运筹学 第7章 库存理论

第七章存储论存储理论是运筹学最早成功应用的领域之一，是运筹学的重要分支。

本章将通过分析生产经营活动中常见的存储现象，展现管理科学中处理存储问题的优化理论与方法，介绍几种常见的确定型存储问题和随机存储问题的建模和求解方法。

第一节有关存储论的基本概念一、存储的与存储问题存储就是将一些物资（如原材料、外购零件、部件、在制品等等）存储起来以备将来的使用和消费。

存储的作用就是缓解供应与需求之间出现供不应求或供大于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。

存储现象是普遍存在的。

商店为了满足顾客的需要，必须有一定数量的库存货物来支持经营活动，若缺货就会造成营业额的损失；银行为了进行正常的交易需要储存一定数量的现金。

工厂为了生产的正常进行，必须储备一定的原材料等等。

但存储量是否越大越好呢？首先，有存储就会有费用（占用资金、维护等费用——存储费），且存储越多费用越大。

存储费是企业流动资金中的主要部分。

其次，若存储过少，就会造成供不应求，从而造成巨大的损失（失去销售机会、失去占领市场的机会、违约等）。

因此，如何最合理、最经济的制定存储策略是企业经营管理中的一个大问题。

这也是本章要研究的内容。

二、存储模型中的几个要素1．存储策略存储策略就是解决存储问题的方法，即决定多少时间补充一次以及补充多少数量的策略。

常见的有以下几种类型：（1）t0循环策略即每隔t0时间补充库存，补充量为Q。

这种策略是在需求比较确定的情况下采用。

（2）（s，S）策略即当存储量为s时，立即订货，订货量为Q=S－s，即将库存量补充到S。

（3）（t，s，S）策略即每隔t时间检查库存，当库存量小等于s时，立即补充库存量到S；当库存量大于s时，可暂时不补充。

2．费用（1）订货费订货费即企业向外采购物资的费用，包括订购费和货物成本费。

订购费主要指订货过程中手续费、电信往来费用、交通费等。

与订货次数有关；货物成本费是指与所订货物数量有关的费用，如成本费、运输费等。

（2）生产费生产费即企业自行生产库存品的费用，包括装备费和消耗性费用。

装备费主要指与生产次数有关的固定费用；消耗性费用指与生产数量有关的费用。

（3）存储费用主要包括保管费、流动资金占用利息、货损费等，与存储数量及存货性质有关。

（4）缺货费指因缺货而造成的损失，如：机会损失、停工待料损失、未完成合同赔偿等。

以上所列费用项目，随着实际问题的不同，所考虑的费用项目也会不同。

3．提前时间通常从订货到货物进库有一段时间，为了及时补充库存，一般要提前订货，该提前时间等于订货到货物进库的时间长度。

4．目标函数要在一类策略中选择最优策略，就需要有一个赖以衡量优劣的准绳，这就是目标函数。

在存储论模型中，目标函数是指平均费用函数或平均利润函数。

最优策略就是使平均费用函数最小或使平均利润函数最大的策略。

存储问题的求解一般有如下步骤：（1）分析问题的供需特性；（2）分析系统的费用（订货费、存储费、缺货费、生产费等）；（3）确定问题的存储策略，建立问题的数学模型；（4）求使平均费用最小（或平均利润最大）的存储策略（最优存储量、最佳补充时间、最优订货量等）。

第二节确定型存储模型一、经济订购批量存储模型（一）模型假设与存储状态图该模型的假设如下：（1）需求是连续均匀的。

设需求速度为常数R；（2）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，且都为常数；（4）每次订购量均相同，均为Q。

则存储状态图如图7—1所示。

（二）存储模型1．存储策略该问题的存储策略就是每次订购量，即问题的决策变量Q ，由于问题是需要连续均匀且不允许缺货，变量Q 可以转化为变量t ，即每隔t 时间订购一次，订购量为Q=Rt 。

2．优化准则t 时间内平均费用最小。

由于问题是线性的，因此，t 时间内平均费用最小，总体平均费用就会最小。

3．目标函数根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是t 时间内的平均费用， 即 C=C （t ）。

费用有：（1）t 时间内订货费t 时间内订货费= 订购费 + 货物成本费 = c 3+KRt （其中K 为货物单价） （2）t 时间内存储费存储费 = 平均存储量×单位存储费×时间 2112121Rt c t Qc == （3）t 时间内平均费用（目标函数）KR t c Rt c KRt c Rt c t t C ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=3132121211)(4．最优存储策略 在上述目标函数中 令021231=-=tc R c dt dC 存储量t图7—1得 Rc c t 13*2=(7.1)即每隔t *时间订货一次，可使平均费用最小。

有 13**2c Rc Rt Q == （7.2） 即当库存为零时，立即订货，订货量为Q *，可使平均费用最小。

该Q *就是著名的经济订货批量（Economic Ordering Quantity ， E.O.Q ）。

由于货物单价K 与Q *、t *无关，因此在费用函数中可省去该项。

即 tc Rt c t C 3121)(+= 因此有 R c c tc Rt c C 31*3*1*221=+= (7.3)费用函数可用图7—2来描述。

费用函数还可以描述成订购量Q 的函数，即QR c Q c Q C 3121)(+=例7.1 某批发公司向附近200多家食品零售店提供货源，批发公司负责人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面进行调查研究，以制定正确的存储策略。

调查结果如下：（1）方便面每周需求3000箱；（2）每箱方便面一年的存储费为6元，其中包括贷款利息3.6元，仓库费用、保险费用、损耗费用管理费用等2.4元。

（3）tt *图7—2每次订货费25元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务费12元，支付手续费、电话费、交通费等13元。

（4）方便面每箱价格30元。

解： 根据上述提供的数据有c 1=6/52=0.1154元∕周·箱；c 3=25元∕次；R=3000箱∕周。

因此有 18.11401154.03000252213*=⨯⨯==c R c Q （箱） t *=Q *∕R=1140.18∕3000=0.38（周）=2.66（天）最小费用 周）元/(57.1313000251154.02221*=⨯⨯⨯==R c c c 若提前期为1天，则再订货点为：1×（3000/7）=427（箱）在此基础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改。

（1）将订货周期改为3天，每次订货量为3000×3（52∕365）=1282箱； （2）为防止每周需求超过3000箱的情况，决定每天多存储200箱，这样，第一次订货为1482箱，以后每3天订货1282箱；（3）为保证第二天能及时到货，应提前一天订货，再订货点为427+200=627箱。

这样，公司一年总费用为C=0.5×1282×6 + (365÷3)×25 + 200×6=8087.67（元）二、经济生产批量模型经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型。

（一）模型假设与存储状态图该模型的假定为：（1）需求是连续均匀的，设需求速度为常数R ；（2）每次生产准备费为c 3，单位存储费为c 1，且都为常数；（3）当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量（生产率）为P （常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部分作为存储，存储量以P －R 的速度增加；当生产t 时间以后，停止生产，此时存储量为（P －R ）t ，以该存储量来满足需求。

当存储量降至零时，再开始生产，开始一个新的周期。

（4）每次生产量均相同，均为Q 。

设最大存储量为S ；总周期时间为T ，其中生产时间为t ，不生产时间为t 1；存储状态图如图7—3。

（三）存储模型1．存储策略 一次生产的生产量Q ，即问题的决策变量； 2．优化准则 t+t 1时期内，平均费用最小； 3．费用函数（1）生产时间 t=Q ∕P ；（2）最大存储量 PQR P t R P S )()(-=-= （3）不生产时间与总时间 RP QR P R S t ⨯-==)(1t+t 1=Q ∕R （4）t+t 1时期内平均存储费 P Q R P c Sc )(22111-= （5）t+t 1时期内平均生产费用QR c t c 33= （6）t+t 1时期内总平均费用 QRc P Q R P c Q C 31)(2)(+-=4．最优存储策略 在上述费用函数的基础上 令0=dQdC有最佳生产量 RP Pc R c Q -=13*2 (7.4)S时间T存储量t t 1图7—3O最佳生产时间 )(12/13**R P P c R c P Q t -==(7.5)最佳循环时间 R P PR c c R Q T -==13**2/(7.6)循环周期内平均费用 PRP Rc c C -=312(7.7)例7.2 某装配车间每月需要零件490个，该零件由厂内生产，生产率为每月900个，每批生产准备费为100元，每月每件零件存储费为0.5元。

试计算经济生产批量及相关指标。

解 依题意有R=490件/月；P=900件/月；c 1=0.5元/件·月；c 3=100元/次；因此有最优生产量 )(6564909009001004901002*件=-⨯⨯=Q每月平均成本 )/(3284909009004901005.02月元=-⨯⨯⨯=C最佳循环时间 T *=Q */R=656/490=1.34(月)最大存储水平 S *= (P －R)×Q */P=(900－490)×656/900 = 299(件)三、允许缺货的经济订购批量模型所谓允许缺货是指企业可以在存储降至零后，还可以再等待一段时间后订货。

若企业除了支付少量的缺货损失外无其他损失，这样企业可以利用“允许缺货”的宽松条件，少支付几次订货的固定费用，以及少支付一些存储费，从经济的角度出发，允许缺货对企业是有利的。

（一）模型假设与存储状态图该模型的假设为：（1）顾客遇到缺货时不受损失或损失很小，顾客会耐心等待直到新的补充到来。

当新的补充一到，立即将货物交付给顾客。

这是允许缺货的基本假设，即缺货不会造成机会损失。

（2）需求是连续均匀的。

设需求速度为常数R ；（3）每次订购费为c 3，单位存储费为c 1，单位缺货费为c 2，且都为常数； （4）每次订购量均相同，均为Q 。

设最大存储量为S ，则最大缺货量为Q －S ，每次订到货后立即支付给顾客最大缺货量Q －S ；总周期时间为T ，其中不缺货时间为t 1，缺货时间为t 2；存储状态图如图7—4。

（二）存储模型1．存储策略：一次生产的生产量Q ，即问题的决策变量； 2．优化准则：T 时期内，平均费用最小； 3．费用函数：（1）不缺货时间 t 1=S ∕R ； （2）缺货时间 t 2=（Q －S ）∕R （3）总周期时间 T=Q ∕R（4）平均存储量 QS T t S 22121=⨯（5）平均缺货量 QS Q T t S Q 2)()(2122-=⨯-（6）T 时期内平均生产费用QRc T c 33= （7）T 时期内总平均费用 QRc Q S Q c Q S c Q S C 322212)(2),(+-+=图7—44．最优存储策略 令0)(21=--=∂∂QS Q c Q S c S C 02)()(22232222221=----+-=∂∂QR c Q S Q c S Q Q c Q S c Q C 有最佳订购量 22113*2c c c c R c Q +=（7.8）最佳（最大）存储量 21213*2c c c c R c S +=（7.9）最佳循环时间 22113**2/c c c R c c R Q T +==（7.10）周期内平均费用 21231*2c c c Rc c C +=（7.11）例7.3 某批发商经营某种商品，已知该商品的月需求量为1000件，每次订购费50元。