预测的基本原理

预测的基本原理
卡尔曼滤波法应用于预测，被估计系统为以下的离散时间系统：
(1)(1,)()()X k A k k X k k ω+=++
z()()()()k H k X k k υ=+
式中：z()k 为观察向量；)(k X 为状态变量；)(k H 为观察矩阵；(1,)A k k +为状态转移矩阵，(1,)A k k I +=；ω为系统噪声向量，υ为测量噪声向量。

在本研究中，假定系统噪声()k ω和测量噪声()k υ是互不相关的，且均值为零的噪声序列，即对所有的k 有：
()0,()()(),()0,()()()T T E k E k k Q K E k E k k R k ωωωυυυ====
式中：系统噪声协方差矩阵为Q 和测量噪声协方差矩阵为R 均是对称正定的。

又设系统的初始状态0x 为随机向量，其与ω和υ均不相关，其统计特征为：
0000000,()()T Ex x E x x x x P =--=
式中：协方差矩阵0P 对称正定。

基于卡尔曼滤波法的公交车辆行程时间的预测中，同时考虑了在同一路段上在过去三天内相同时段内的公交行程时间数据，还考虑了同一天同一路段相邻三辆车辆行程时间数据。

行程时间预测模型可表示为：
0112233(1)()(1)(1)(1)()T k C T k C T k C T k C T k k υ+=+++++++
式中：0123,,,C C C C 为参数矩阵，,1,2,3[(),(),()]i i i i C c k c k c k =，c 是状态变量；0()[(),(1),(2)]T i i i T k t k t k t k =--为前i 天第k 、k-1、k-2时段公交车辆的行程时间；(1)T k +为预测行程时间；()k υ为观测噪声。

令：
0123()[(1),(),(),()]T T T T H k T k T k T k T k =-
0123()[,,,]T T T T T X k C C C C =
z()()k T k =
利用卡尔曼滤波理论，易得到如下方程组：
0)0|0(P P =
(1|)(1,)(|1)X k k A k k X k k +=+-
1()(1,)(|1)()[()(|1)()()]T T K k A k k P k k H k H k P k k H k R k -=+--+
()(|1)()[z()()(|1)]X k X k k K k k H k X k k =-+--
(1|)(1,)[()()](|1)(1,)()T P k k A k k I K k H k P k k A k k Q k +=+--++
在计算过程中0()X k 为
00000000()(|1)()[()()(|1)]X k X k k K k z k H k X k k =-+--
若以上各式中0),(),(P k Q k R 没有先验数据可设为对角阵，00(|1)X k k -设为零向量。

每一步迭代的过程与卡尔曼滤波器的递推过程相近,所不同的是,每递推一次,需要计算系统噪声向量ω( k) 和测量噪声向量υ( k) ,然后把每一步测量和计算出的参数{ C ( k) ,υ( k) ,ω( k) } 记录下来,最后计算出系统噪声协方差阵Q 和测量噪声协方差阵R ,一次迭代完成. 将刚求出的{ Q , R} 代入卡尔曼递推方程组再次进行迭代,直至前后两次求出的{ Q , R} 的相对误差小到预定的值为止. 上述迭代方法, 计算量、存储量较大,但因为是离线计算,在当前的计算机条件下是完全可行的. 迭代过程中趋近的速度相当快,迭代了60 多次后,相对误差小于10 - 6 .。