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反比例函数图象与三等分角

历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.

任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为QM的中点.

∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.

∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.

1∠POH.

∴∠MOH＝

3

问题在于，如何确定线段QM两端点的位置，并且保证O，Q，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?

帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将

1的图象交给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝

x

于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，Q，连接OM得到∠MOB.

(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上? (2)你能说明∠MOB ＝3

1∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1，1

1

a ),R(a 2,

2

1

a )，则Q(a 1，21a )，M(a 2, 1

1

a ）. 设直线OM 的关系式为y ＝kx. ∵当x ＝a 2时，y=1

1a ∴

11a =ka 2,∴k=211a a .∴y=2

11a a x. 当x=a 1时，y=2

1

a ∴Q(a 1，

2

1

a )在直线OM 上. (2)∵四边形PQRM 是矩形. ∴PC=2

1PR=CM.∴∠2＝2∠3. ∵PC=OP ，∴∠1＝∠2， ∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，

1∠AOB.

即∠MOB=

3

(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.