两直线位置关系的判断[优质PPT]

探究1 判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系时，先解 方程A1B2＝A2B1，当A1B2≠A2B1时l1与l2相交
；
当A1B2＝A2B1时，再判定l1与l2是平行还是重合 ．
课堂练习1 (1)判断下列两条直线的位置关系
①l1：4x＋3y－5＝0，l2；4x－2y＋3＝0 ②l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＝7－8y ③l1：2y＝7，l2：3y＋5＝0 (2)已知：l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋
3．有关距离
(1)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离
d
＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
(2)求两平行线 l1、l2 距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离 ②设 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0
则 l1 与 l2 的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2.
的交点 的直线系方程为
。
思想方法技巧
直线方程设法
1．直线 l 过定点 P(x0，y0)，设直线方程为 y－y0＝k(x－ x0)，注意 x＝x0 是否满足．
2．直线 l 与直线 y＝kx＋b 平行，设 l：y＝kx＋b1；l 与 直线 y＝kx＋b 垂直，设 l：y＝－k1x＋b1.
3．直线 l1：Ax＋By＋C＝0，直线 l∥l1 时，设 l：Ax＋ By＋C1＝0；l⊥l1 时，设 l：Bx－Ay＋C1＝0.
4．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1与 l2交于点 P，过点 P 的直线 l 可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(注意不包括直线 l2)．
典型例题分析
题型一 两直线位置关系的判定
例1 已知两条直线l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋(a2 －2)y＋1＝0，当a为何值时，l1与l2：(1)相交；(2) 平行；(3)重合．
2x＋ 3y＋ 1＝ 0， 【解析】 法一：由方程组x－3y＋4＝0.
x＝－53， 解得y＝79
57 ∴交点为(－3，9)．
∵ 所求直线 与 3x＋ 4y－ 7＝ 0垂直， ∴所求直线的斜率k＝43， 由点斜式得y－79＝43(x＋53)． 故 所求直线 的方程为 4x－ 3y＋ 9＝ 0.
法二：设所求直线的方程为 4x－ 3y＋ m＝ 0.
l1∥l2⇔A1B2＝A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1)．
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝_0_ .
2．两条直线的交点 如果两直线 l1 与 l2 相交，则交点的坐标一定是两条 直线方程组成的方程组的解；反之，如果两直线方程组 成的方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点 必是 l1 和 l2 的交点．
两直线位置关系的判断
知识要点
1．两直线平行与垂直的判定 （1）对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
l1∥l2⇔___k1_＝__k_2_且__b_1_≠__b_2 _ l1⊥l2⇔k 1·k 2＝_－__1_.
（2）对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
4.直线系方程
1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为
；
2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为
；
3）与直线y=kx+b平行的直线系方程为
；
4）与直线y=kx+b垂直的直线系方程为
；
5）过定点（x0,y0)的直线系方程为
；
6）过已知两条直线A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0
|2＋2＋c| |2＋2|
则
＝
5
5
解 得 c＝－ 8或 c＝ 0(舍去 )
∴ CD边 所在直 线方程为 2x＋ y－ 8＝ 0
x＝－53， 将法一中求得的交点坐标y＝79.
代入上式得
5
7
4· (－ 3).代入所 设方程 ．
故 所求直线 的方程为 4x－ 3y＋ 9＝ 0.
法 三：∵所 求直线过 点 (－53，79)， 且与直 线 3x＋ 4y－ 7＝ 0 垂直， ∴ 所求直线 的方程为 ： 4(x＋53)－ 3(y－ 79)＝ 0， 即 4x－ 3y＋ 9＝ 0. 法四：设所求直线的方程为 (2x＋ 3y＋ 1)＋λ (x－ 3y＋ 4)＝ 0. 即 (2＋ λ )x＋ (3－ 3λ )y＋ 1＋ 4λ＝ 0.①
2m＝0，当m为何值时，l1与l2：①相交；②平 行；③重合．
【答案】 (1)①相交 ②平行 ③平行
(2)①m≠3且m≠－1 ②m＝－1 ③m＝3
题型二 利用位置关系求直线方程
例2 求经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－ 3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y
－7＝0的直线的方程．
【分析】 (1)先求两条直线的交点坐标，再 由两线的垂直关系得到所求直线的斜率， 最后由点斜式可得所求直线方程．
又 因为直线 ①与 3x＋ 4y－ 7＝ 0垂直 ．
则 有 3(2＋λ )＋ 4(3－ 3λ )＝ 0，∴λ ＝ 2，
代 入①式得 所求直线 的方程为 ： 4x－ 3y＋ 9＝ 0.
例3 正方形ABCD的中心为M(1,2)，AB边所在直线方
程为y＝－2x，求其余三边所在直线的方程．
【解析】 设CD边所在直线方程为2x＋y＋c＝0
(2)因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直
，两条直线的斜率互为负倒数，所以可设
所求直线方程为4x－3y＋m＝0，将两条直 线的交点坐标代入求出m值，就得到所求
直线方程．
(3)设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－ 3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋(1 ＋4λ)＝0，再利用垂直关系建立λ的方程 ，求出λ即可得到所求直线方程．
【解析】 首先由a·(a2－2)＝(－1)a 得：a＝0或a＝－1或a＝1
∴当a≠0且a≠－1且a≠1时两直线相交 当a＝0时，代入计算知l1∥l2 当a＝－1时，代入计算知l1与l2重合 当a＝1时，代入计算知l1∥l2
因此 (1)当a≠－1且a≠0且a≠1时 ， l1与l2相 交；(2)当a＝0或a＝1时，l1与l2平行； (3)当a＝－1时，l1与l2重合．