第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分一．第一型曲线积分的概念和性质1．金属曲线的质量设有金属曲线L （如图9－1），L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。

把L 分成n 个小弧段：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示这些小弧段的长度。

在Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ），由于线密度函数是连续的，因此当Δs i 很小时，Δs i 的质量∆m i 便可近似地表示为：∆m i ≈ρ（ξi ，ηi ）Δs i ，于是整个金属曲线地质量近似于M ≈ni 1=∑ρ(ξi ，ηi )Δs i .记λ＝ni ≤≤1max {Δs i },令λ→0取上式和式的极限，得M ＝0lim →λni 1=∑ρ(ξi ，ηi )Δs i .2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义定义：设L 为xoy 平面内的曲线弧，),(y x f 是L 上的有界函数,把L 分成n 个小弧段: Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示第i 个小弧段的弧长. 记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },在每个小弧段Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ）,作和式ni 1=∑),(i i f ηξΔs i ,如和式极限0lim →λni 1=∑),(i i f ηξΔs i存在,且极限值与L 的分法和点（ξi ，ηi ）在Δs i 上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ(x,y)在曲线L 上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作⎰Lds y x f ),(,即⎰Li i ds f ),(ηξ=0lim →λni 1=∑),(i i f ηξΔs i 称),(y x f 为被积函数,L 为积分曲线弧.注1:同前面一样,并非任一个函数),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若),(y x f 在L 上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定),(y x f 在L上连续.注2:显然物体M 的质量为:M=⎰Lds y x ),(ρ注3:类似地,我们可定义),,(z y x f 对于空间曲线弧Γ的曲线积分:⎰Γds z y x f ),,(=∑=→∆ni i i i i s f 1),,(limζηξλ注4:若L 为闭曲线,则),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分记为⎰Lds y x f ),(性质1.若⎰Li dsy x f ),((i=1,2…n)存在,Ci(i=1,2,…n)为常数,则⎰∑=L ni i ids y x f c),(=⎰=ni Li i ds y x f c 1),(性质2:如按段光滑曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L n 首尾相接而成,且 ⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…n)都存在,则⎰Lds y x f ),(=∑⎰=ni L ids y x f 1),(性质3:若⎰Lds y x f ),(,⎰Lds y x g ),(都存在,且在L 上),(y x f ≤),(y x g ,则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(性质4:若⎰Lds y x f ),(存在,则⎰Lds y x f ),(也存在,且有⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x f ),(性质5:若⎰Lds y x f ),(存在,L 的弧长为S,则存在常数C,使得⎰Lds y x f ),(=CS二.第一型曲线积分的计算法我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:定理:设曲线L 的方程为:)(t x ϕ=,)(t y φ=,βα≤≤t ,其中)(t ϕ,)(t φ在[]βα,上具有连续的一阶导数, ),(y x f 为L上的连续函数,则有⎰Lds y x f ),(=[][][]⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f 22)()()(),(证:详细的证明书上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用)(t s s =来表示L上的以[]t ,α为取值区间所对应部分的弧长,则有)(t s s ==⎰'+'tdt t t αφϕ22)]([)]([.两边求微分,得dt t t ds 22)]([)]([φϕ'+'=进而: dt t t t t f ds y x f 22)]([)]([)](),([),(φϕφϕ'+'= 又当),(y x 在L 上变化时,相应地t 在[]βα,上取值,故⎰Lds y x f ),(=[][][]⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f 22)()()(),( . (注:并非严格的证明)注1:若L 的方程为)(x y ϕ=,],[βα∈x 则⎰Lds y x f ),(=⎰'+βαϕϕdx x x x f 2)]([1)](,[若L 的方程为)(y x φ=,],[d c y ∈,则⎰Lds y x f ),(=dy y y y f dc⎰'+2)]([1]),([φφ2:若空间曲线Γ的方程为: )(t x ϕ=,)(t y φ=,)(t z ω=,],[βα∈t .则有⎰Lds z y x f ),,(=[][][][]⎰'+'+'βαωφϕωφϕdt t t t t t t f 222)()()()(),(),(3:定理.注1.2中的定积分的上下限,一定满足:下限≤上限.这是因为,在这里的L(或Γ)是无向曲线弧段,因而单从L 的端点看不出上下限究竟是什么.这就要从L(或Γ)的方程的形式来考虑.又)(t s '>0⇒ts t ∆∆→∆0lim >0从而当t ∆很小时,s ∆∆/>0.此时若视s ∆为L 上某一段弧的弧长,应有s ∆>0⇒t ∆>0.这说明此时t 的变化是由小到大的.而这里s ∆正是i s ∆的一般形状,故下限≤上限.第二节对坐标的曲线积分这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力),(y x F →=),(y x P i +),(y x Q j 的作用沿平面曲线L 运动,求当质点从L 的一端点A 移动到另一端点B 时,力),(y x F →所做的功W.(这里假设),(y x P ,),(y x Q 在L 上连续)首先,对有向曲线L 作分割:用点M 1,M 2,…,M 1-n 与M 0=A,M n =B 将L 分成n 个小段⋂-i i M M 1(i=1,2…n).以i s ∆表示其弧长.记该分割的细度为λ＝ni ≤≤1max {Δs i },当i s ∆很小时,有向的小弧段⋂-i i M M 1可用有向的直线段i i M M 1-来代替: ⋂-ii M M 1≈i i M M 1-=i x ∆i +i y ∆j,其中i x ∆=1--i i x x ,i y ∆=1--i i y y .而),(11--i i y x ,),(i i y x 分别为M1-i 与M i 点的坐标.又在⋂-i i M M 1上任取一点（ξi ，ηi ）∈⋂-i i M M 1.当i s ∆很小时,由于),(y x P ,),(y x Q 在L 上连续,故可用在（ξi ，ηi ）点处的力),(i i F ηξ→=),(i i P ηξi +),(i i Q ηξj 来近似代替⋂-i i M M 1上其它各点的力,因此变力),(y x F →在小弧段⋂-i i M M 1上所作的功i W ∆,就近似地等于常力),(i i F ηξ→沿i i M M 1-所做的功.故有i W ∆≈),(i i F ηξ→.i i M M 1-=),(i i P ηξi x ∆+),(i i Q ηξi y ∆所以 W=∑=∆n i i W 1≈∑=∆+∆ni i i i i i iy Q x P 1]),(),([ηξηξ.且当0→λ时,有W=∑=→∆+∆ni i i i i i iy Q x P 1]),(),([limηξηξλ.2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义定义:设L 是xoy 面上从点A 到点B 的有向光滑曲线, ),(y x P ,),(y x Q 在L 上有界,把L 分成n 个小弧段Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示第i 个小弧段的弧长.在Δs i (i=1,2,…n)上任取一点（ξi ，ηi ）,做和式∑=∆+∆ni i i i i i i y Q x P 1]),(),([ηξηξ,其中i x ∆和i y ∆是i s ∆分别在x 轴和y 轴上的投影.记λ＝ni ≤≤1max{Δsi},如果极限∑=→∆+∆ni i i i i i iy Q x P 1]),(),([limηξηξλ存在,且极限值与L 的分法及点（ξi ，ηi ）在Δs i 上的取法无关,则称此极限值为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(即有:⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=),(y x P ,),(y x Q其中),(y x P ,),(y x Q 称为被积函数,L 称为积分曲线弧.同理,当),(y x P ,),(y x Q 都在L 上连续时,上述积分才存在.故今后总假定),(y x P ,),(y x Q 在L 上连续注1:完全可以类似地扩到空间曲线Γ上,得⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(2: 当L 为封闭曲线时,常记为:⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(3:这两类线积分,除了形式上不同之外,还有一关键性区别在于:第一类线积分与L 的方向无关,而第二类线积分与L 的方向有关.(下见性质2) 性质1:若L 由有限有向曲线弧组成,例如L=L 1+L 2,则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+1),(),(L dy y x Q dx y x P +⎰+2),(),(L dy y x Q dx y x P性质2:设–L 是L 的反向曲线弧,则⎰-+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-Ldy y x Q dx y x P ),(),(一. 第二型曲线积分的计算法同前面一样,我们可以将对坐标的曲线积分转化为定积分来计算,有下列定理:定理: ),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续,L 的方程为: )(t x ϕ=,)(t y φ=. 当t 由α变动到β时,对应L 上的动点),(y x M 从L 的起点A 变到终点B,)(t ϕ',)(t φ'在],[βα上连续且不全为零,则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{ (证明略)注1:若L 的方程为)(x y ϕ=,x 在a ,b 之间.且x=a 且x=b 分别为L 的起点和终点,则有⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+badx x x x Q x x P )())](,())(,([ϕϕϕ同理,若L 的方程为)(y x ϕ=,也有类似的结果.2:设空间曲线Γ的方程为: )(t x ϕ=,)(t y φ=,)(t z ω=,],[βα∈t ,且α=t ,β=t 分别对应于Γ的起点和终点,则有⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰'+'+'βαωωφϕφωφϕϕωφϕdt t t t t R t t t t Q t t t t P )}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{3:定理及注1,2中的定积分的上下限分别时参数所对应的参数值,起点对应的值为下限,终点对应的值为上限.二、两类线积分之间的关系直到现在为止,我们已学过两种曲线积分:⎰Lds y x f ),(和⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.两者都是转化为定积分计算.那么两者有何联系呢?这两种曲线积分来源于不同的物理原型,有着不同的特性,但在一定的条件下,我们可建立它们之间的联系.设有向曲线弧L 表示成以弧长s 为参数的参数方程: x=x(s),y=y(s), 0≤s ≤ℓ,这里L 由点A 到点B 的方向就是s 增大的方向.又设α,β依次为从x 轴正向,y 轴正向到曲线L 的切线的正向的夹角,则a dsdx cos =,βcos sin ==a dsdy(cos α,cos β也称为有向曲线L 上点(x,y)处的切向量的方向余弦,切向量的指向与曲线L 的方向一致).因此,得⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=ds s y s x Q s y s x P l}cos )](),([cos )](),([{0⎰+βα⇒⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Lds y x Q y x P ]cos ),(cos ),([βα注1: 上式可推广到空间曲线的曲线积分上去,有⎰++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++Lds z y x R z y x Q z y x P ]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα其中cos α,cos β,cos γ 是L 上点(x,y,z)处的切向量的方向余弦.第二节 格林公式格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L 的正向:设区域D 是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L 的正向规定为:当人沿着L 行走时,区域D 总在他的左边.若与L 的正向相反,就称为负方向.记作–L.定理1 设闭区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数),(y x P ,),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰+LQdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q (1) 其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L 的正方向.公式(1)称为格林公式.证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D 既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域.由D 可表示为X 型区域,不妨设D={(x,y) : a ≤x ≤b, )(1x ϕ≤y ≤)(2x ϕ} (如图)则⎰⎰∂∂Ddxdy yP =⎰badxdy yy x P x x ⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=⎰-badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ又⎰LP d x =⎰1L Pdx +⎰2L Pdx =⎰badx x x P )](,[1ϕ +⎰badx x x P )](,[2ϕ=⎰--badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ因此有⎰L P d x =⎰⎰∂∂-Ddxdy yP同理,D 可表示为Y-型区域,不难证明:⎰LQdy =⎰⎰∂∂Ddxdy xQ将上面两式相加得⎰+LQdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Ddxdy y P xQ . (ii)对于一般的区域D,即如果闭区域Ｄ不满足上述条件(既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域),则可以在D 内引进若干条辅助线把D 分成有限个部分闭区域,使每个部分满足上述条件.在每快小区域上分别运用Ｇreen 公式,然后相加即成.如图中D 的边界曲线L,通过作辅助线AE 将L 分为L 1,L 2,同时将区域D 分为D 1,D 2,它们都满足上述条件,于是⎰→++EAL QdyPdx 1=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D dxdy y P x Q ,⎰→++AEL Qdy Pdx 2=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Ddxdy y PxQ 上面两式相加,并注意到⎰→+EAL 1=⎰1L +⎰→EA,⎰→+AEL 2=⎰2L +⎰→AE,⎰→AE=⎰→-EA.又L=L 1+L 2, D= D 1+D 2, 于是⎰+LQ d y P d x =⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q . 注:在Ｇreen 公式中,当x Q =, y P -=时,有yP xQ ∂∂-∂∂=1–(–1)=2, 代入公式,得⎰+-Lxdy ydx = ⎰⎰Ddxdy 2=A 2 (其中A 为D 的面积)于是 ⎰-=Ly d x x d y A 21. (2)平面曲线积分与路径无关的条件从前面的讨论,我们看到第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它的数值一般与积分曲线有关.如:⎰-++Ldy x y dx y x )()(中,当L 的端点固定在(1,1)点和(4,2)点时,若L取不同的路径,所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积分路径有关.然而,存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关,只与起点和终点有关.亦即对任意两条以A 为起点,B 为终点的曲线1L 和2L ,有⎰+1L Qdy Pdx =⎰+2L Qdy Pdx .本段将讨论曲线积分在什么条件下,其值与路径无关.首先,介绍单连通区域的概念:若对于平面开区域D 内任一条封闭曲线L,均可以D 以外的点而连续收缩于D 中某一点,即L 所围的点全属于D,那么就称D 为单连通区域,通俗地说D 是没有“洞”的区域.否则,称为复(多)连通区域.(如图).定理: 设Ｇ是一个单连通的开区域,函数),(y x P ,),(y x Q 在Ｇ内具有一阶连续偏导数,则下述命题是等价的 1)yP xQ ∂∂=∂∂在D 内恒成立;2) 0=+⎰LQdy Pdx 对G 内任意闭曲线L 成立;3)⎰+LQdy Pdx 在G 内与积分路径无关;4) 存在可微函数),(y x u u =,使得Qdy Pdx du +=在G 内恒成立. 证 1)⇒2). 已知yP xQ ∂∂=∂∂在G 内恒成立,对G 内任意闭曲线L,设其所包围的闭区域为D,由格林公式=+⎰LQdy Pdx ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q 00==⎰⎰Ddxdy2) ⇒3).已知对G 内任一条闭曲线L,0=+⎰LQdy Pdx . 对G 内任意两点A 和B,设1L 和2L 是G 内从点A 到点B 的任意两条曲线(如图),则-+=21L L L 是G 内一条封闭曲线,从而有⎰+=LQdy Pdx 0=⎰+1L Qdy Pdx +⎰-+2L Qdy Pdx 。