拓展资源：反比例函数图象与三等分角
反比例函数与一线三等角模型
反⽐例函数与⼀线三等⾓模型反⽐例函数与⼀线三等⾓模型⼀线三等⾓模型下的相似⽐等于周长的⽐将军饮马与三⾓形周长的最⼩值⼀次函数、折叠、勾股定理、点的坐标⼀次函数、翻折、旋转反⽐例函数与K字型相似挖掘隐藏着的经典直⾓顶在直线上⼜称为K字型⼆次函数与⼀次函数的综合90度旋转与K字型全等⼀次函数中的K与特殊的直⾓三⾓形⼀次函数、⼀副三⾓板、垂径定理的综合⼀次函数中的K与⼀副三⾓板的综合正⽐例函数中的⼩题不必⼤作⼀次函数解析式中K的重要意义夜空中美丽的流星平分中⼼对称图形⾯积的直线必经过对称中⼼直线分三⾓形⾯积⽐的思考⽅法从函数的⾓度判断点的位置根据反⽐例函数的性质判断⼆次函数的图象根据⼆次函数和反⽐例函数的性质判断⼀次函数的图象三⾓形的⾯积与⼆元⼀次⽅程组从不同的⾓度审视平⾏四边形关注整体和⼤局是⼀种智慧欧⼏⾥得⽤⼿拉⼿模型证明勾股定理和射影定理中考数学⾼分之路——旋转是重组线段的有效⽅法从熟悉的⼿拉⼿模型开始，环环相扣，层层递进圆、折叠、垂径定理、勾股定理、弦长矩形、折叠、勾股定理等边三⾓形、距离与⾯积⾯积法与线段和定弦对定⾓，必有隐藏圆抛物线、直线与找规律都是全等相似惹的祸矩形、折叠、隐藏圆、最值折叠、隐藏圆、最值折叠、直⾓顶在直线上三⾓形的内⼼与外⼼⼿拉⼿、隐藏圆、最值⾓分平，等腰呈切线、垂径定理、勾股定理折叠、等腰、相似菱形、A型、⾯积中考数学⾼分之路——正⽅形、⾯积、周长中考数学⾼分之路——⼀个特殊的四边形中考数学⾼分之路——等腰三⾓形和直⾓三⾓形的联姻中考数学⾼分之路——等腰三⾓形的两⼤性质中考数学⾼分之路——幂的运算中考数学⾼分之路——完全平⽅式与⾮负数中考数学⾼分之路——平⾏四边形、⾯积、勾股定理中考数学⾼分之路——正⽅形、⾯积、最值中考数学⾼分之路——矩形、折叠与⾯积中考数学⾼分之路——矩形与⾯积（2）中考数学⾼分之路——矩形与⾯积（1）中考数学⾼分之路——定点与变换主元法中考数学⾼分之路——与轴对称有关的最短路径问题中考数学⾼分之路——线段和的最值中考数学压轴题巧解——定弦对定⾓中考数学压轴题巧解——三⾓形中的重要线段~中位线中考数学压轴题巧解——明显圆与隐藏圆中考数学压轴题巧解——隐藏圆与最值中考数学压轴题巧解——亲密⽆间的相似与旋转型全等中考数学压轴题巧解——定⾓度与直线型路径中考数学压轴题巧解——定距离与直线型路径洞察隐藏的圆⼀点⼀圆模型与圆有关的最值最值问题（垂线段最短）中考数学压轴题巧解系列——运动、圆、⾯积与最值美妙的旋转之全等与相似三⾓形三边关系与线段的最值（3）三⾓形三边关系与线段的最值（2）三⾓形三边关系与线段的最值（1）三⾓形与⾯积（2）三⾓形与⾯积（1）平⾏线的那些事⼉（3）平⾏线的那些事⼉（2）平⾏线的那些事⼉（1）等腰三⾓形的存在性问题直⾓三⾓形的存在性问题让圆不再有隐形的翅膀（4）让圆不再有隐形的翅膀（3）让圆不再有隐形的翅膀（2）让圆不再有隐形的翅膀（1）矩形内垂直⼗字架之⽐等于邻边之⽐正⽅形内垂直⼗字架相等全等双⼦型（2）附【数学解题⼩常识】全等双⼦型（1）附【数学解题⼩常识】K字模型（2）附【数学解题⼩常识】K字模型（1）附【数学解题⼩常识】⼀线三等⾓模型（2）附【数学解题⼩常识】⼀线三等⾓模型（1）附【数学解题⼩常识】⾓含半⾓模型（2）附【数学解题⼩常识】⾓含半⾓模型（1）附【数学解题⼩常识】直线中k的颜值（2）附【数学解题⼩常识】直线中k的颜值（1）附【数学解题⼩常识】两点的联想（2）附【数学解题⼩常识】两点的联想（1）附【数学解题⼩常识】⼀点的遐想（2）⼀点的遐想（1）。
21.5.3反比例函数的几何意义课件
解析
本题考查了反比例函数的性质以及等比数列求和 公式。首先根据 x^2n = 9 求出 x^n 的值，然后 将原式变形为等比数列求和的形式进行计算即可 。
解析
本题考查了反比例函数的性质以及不等式组的解 法。首先根据题意列出不等式组求解即可得出 m 的取值范围。
06
总结回顾与课后作业布置
重点难点总结回顾
21.5.3反比例函数 的几何意义课件
汇报人：XXX 2024-01-26
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数与直线交点问题 • 反比例函数与面积问题 • 反比例函数在几何图形中应用 • 拓展延伸：反比例函数综合题解析 • 总结回顾与课后作业布置
01
反比例函数基本概念
定义与性质
定义：形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数，$k neq 0$）的函数称为反比例函 数。
在三角形中应用
面积与底高的反比例关系
在三角形中，当底边长度固定时，面积与高成反比例关系； 同样，当高固定时，面积与底边长度成反比例关系。
相似三角形的边长与面积关系
对于两个相似的三角形，其对应边长之比等于相似比的平方 ，而面积之比等于相似比的平方。利用反比例函数可以方便 地求解相关问题。
在四边形中应用
本题考查了反比例函数与一次 函数的交点问题，通过已知条 件列出方程组求解即可。
已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，且 x1 < x2，试 比较 y1 和 y2 的大小。
本题考查了反比例函数的增减 性，根据反比例函数的性质， 当 k > 0 时，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小。因此， 由于 x1 < x2，可以得出 y1 > y2。
冀教版初中数学九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 课件 最新课件PPT
数
y
1 x
图像上，试比较
a,b, c
的大小。
形
数
性质
课堂小结
1.通过本节课的学习，你对反比例 函数有哪些新的认识？
2.回顾整个初中阶段所学的函数， 你能总结出研究函数的一般思路吗？
归纳：
函数
解析式
图象形状
位 置
k>0 变化
趋势
位 置
k<0
变化 趋势
反比例函数
y=
k x
(k≠0 )
双曲线
y
一、三象限
巩固新知
1.下列关于函数y 24的图象或性质的
x
说法中，错误的是（ C ）
A 图象是双曲线
B 图象位于一、三象限
在每个象限内
C y随x的增大而减小
D 图象经过点（-4，-6）
巩固新知
2.已知
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k x
的图象如图
y
所示，则k < 0，在图象
的每一支上，y随x的增大
x
而 增大 。
巩固新知
3.已知 A(2, a), B(1,b),C(3, c) 都在反比例函
0x
在每个象限内，y随x的增大而减小
二、四象限
y
0
x
在每个象限内，y随x的增大而增大
布置作业
必做：课本P8第3题、P9第9
题
选做：设点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )都在双曲线
y
2 x
上,且x1<x2<0,则y1___y2. (填“<”或
“>”)
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
拓展资源：反比例函数图象与三等分角
反比例函数图象与三等分角
历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.
任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为QM的中点.
∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.
∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.
1∠POH.
∴∠MOH＝
3
问题在于，如何确定线段QM两端点的位置，并且保证O，Q，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?
帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将
1的图象交给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝
x
于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，Q，连接OM得到∠MOB.
(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上?
(2)你能说明∠MOB ＝3
1∠AOB 的理由吗?
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?
解：(1)设P 、R
2,
21a )，则Q(a 1，21a )，M(a 2, 11a ）. 设直线
OM ∵当x ＝a 2时，y=2
11a a x. ∴Q(a 1，2
1a )在直线OM 上. (2)∵四边形PQRM 是矩形.
∴PC=2
1PR=CM.∴∠2＝2∠3.
∵PC=OP ，∴∠1＝∠2，
∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，
1∠AOB.
即∠MOB=
3
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.。
鲁教版九年级数学上册：第一章 反比例函数综合实践课 角可以三等分么？教案
第一章反比例函数《角可以三等分？》教学设计【教学目标】1.仅用直尺和圆规是不可能三等分一个角，学习了反比例函数以后，可以借助于反比例函数三等分一个角，鼓励学生从多方面证明其正确性。
2.探究三等分角的过程中培养学生探索发现的精神。
【教学重难点】理解数学爱好者的做法是用尺规做不出的，从而借助于反比例可以三等分角，并会推导其合理性。
【教学过程】活动1:三等分一个直角。
师：我们知道，仅用直尺和圆规是不可能三等分一个任意角，但对于一些特殊的角，比如一个直角，你能利用圆规和直尺将其三等分么？（课堂预设：抛出问题，30秒后，有思路的同学请把手举起来，预计可能会有7到8人左右，此时我再提示，将90度的角三等分就是作出30度的角或者是60度的角，大约一份分钟后，再提问，可能会有三分之一的孩子举手，这时叫一个孩子讲解）生：以点O为圆心，适当长度为半径，画弧，交OB于点C,再以点C为圆心，相同长度为半径再画弧，两弧的交点为F,OF为直角的一个三等分线，再去等分BOF∠即可实现目的。
（如图1）对于特殊的45°，135°角，请同学们留作课下完成。
活动二：在数学发展史上，有很多人试图将一个角进行三等分。
下面是一个数学爱好者的作法，画一个矩形ABCD,F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，并且AGC ACG ∠=∠，GFA GAF ∠=∠,就可以得到ACB ECB ∠=∠31，同学们观察这个推理是否正确？（如图2）(这个问题的推理是合理的，而且较为简单，学生很容易推导出来)师：作出这个图形的关键是什么？生：确定E 点，F 点的位置。
师：通过分析图形，我们观察到哪四条线段的长度是相等的呢？生：AC=AG=GF=GE 。
也就是说EF=2AC 。
师：但在这个图形中点E 和点F 都在动，因此线段EF 不好确定，在以前的做题中我们遇到两个动点问题时，处理这类问题的基本思路是什么呢？生：把两个双动点的问题转化为单动点的问题。
反比例函数的图像和性质案例
《反比例函数的图象和性质》案例娄底八中李娜创意开场白历史上，曾经有许多人试图用尺规三等分角，但均以失败告终。
数学家怕普斯利用反比例函数图像成功的解决了这一问题。
你想了解帕普斯是如何利用反比例函数解决“三等分角”问题的吗？那就让我们先研究一下反比例函数图像与性质吧！温故：（1）一次函数的图像是什么？其性质有哪些？正比例函数呢？（2）画函数图像的方法有哪些？其一般步骤是什么？应注意什么？课堂目标导航1．知识与技能会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．教学重点难点重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．课时安排2课时第1课时一．自主学习方案（预习与交流）通过预习教材P5—P9的内容完成下面的问题知新1.画反比例函数的图像时要先________，列表时自变量可取哪些值？________2.取值以后再________3.描点以后再________，怎样连线？________________反比例函数的图像是________质疑二．课堂导学方案（合作与探究）通过以上的学习讨论，我们了解了反比例函数的大致图像，下面进一步来探索反比例函数的图像和性质。
问题我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，•那么反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？尝试 用描点法来画出反比例函数的图象． 画出反比例函数y=6x 和y=-6x的图象．（请把表中空白处填好）描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．探究 反比例函数y=6x 和y=-6x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做 把y=6x 和y=-6x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳 反比例函数y=6x 和y=-6x的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x 轴、y 轴）． （3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola ）．此外，y=6x 的图象和y=-6x的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x 和y=-3x的图象．交流 两个函数图象都用描点法画出？ 【分析】 由y=6x 和y=-6x 的图象及y=3x 和y=-3x的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y 随x 的变化而如何变化？ 猜想 反比例函数y=kx（k ≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？•在每一个象限内，y 随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 【归纳】 （1）反比例函数y=kx（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线． （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y •值随x 值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而增大．学生展示（学生做完后在食物投影仪上展示学生的分析过程，当堂订正，根据学生的解答情况及时查漏补缺）指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=kx（k≠0）在同一坐标系中的图象（）【分析】对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．【答案】 B2．（2005年中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．3．（2005年中考·宣昌）如图所示的函数图象的关系式可能是（•）A．y=x B．y=1xC．y=x2D．y=1||x总结反思，拓展升华1．画反比例函数的图象．2．反比例函数的性质．3．反比例函数的图象在哪个象限由k决定，且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究．4．在y=kx（k≠0）中，由于x≠0，同时y≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．三．当堂评价方案（当堂完成，当堂订正）夯实基础1．已知反比例函数y=kx的图象如图所示，则k > 0，在图象的每一支上，y值随x的增大而减小．2．下列图象中，是反比例函数的图象的是（D）3．（2005年中考·东营）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1>x 2>0，则y 1-y 2的值为 （A ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 提升能力4．（2005年中考·苏州）已知反比例函数y=2k x的图象在第一、三象限内，则k 的值可是________（写出满足条件的一个k 值即可）． 【答案】 略5．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，•则这点一定在函数图象上 y=1x（填函数关系式）． 6．若一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kbx的图象一定在 二、四 象限． 开放探究7．两个不同的反比例函数的图象是否会相交？为什么？ 【答案】 不会相交，因为当k 1≠k 2时，方程1k x ＝2k x 无解． 8．点A （a ，b ）、B （a-1，c ）均在反比例函数y=1x的图象上，若a<0，则b < c ．。
河南省2019年中考数学总复习 第三章 函数数学文化拓展素材
反比例函数图象与三等分角三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题,与化圆为方、倍立方体问题一起被称为古希腊三大几何问题,而如今数学上已证实了这个问题无解.该问题的完整叙述为:只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分.在尺规作图的前提下,此题无解.若将条件放宽,例如允许使用有刻度的直尺,或者配合其他曲线,可以将一给定角三等分.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法,如图:1.建立平面直角坐标系,将已知锐角∠AOB的顶点与原点重合,角的一边OB与x轴正方向重合.2.在平面直角坐标系里,绘制函数y=的图象,图象与已知角的另一边OA交于点P.3.以点P为圆心、2OP的长为半径作弧,交函数y=的图象于点R.4.分别过点P,R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M.5.连接OM,得到∠MOB,这时,∠MOB=∠AOB.阅读下列材料并完成相应任务:三等分任意角问题是数学史上一个著名的问题,直到1837年,数学家才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的.在探索中,出现了不同的解决问题的方法.方法一:如图(1),四边形ABCD是矩形,借助几何画板的度量功能,在DA的延长线上取一点F,并连接CF,在CF上取一点G,使∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,CF与AB交于点E,此时∠ECB=∠ACB.方法二:图(2)是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法:将给定的锐角∠AOB置于平面直角坐标系中,边OB在x轴上,边OA与函数y=的图象交于点P,以点P为圆心,2OP的长为半径作弧,交图象于点R,过点P作x轴的平行线,过点R作y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,过点P作PH⊥x轴于点H,过点R作RQ⊥PH于点Q,则∠MOB=∠AOB.(1)在“方法一”中,若∠ACF=40°,GF=4,求BC的长;(2)完成“方法二”的证明.22图(1) 图(2)参考答案 反比例函数图象与三等分角(1)∵∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,∴AC=AG=GF=4. ∵∠ACF=40°,∠ECB=∠ACB,∴∠ACB=60°, ∴BC=AC·cos∠ACB=4×=2.(2)证明:设P(a,),R(b,),则M(b,),Q(a,), 设直线OM 的解析式为y=kx,则k=,∴直线OM 的解析式为y=x.∵点Q 的坐标是(a,),满足直线OM 的解析式,∴点Q 在直线OM 上.由题易知四边形PMRQ 是矩形,连接RP,交QM 于点S,如图,则PS=MS.又∵PR=2OP,∴OP= PS=MS,∴∠POS=∠PSO,∠MPS=∠PMS.又∵∠PSO 是△PSM 的外角,∴∠PSO=2∠PMS.∵PM∥x 轴,∴∠PMO=∠MOB,∴∠POS=2∠MOB, ∴∠MOB=∠AOB.。
27.2 反比例函数的图像和性质-2020秋冀教版九年级数学上册课件(共24张PPT)
课程讲授
2 反比例函数y= k 的性质
x
y 5
y=
-
12 x
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5
函数 所在象限
增减性
y= -
12 x
第二、四象限
x>0时，y 随 x 的增大而增大
x<0时，y 随 x 的增大而增大
课程讲授
2 反比例函数y= k 的性质
图象上，则y1__＜____y2；（填“＞”“＜”或“=”）
（2）若反比例函数y=
k x
的图象经过点（-2,-5），则该函数
的图象在平面直角坐标系中位于第__一__、__三__象限.
随堂练习
5.如图，A,B两点在反比例函数y=
4 x
（x＞0）的图象上，
分别过A,B两点向坐标轴作垂线，已知S阴影=1，则
x>0时，y 随 x 的增大而减小
x<0时，y 随 x 的增大而减小
课程讲授
2 反比例函数y= k 的性质
x
y
y= -
6 x
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5
函数 所在象限
增减性
y=
-
6 x
第二、四象限
x>0时，y 随 x 的增大而增大
x<0时，y 随 x 的增大而增大
S1+S2=_____6_______.
随堂练习
6.如图是反比例函数y=-
4 x
在第四象限内的图像.
（1）当0＜x＜2时，y___＜__-_2_____；
冀教版初中数学九年级上册2反比例函数的图象和性质课件
面积分别为S1 ,S2 ,S3 ,则有 _A_ .
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2
y
A BC
D. S1 > S2 >S3
o A1 B1 C1 x S2
如图，点A是反比例函数图象上的一点，自点A向 y的轴表作达垂式线为，__垂_足__为_ T，y•已 知6S△AOT=3 则此函数
A．y1>y2 C．y2>0>y1
B．y1＜y2 D．无法确定
结合函数图象和性质比较函数值或自变量的大小
若点A(-2，a)，B(-1，b)，C(1，c)在反比
例函数y k (k 0) x
的图象上，则a，b，c
大小关系为（ C ）
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c
变式六已知（x1，yy1），（x2，y2），（x3，y3）是
S矩形OAPB
y
OA
AP
|
m
|
•
|
n
y
||
k
|
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
.如图, P是反比例函数y k 图像上的 x
一点,由P分别向x轴, y轴引垂线,阴影 部分面积为6, 则这个反比例函数的 解析式是 __y____6_______ .
x y
PC
A ox
如图所示，A（x1 ，y1）、B（x2 ，y2）、 C（x3 ，y3）是函数y= 1 的图象在第一象限分 支上的三个点，且 x1＜x x2 ＜ x3 ，过A、B、 C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、
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冀教版初中数学九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 课件
1、会用描点法画反比例函数的图像 ； 2、进一步体会反比例函数中K的意义， 归纳反比例函数图像的特征； 3、会判断一个点是否在反比例函数的 图像上。
（1）求这个反比例函数的表达式。
(2)画出这个反比例函数的图像 。
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3、若反比例函数 y k （k≠0）的图象经过 x
点P（﹣2，3），则该函数的图象不经过的点
是（ D ）
象限内
增
K<0 减 y随x的增大而减小
性
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冀教版初中数学九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 课件
已知点P（6,8）在反比例函数 y
k x
的图像上
(1)求这个反比例函数的解析式 (2)判断点M（4，-12）和N（2,24）是否 在这个反比例函数的图像上。
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•
1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。
•
2、人物作为支撑影片的基本骨架，在 影片中 发挥着 不可替 代的作 用，也 是影片 的灵魂 ，阿甘 是影片 中的主 人公， 是支撑 起整个 故事的 重要人 物，也 是给人 最大启 示的人 物。
北师大版数学九年级上册.反比例函数的图像课件 PPT精品课件
•
6.石壕吏和老妇人是诗中的主要人物 ，要立 于善于 运用想 像来刻 画他们 各自的 动作、 语言和 神态； 还要补 充一些 事实上 已经发 生却被 诗人隐 去的故 事情节 。
•
7.文学本身就是将自己生命的感动凝 固成文 字，去 唤醒那 沉睡的 情感， 饥渴的 灵魂， 也许已 是跨越 千年， 但那人 间的真 情却亘 古不变 ，故事 仿佛就 在昨日 一般亲 切，光 芒没有 丝毫的 暗淡减 损。
为(2，1)，那么B点的坐标为 (-2,-1) ．
1、作函数图象的一般步骤是：列表，描点，连线__
2、反比例函数y＝
k x
的图象是
双曲线
①、当k>0时，两支曲线分别位于第 一、三 象限内
（第其中三当象x限>0）时；，分支在第 一 象限；当x＜0时，分支在
②、当k<0时，两支曲线分别位于第 二、四 象限内．
-3
2
34
5
6x
-4 对称图形； 它们分别是y-=4 x
-5 对称中心 -6 为原点。
和y=-x.
-5 -6
y=-x
k=-5＜0
1、(2014·淮安)若反比例函数y＝
k x
的图象经过
(x，y)
点(5，－1)，则双曲线位于( B )
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、四象限
D．第二、三象限
2、(2014·兰州)若反比例函数y＝
-1
-1
-2
-2
B(---432,-3)
-3 -4
-5
-5
-6
-6
(-6,-1)
(-3,-2) (-1,-6)(1,6) (3,2)
(6,1)
反比例函数与三等分角的命题思路与推广
反比例函数与三等分角的命题思路与推广
卢健勋
【期刊名称】《中学数学研究(华南师范大学):下半月》
【年(卷),期】2022()7
【摘要】本文阐述了利用教材中提供的“反比例函数图象进行三等分角”的阅读材料进行题目的命制改编的思路、过程、解答,命题的拓展与推广,以及笔者在命题过程中的一些思考.
【总页数】3页(P26-28)
【作者】卢健勋
【作者单位】广东省佛山市三水区西南街道健力宝中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.珠联璧合奏响函数命题新动向——例析二次函数与反比例函数综合的中考题
2.赏析2010年高考三角函数问题展望2011年高考三角函数命题
3.一类三角函数最值命题的推广
4.多角度构建思路,多途径探究函数r——以一道反比例函数综合题为例
5.三角函数的一种新命题趋势——三角函数定义及其应用
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函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
冀教版数学-九年级上册-27.2反比例函数的图象和性质 优质课件
且S△AOB=3，
• 教科书里陈述的数学，往往是“冰 冷的美丽”，因此，数学教师的责 任在于把数学的学术形态转化为教 育形态，使学生既能高效率的进行 火热的思考，又能比较容易接受， 理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数 学本质。
•
——张奠宙
谢谢！ 再见！
• 难点：反比例函数图象是 平滑双曲线的理解及对图
象特征的分析．
所以说数学既是科学技术的语 • （三）课时安排：3课时
言，又是科学技术的工具。
二、教学目标分析
• 1、掌握反比例函数的概念，会求反比例函 数的解析式。
• 2、会用描点法画反比例函数的图像，掌握 反比例函数的性质，体会数形结合的数学 思想。
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？（列表时，描 点时和连线时）
• 列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值, 这样既可简化计算,又便于对称性描点;
• 描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可 以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
• 连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次 用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
• ……
函数 解析式 图象形状
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线
反比例函数
y
k x
或y
k x1或x y
k(k
0)
双曲线
k＞0
位置
增减性
一、三象限 y随x的增大而增大
一、三象限
每个象限内，y随x的 增大而减小
板书
k＜0
位置
增减性
二、四象限 y随x的增大而减小
二、四象限
每个象限内，y随x 的增大而增大。
冀教版九年级上册：第27章《反比例函数》小结与复习课件
四 反比例函数的应用 命题角度：1. 反比例函数在实际生活中的应用；
2. 反比例函数与一次函数的综合运用．
例 如图，一次函数 y1＝x＋1 的图像与反比例函数
y2＝kx (k 为常数，且 k ≠ 0)的图像都经过点 A(m，2)． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的关系式； (2)结合图像直接比较：
把 P (1，2) 代入 y 3k 中，
解得 k 2 .
x
3
2P Ox
(2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y = kx +
b 的图像交于 A，B 两点，如图所示，当 △AOB 的
面
16
解：积把为M3(－时2，，求0)直代线入l y的=表kx达+式b，；
得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
小于反比例函数的值？
解：当 x ＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反比
例函数的值.
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
N A (1，3k) M
B (－3，－k)
O
x
课后作业
见教材章末练习
∴
y 3k ， x
解得 x1 = 1，x2 = －3.
y = kx + 2k，
y
l
NA
M
O
x
B
∴ A (1，3k)，B (－3，－k).
∵ △AOB 的面积为 16，
3
∴
1 2
×2×3k
+
12×2k
=
16 3
，
解得 k 4 .
∴
直线
3
l 的表达式为
y
=
4
x
冀教版九年级数学上册《反比例函数的图像和性质》PPT教学课件
y
k
x
(k≠0)的图像的两个分支关于原
3.反比例函数的图像与x轴、y轴都没有交点,即双
曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标
轴相交,这是因为x ≠0,y≠0.
随堂训练
k
1、如图所示,反比例函数y= (x<0)的图
x
像经过点P,则k的值为 ( A )
A.-6
B.-5
C.6
D.5
解析：∵函数图像经过点P(-3,2),∴k= x y=
k
x (k≠0)图像上任意一点呢?
(3)若连接OA,则△AOB与△AOC的面积又有怎样的关系?
结论
k
反比例函数 y （k≠0）中比例系数k的几何意义：
x
1
S矩形OBAC=|x||y|=|k|, S△ABO=S△ACO= |k|.
2
例2 如图，矩形的面积为4，反比例函数 =
的图象的一
k
y
一般地,反比例函数
(k≠0)的图像是双曲线,它
x
具有以下性质:
1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限
内,y的值随x的值增大而减小;
2.当k＜0时，它的图像位于第二、四象限，在每
个象限内，y的值随x的值增大而增大；
3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
支经过矩形对角线的交点,则该反比例函数的表达式是（
A. =
B. =
C. =
D. =
C
）
y
解析：过点作⊥，
由矩形的性质可知△ =
反比例函数的图像和性质(1)图像课件(31张PPT)冀教版数学九年级上册
反比例函数
27.2 反比例函数的图像和性质
第1课时 反比例函数的图像
1
学习目标
2
课时导入
3
探究新知
4
随堂检测
5
课堂小结
1、能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解k＞0和k
＜0时图象的变化情况，概括反比例函数的性质.
2、经历反比例函数画图、归纳性质的过程，培养在理性思考中发展
科学思维的能力，提高思维素质. 体会类比思想和数形结合的思想.
作的时间为t(时)，那么能正确表示d与t之间的函数
关系图像的是(
C
)
例2
已知点P(-6,8)在反比例函数 y
k
的图像上.
x
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)判断点M(4,-12)和N(2,24)是否在这个反比例函
数的图像上.
思考
1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么?
函数图像上的点的坐标满足函数表达式，反之，满足函数表
(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图像就越准确，
但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点
即可；
(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用
平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．
例1
感悟新知
已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2×104
时，这种显示器工作的天数为d(天)，平均每天工
b
当a＞0，x＜- 时，y随x增大而减小．
2a
b
当a＞0，x＞- 时，y随x增大而增大．
2a
温故知新
二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）
y
O
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反比例函数图象与三等分角
历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.
任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为QM的中点.
∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.
∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.
1∠POH.
∴∠MOH＝
3
问题在于，如何确定线段QM两端点的位置，并且保证O，Q，M 在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?
帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将
1的图象交给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝
x
于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，Q，连接OM得到∠MOB.
(1)为什么矩形PQRM 的顶点Q 在直线OM 上? (2)你能说明∠MOB ＝3
1∠AOB 的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办? 解：(1)设P 、R 两点的坐标分别为P(a 1，1
1
a ),R(a 2,
2
1
a )，则Q(a 1，21a )，M(a 2, 1
1
a ）. 设直线OM 的关系式为y ＝kx. ∵当x ＝a 2时，y=1
1a ∴
11a =ka 2,∴k=211a a .∴y=2
11a a x. 当x=a 1时，y=2
1
a ∴Q(a 1，
2
1
a )在直线OM 上. (2)∵四边形PQRM 是矩形. ∴PC=2
1PR=CM.∴∠2＝2∠3. ∵PC=OP ，∴∠1＝∠2， ∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，
1∠AOB.
即∠MOB=
3
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.。