《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解（提高）

【学习目标】

1.了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；

2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的

应用；

4.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、平移变换

1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为

平移，平移不改变图形的形状和大小．

要点诠释：

（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内

的变换；

（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是

图形平移的依据；

（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，

而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．

2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动

相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所

连的线段平行且相等，对应角相等．

要点诠释：

（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；

（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，

又可作为平移作图的依据．

要点二、旋转变换

1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.

２．旋转变换的性质

图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.

３．旋转作图步骤

①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点.

４．中心对称与中心对称图形

中心对称：

把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．

中心对称图形：

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.

5．中心对称作图步骤

①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

要点诠释：

图形变换与图案设计的基本步骤

①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案；

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；

④对图案进行修饰，完成图案.

要点三、轴对称变换

1．轴对称与轴对称图形

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

2．轴对称变换的性质

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

3．轴对称作图步骤

①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图

形是全等的．

要点四、图形的全等

1. 全等图形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.

要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

2. 全等多边形

（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.

（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.

（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.

3. 全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

（1）全等三角形的性质

全等三角形的对应边、对应角分别相等.

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.

（2）全等三角形的判定

如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等.

【典型例题】

类型一、平移变换

1. 阅读理解题．

（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；

（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；

（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；

（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；

（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角．

【思路点拨】

（3）画出图形，根据图形得出即可；

（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；

（5）把n=2013代入求出即可．

【答案与解析】

解：（3）

如图有12对不同的对顶角，

故答案为：12．

（4）有n（n-1）对不同的对顶角，

故答案为：n（n-1）；

（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，

故答案为：4050156．

【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律．2．操作与探究：

对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以1

3

，再把所得数对应的点向右平移1个单位，

得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．

【思路点拨】（根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；

【答案】0；3；3 2 .

【解析】

解：点A′：-3×1

3

+1=-1+1=0，

设点B表示的数为a，则1

3

a+1=2，解得a=3，

设点E表示的数为b，则1

3

b+1=b，解得b=

3

2

；

故答案为：0；3；3

2

.

【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键．

举一反三：

【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）

A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定

【答案】B.

四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．

类型二、旋转变换

3．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：

（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．

（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．

（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．

【思路点拨】

（1）根据图形特点即可得到答案；

（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；

（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．

【答案与解析】

解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．

（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．

证明：延长AF交BE于M，

∵正方形ABCD，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOB=∠BOC=90°，

在△AOF和△BOE中

∴△AOF≌△BOE（SAS），

∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，

∵∠EBO+∠OEB=90°，

∴∠FAO+∠OEB=90°，

∴∠AME=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．

（3）成立；

证明：延长EB交AF于N，

∵正方形ABCD，

∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，

∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，

∴∠ABF=∠BCE，

∵AB=BC，BF=CE，

∴△ABF≌△BCE，

∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，

∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，

∴∠E+∠FAB=45°，

∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，

∴∠ANE=180°-90°=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．

【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

4. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=1

2 AB．

①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．

②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．

【思路点拨】

（1）把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；

（2）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAF=∠EAD，又F是AD的中点，AE=1

2

AB，则AE=AF，根据旋转

的定义得到△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，于是有BF=DE．【答案与解析】

解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；

（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，

∵F是AD的中点，AE=1

2 AB，

∴AE=AF，

∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，

∴BF与DE为对应线段，

∴BF=DE．

【总结升华】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．

举一反三：

【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是；平移的距离是；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是度．

【答案】

解：等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是水平向右；平移的距离是AB或BD；

△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是B；旋转角度是120度．

类型三、轴对称变换

5．现有如图①的瓷砖若干块．

（l）用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，请在图②的两

个长方形中各画出一种拼法（要求两种拼法不同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）；

（2）用四块如图①的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图③的三个正方形中各画出一种拼法，要求同（1）；

（3）在第（1）题中，请你计算用如图①的瓷砖拼成的所有长方形中，是轴对称图形的成功率是多少？

【思路点拨】

（1）根据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，利用轴对称图形的性质拼凑即可；

（2）利用轴对称图形的性质拼凑即可；

（3）根据所有是轴对称图形的个数，以及拼凑总数即可求出是轴对称图形的成功率．

【答案与解析】

解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）∵所有拼凑图形是16种，是轴对称图形的个数是4种，

∴是轴对称图形的成功率为：

41 164

．

【总结升华】此题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力．趣味性强，便于操作，是一道好题．

举一反三：

【变式】（2015秋?睢宁县期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C．

解：如图所示：蓝色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，

类型四、图形的全等

6. （2016春?蓝田县期中）如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）

A．B．C．D．

【思路点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，对选择项逐个与原图对比验证．【答案】C．

【解析】

解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

A、B、D图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，

C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合．

故选C．

【总结升华】本题考查的是全等图形的识别，主要根据全等图形的定义做题．