2014年秋季班数学八年级讲义(10)

2014年秋季班数学八年级讲义（10）

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=。公式的变形：222a c b =-或222b c a =-。 勾股定理的逆定理：如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足222a b c +=，那么△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形。

勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17） 【基础知识】

1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A .4cm B .34cm C .6cm D .36cm

2. △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或33

3. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )

A . 9分米

B .15分米

C .5分米

D .8分米 4. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地

面有多高？

【提高练习】 1. 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2

，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

2. 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E

站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？

A A ′ A ′ O A D E

B C

第22题图

B A

6cm 3cm 1cm

3. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识说明：AB 2－AP 2=PB

×PC 。

5. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠BCD 互余，AD=a ，BC=b ，求证：BD 2+AC 2=a 2+b 2

6. 已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a ，AF=b ，且3

2

=EFGH S 正方形。求：a b -的值。

7. 在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的

点，且DE ⊥DF （1）说明：2

22EF CF BE =+；（2）若BE=12，CF=5，试求DEF ∆的面积。

8. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ．

A B C

H

G

F

C

B

9. 如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.

10. 如图，长方形ABCD 中，AD=8cm ，CD=4cm.

（1）若点P 是边AD 上的一个动点，当P 在什么位置时有PA=PC ？

（2）在（1）中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点，若4

15AQ =时，QP'与C P '垂直吗？为什么？

11. 如图，南北向MN 为我国的领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意.反走私艇A 通知反走私艇B:A 和C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里.反走私艇B 测得距离C 艇是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

【巩固练习】

1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．2，3，4 B ．3，4，5 C ．6，8，10 D ．

53，5

4，1 2. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 3. 下列说法中正确的是（ ）

A ．已知c b a ,,是三角形的三边，则2

22c b a =+

B ．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C ．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，所以2

22c b a =+

D ．在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ，所以2

22c b a =+

A

B C M

D

D

C

A

B

4. 下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a ，4a ，5a （a>0）；④32，42，52。其中可以构成直角三角形的边长有（ ）

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

5. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，其中斜边上的高为（ ）

A ．6 cm

B ．8.5 cm

C ．

1360 cm D ．13

30

cm 6. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为________，面积为________

7. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________________ 8. 一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽100cm ．你认为小明能拿进屋吗？________． 9. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于__________ 10. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ，长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?

11. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用

是多少？

12. 如图3，已知长方形ABCD 中AB=8cm

，BC=10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长．

【中考链接】

（2014•湖南张家界）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=60°，DE 是斜边AC 的中垂线，分别交AB 、AC 于D 、E 两点．若BD=2，则AC 的长是____________

（2014•山东淄博）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为_____________

5m 13m A B C D L