均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)
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利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”
） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，
可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +
∈，且满足
134
x y
+=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0，所以
3434
3
x y x y
xy
+≥=(当且仅当34x y =，即x=6
，y=8时取等
号)1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值
解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16
2
1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立
技巧二：配凑项求 例2：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
解：
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解：
当
，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设2
3
0<
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。 例4. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解：
当
,即
时,4
1)591
y x x ≥+⨯
=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 练习：1、已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；
2、2
03
x <<
，求函数(23)y x x =-技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换） 错解
．．：
0,0x y >>，且
191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫
+=++≥= ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在
1992
x y xy
+≥1
9
x y
=
即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否
有误的一种方法。 正解：
19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +
的最小值
2：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。
(3) 设0,0.a b >>11
33a
b
a b
+与的等比中项，则的最小值为（ ）
． A ．8 B ．4 C ． 1 D ．
14
解析：因为333=⋅b
a
，所以1=+b a 。
又0,0,a b >>所以4222)11)((11=⋅+≥++=++=+b
a a
b b a a b b a b a b a ，当且仅当b a a b =即2
1
==b a 时取“=”。故选（Ｂ）．
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。例：求函数2
y =
的值域。
(2)t t =≥，则2
y =1
(2)t t t =
=+≥
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.