，我们就可以用剪刀将其剪下。
我们所需的是一段长度为 15.5 厘米的带有角度标记的条形卡片。
4.将三等分角仪折成哈夫曼板。
现在，我们已经有了一张带有角度标记的卡片。
但是这张卡片仍然不够方便使用，那么这时我们需要将其折叠成三等分角仪的形状。
在卡片上的 20 度和 40 度标记处对折，使其对齐，这样它们之间的夹角将恰好为60度. 这时可以将剩余的那个标记相互对折。
一旦完成这个步骤，我们就会得到一个“哈夫曼板”的形状，其中就包括了三等分角度所需要的所有线段。
五、使用三等分角仪现在，我们就可以使用三等分角仪来绘制直角和平面图形了。
用铅笔在一张纸上画出一个直角三角形或者一个矩形或者是任何需要使用直角的图形。
2015年秋季新版苏科版九年级数学上学期32、三等分角仪”的制作原理是什么校本教材
三等分角仪”的制作原理是什么 “三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．
数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．
在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分． 把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图中阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD 相等，PB 垂直于AD （即PB 与半圆相切，切点为B ）．这便做成了一个“三等分角仪”．
如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点．最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB ＝∠BPC ＝∠CPN ．
证明：连结CE ，则CE ⊥PN ．
∵R t △PAB ≌Rt △PCB ≌Rt △PCE ，
∴∠APB ＝∠BPC ＝∠CPE ＝13
∠MPN ． 注：在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；
（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．。
分角器的制作
这 里 我 给大家介 绍 一 种多 用
:
c o
三
:
、
角 就被 三 等分 了 原理
算器 的制作方 法
1
.
材料
:
板 面马 粪纸 一 块
,
从 制作 三 等分分 角 器 的尺 寸 可知
( 亦 可用 包 装盒代替 )
一只 s
em
铁
土 壤 渗 水
钉和 一 根 约 6 0
=
(又 A B
x
2
x
0
.
的木
OA
=
C B
盘上的把 柄 符 号和 数 据
、 ,
转 动各盘选择 运 算 就 可 进行 口 算 了
, . 。
这 种教 ( 学 ) 具 制作 容 易 使 用 灵 活 功能 齐全 数据 由窗 口 显 示
,
萝
二
、Leabharlann 这 样 一 方 面 增加 了 口 算教学
,
潜厚 江
使用
。
,
的趣味性
,
提高 了 学生 口 算 的积
(读写
在 小 学低年 级 数学教学中 就拉动 三 等
.
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ù
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与 n肛 . 幼 一 谁 胭 .
于
A
,
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,
则说 明
A
活动
墨 水稀 释 在 洁净 的烧杯 内 倍数 以
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稀释
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40
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,
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,
若 接在 装 置 的 正
三等分角器[实用新型专利]
![三等分角器[实用新型专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/dd58fcc85901020206409c83.png)
专利名称：三等分角器
专利类型：实用新型专利
发明人：黄宇劼,张慧
申请号：CN201120055804.3申请日：20110306
公开号：CN201941434U
公开日：
20110824
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：三等分角器，包括两条直尺和两个滑块，其中两条直尺端部连接，两个滑块分别装在两条直尺上，滑块和直尺端部均使用铰链连接，同时，还设置长度一致的支撑杆和连接杆用以进行定位。
本实用新型操作简单、方便，且精度较高。
申请人：黄宇劼
地址：410000 湖南省长沙市天心区韶山南路22号
国籍：CN
代理机构：南昌新天下专利商标代理有限公司
代理人：李炳生
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怎么把圆三等分最简单的方法
怎么把圆三等分最简单的方法
圆的三等分指将圆上的弧分成三等份。
在几何中，圆的三等分可以用常规几何方法来解决，但需要一定的数学知识和技巧。
在这篇文章中，我将介绍一种简单的方法来将圆的弧三等分。
首先，我们需要一个圆和一支量角器。
将量角器的起点放在圆上的任意一个点上，并将量角器的另一只腿指向圆心。
然后，记录下这个角度的度数，并将量角器向左或向右旋转1/3这个角度。
然后，将量角器的腿放在圆弧上，记录下它的新位置。
重复这个过程两次，以此将圆的弧三等分。
在这个过程中，我们需要确保量角器的起点和腿的位置始终在圆上。
此外，在旋转量角器时，必须按照同一方向进行旋转，以保证计算的准确性。
此方法虽然简单，但需要一定的几何知识和技巧。
在实际应用中，我们可以使用更高级的数学工具，如解析几何和微积分，来解决更复杂的三等分问题。
总之，圆的三等分是一个一般性的几何问题，需要一定的数学技巧和知识。
但是，通过本文提供的简单方法，我们可以轻松将圆的弧三等分，从而为我们更深入地研究几何学提供了基础。
角三等分器的原理
角三等分器的原理
角三等分器是一种用来将一个角分成三个相等部分的工具。
其原理是将给定的角度分成三份，使每一份的角度大小相等。
具体来说，角三等分器通常由一个圆形的底座和一个可以转动的固定在底座上的指针组成。
底座上刻有一个完整的圆周，以及一个与之相切的半圆。
指针上则有一个可移动的圆弧形标记。
使用角三等分器时，首先将底座上的一个标记与角的顶点对齐。
接下来，将指针转动，使其与底座上的刻度线对齐。
然后，将指针移动到底座上相切的半圆上的某个位置，并将该位置与指针上的圆弧形标记对齐。
最后，将指针转动，使其与底座上的下一个刻度线对齐。
此时，角三等分器的指针所指的位置就是将原始角分成三等分的点。
角三等分器的原理基于圆周被分成360度，因此每一个角度单位相当于底座上的刻度线之间的角度大小。
通过调整指针的位置，使得指针所指的位置与刻度线对齐，就可以将给定的角相应地分成三等分。
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“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的。
如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC.
求证：∠APB=13∠AOB.
考点：
等腰三角形的性质
已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.
考点：
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于D
在△ABO和△ACO中⎧⎩⎨⎪⎪AB=AC()OB=OC()AO=AO()
∴△ABO≌△ACO(___)
∴∠BAO=∠CAO
即∠BAD=∠CAD(___)
∴AD⊥BC,即AO⊥BC(___)
考点：
全等三角形的判定
如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是()
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
考点：
[角平分线的性质]
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC.
(1)求证：AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75∘，求∠B的度数。
考点：
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
如图,在△ABC中,∠BAC=120∘，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC 的延长线上，且CE=CA.
(1)试求∠DAE的度数。
(2)如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗?
(3)若∠BAC=α∘,其它条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少?
考点：
[等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质]。