第十章 曲线积分与曲面积分

第十章

曲线积分与曲面积分

一．第一型曲线积分的概念和性质

1．金属曲线的质量

设有金属曲线L （如图9－1），L 上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。

把L 分成n 个小弧段：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示这些小弧段的长度。在Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ），由于线密度函数是连续的，因此当Δs i 很小时，Δs i 的质量∆m i 便可近似地表示为：∆m i ≈ρ（ξi ，ηi ）Δs i ，于是整个金属曲线地质量近似于M ≈n

i 1=∑ρ(ξi ，ηi )Δs i .记λ＝n

i ≤≤1max {Δs i },令λ→0取上式和式的极限，得M ＝0lim →λn

i 1

=∑ρ(ξi ，

ηi )Δs i .

2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义

定义：设L 为xoy 平面内的曲线弧，),(y x f 是L 上的有界函数,把L 分成n 个小弧段: Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，其中Δs i （i=1,2,…n ）也表示第i 个小弧段的弧长. 记λ＝n i ≤≤1max {Δs i },在每

个小弧段Δs i 上任取一点（ξi ，ηi ）,作和式n

i 1

=∑),(i i f ηξΔs i ,如和式极限0lim →λn

i 1

=∑),(i i f ηξΔs i

存在,且极限值与L 的分法和点（ξi ，ηi ）在Δs i 上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ(x,y)在曲线L 上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作

⎰

L

ds y x f ),(,即

⎰

L

i i ds f ),(ηξ=0lim →λn

i 1

=∑),(i i f ηξΔs i 称),(y x f 为被积函数,L 为积分曲线弧.

注1:同前面一样,并非任一个函数),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若

),(y x f 在L 上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定),(y x f 在L

上连续.

注2:显然物体M 的质量为:M=⎰L

ds y x ),(ρ

注3:类似地,我们可定义),,(z y x f 对于空间曲线弧Γ的曲线积分:

⎰

Γ

ds z y x f ),,(

=∑

=→∆n

i i i i i s f 1

),,(lim

ζηξλ

注4:若L 为闭曲线,则),(y x f 在L 上的对弧长的曲线积分记为⎰L

ds y x f ),(

性质

1.若

⎰

L

i ds

y x f ),((i=1,2…n)存在,C

i

(i=1,2,…n)为常数,则

⎰∑=

L n

i i i

ds y x f c

),(=

⎰=n

i L

i i ds y x f c 1

),(

性质2:如按段光滑曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L n 首尾相接而成,且 ⎰

i

L ds y x f ),((i=1,2,…n)都存

在,则⎰L

ds y x f ),(=∑

⎰

=n

i L i

ds y x f 1

),(

性质3:若

⎰

L

ds y x f ),(,

⎰

L

ds y x g ),(都存在,且在L 上),(y x f ≤),(y x g ,则

⎰

L

ds y x f ),(≤

⎰

L

ds y x g ),(

性质4:若⎰L

ds y x f ),(存在,则⎰L

ds y x f ),(也存在,且有

⎰

L

ds y x f ),(≤

⎰

L

ds y x f ),(

性质5:若⎰L

ds y x f ),(存在,L 的弧长为S,则存在常数C,使得⎰L

ds y x f ),(=CS

二.第一型曲线积分的计算法

我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:

定理:设曲线L 的方程为:)(t x ϕ=,)(t y φ=,βα≤≤t ,其中)(t ϕ,)(t φ在[]βα,上具有连续的

一

阶

导

数, )

,(y x f 为L

上的连续函数,则有

⎰

L

ds y x f ),(=[][][]⎰'+'β

α

φϕφϕdt t t t t f 2

2

)()()(),(

证:详细的证明书上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用)(t s s =来表示

L

上的以[]t ,α为取值区间所对应部分的弧长,则有)(t s s ==⎰

'+'t

dt t t α

φϕ2

2)]([)]([.

两边求微分,得dt t t ds 2

2

)]([)]([φϕ'+'=

进而: dt t t t t f ds y x f 2

2

)]([)]([)](),([),(φϕφϕ'+'= 又当),(y x 在L 上变化时,相应地t 在[]βα,上取值,故

⎰

L

ds y x f ),(=[][][]⎰'+'β

α

φϕφϕdt t t t t f 2

2

)()()(),( . (注:并非严格的证明)