理论力学第十一章

动画
动量矩定理
参见动画：爬绳比赛的力学分析(1)
动画
动量矩定理
参见动画：爬绳比赛的力学分析(2)
动画
动量矩定理
参见动画：挺身式跳远的腾空动作
例题
动量矩定理
例 题 3
滑轮、重物 A和 B连接如图示。定滑轮对水平转轴 O的转 动惯量是 JO ；定滑轮的半径是 r。绳端悬挂的重物 A和 B 重量 分别是 PA 和 PB ，且 PA > PB 。试求定滑轮的角加速度。
O
φ
v
A
例题
动量矩定理
例 题 2
O
φ
把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A ，。 解： 又设在任一瞬时质点 A 具有速度 v ，摆线 OA
与铅垂线的夹角是 。 对通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，应用质点的动量矩定理
dLOz M Oz dt
v
A
2
由于动量矩和力矩分别是 和 从而可得
与角速度的乘积。
Lz M z (mi v i ) mi vi ri miw ri ri w mi ri 2
转动惯量：
J z mi ri 2 Lz J zw
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3．平面运动刚体 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩， 等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质 心轴作转动时的动量矩之和。
C物：平动 B轮：平面运动
J1w1 ( J 2w2 m2v2 R2 ) m3v3 R2
逆时针
J1 J2 2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2 w1 R2 R2
§11-2 动量矩定理
一．质点的动量矩定理
d (mv ) 两边叉乘矢径 r , 有 r dt r F 左边可写成
2 1 2 1
w0
(a)
w
(b)
w
例题
动量矩定理
例 题 4
参见动画：动量矩定理－例题4
例题
动量矩定理
例 题 4
取轴 1 和轴 2 组成的系统作为研究对象。接合时作用在两轴的外力对 解：
公共转轴的矩都等于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统 的动量矩是 (J1 w0+ J2 0) 。
考虑到 v = r w ， 则得
LOz ( J O
外力主矩仅由重力 PA和 PB产生，有
M Oz ( PA PB )r
( c)
例题
动量矩定理
例 题 3
(a )
dLOz M Oz dt P 2 P 2 LOz ( J O A r B r )w g g
M Oz ( PA PB )r
左边交换求和与导数运算的顺序: L O M O ( mi vi ), 而:
(e) dLO (e) M O ( Fi ) M O 一质点系对固定点的动量矩定理 则: dt
(i ) M O ( Fi ) 0,
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系 上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得
(b)
( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
PA 2 PB 2 dw (JO r r ) ( PA PB )r g g dt
从而求出定滑轮的角加速度

dw dt
PA PB r P P JO A r 2 A r 2 g g
方向为逆钟向。
已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 动的速度多大？（轮重不计） 解：mO ( F ) 0 , 系统的动量矩守恒。
Lz M z (mvC ) JC w
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例题
动量矩定理
例 题 1
滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1， 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求: 系统对O轴的动量矩。 解：运动分析 A轮：定轴转动
v3 v2 R2w 2 1 R1w1 2 LO LOA LOB LOC
质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴 的主矩）。 动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力
才能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒
当 M O
(e)
0 时， LO 常矢量。
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
(e)
v
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
0 mAv Ar mB (v v A )r
vA v 2
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 v 。 2
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例题
动量矩定理
例 题 4
摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前， 已知主动轴 1 以角速度w0转动，而从动轴 2 处于静止(图 a)。一经结合，轴 1 的转速迅速减慢，轴 2 的转速迅速 加快，两轴最后以共同角速度 w 转动(图b)。已知轴 1 和 轴 2 连同各自的附件对转轴的转动惯量分别是 J1 和 J2 ， 试求接合后的共同角速度 w，轴承的摩擦不计。
例题
动量矩定理
例 题 3
解: 取定滑轮，重物 A , B 和绳索为研究对象。
对定滑轮的转轴 z (垂直于图面向外)应用动量矩定理，有
dLOz M Oz dt
系统的动量矩由三部分组成，等于
(a )
LO
PA P v r B v r J Ow g g
PA 2 PB 2 r r )w g g (b)
d [ M O (mv )] M O ( F ). dt 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d M x (mv ) M x ( F ), M y (mv ) M y ( F ), M z (mv ) M z ( F ) dt dt dt
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 若
LO MO (mvC ) rC mvC
( ri mi vi mi ri vC rC MvC )
2）平动刚体对轴 z 动量矩： Lz M z (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对 该点（轴）的动量矩。
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2．定轴转动刚体
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量
M O (F )
F
B
力对点O之矩在z轴上的投影： [ M O ( F )] z xF y yFx
o x
A r
y
力对轴 z 的之矩：

M z (F ) [M O (F )]z
M z ( F ) xFy yFx
代数量
质点对点的动量矩 质点对点O动量矩： 质点的动量对点O之矩
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 (e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt
(e) (e) (e) dLy dLx dLz (e) M x ( Fi ) M x , M y ( Fi ), M z ( Fi ) dt dt dt 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即
M O (mv ) r mv
[ M O (mv )] z xmv y ymv x
质点的动量对点O之矩在z轴上的投影：
z
M O (mv )
A
mv
Q r
y
2.质点对轴 z 的动量矩
o x
M z (mv ) xmvy ymvx 代数量 M z (mv ) [M O (mv )]z
d LOz mvl m(lw )l ml dt M Oz mglsin
d 2 d (ml ) mgl sin dt dt
例题
动量矩定理
例 题 2
d d (ml 2 ) mgl sin dt dt
O
φ
化简即得单摆的运动微分方程
g 微幅摆动时，sin , 并令 w n 2
A
F
C
例：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。 vC 0, 动量： p MvC 0, 质心无运动 (e) 而：F 0, 所以，动量不能反应转动的问题。
动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴） 的动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系。 物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定理
M O (F ) 0
(M z ( F ) 0).
则 则
M O (mv ) 常矢量
(M z (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
例题
动量矩定理
例 题 2
试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。已知 单摆 m，l，t = 0 时 = 0，从静止开始释放。
质点对点O动量矩在z轴上的投影， 等于对z轴的动量矩
M z ( m v ) 是代数量，从 z 轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 单位：kg· ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质点系对点O动量矩：各质点对点O动量矩的矢量和。
L O M O (mi vi ) ri mi vi
质点系对轴 z 动量矩：各质点对同一z轴动量矩的代数和。
Lz M z (mi vi )
Lz M z (mi vi ) [LO ]z
对点的动量矩与对轴的动量矩的关系:
[ LO ] z Lz
即
LO Lx i Ly j Lz k
刚体动量矩计算
1．平动刚体的动量矩： 1）平动刚体对固定点O的动量矩：
质点动量矩定理的应用：
在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理
(i ) (e) d 对质点Mi ： M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ). (i 1,2,3, , n) dt n n n (i ) (e) d 对质点系，有 M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) i 1 dt i 1 i 1
d 2 g sin 0 2 dt l
v
A
w 0
2 n
l
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
T 2
l g
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 （本题规定逆时针转向为正）
§11-1 质点和质点系的动量矩
一．质点的动量矩
复习：力对点O之矩 M O (F ) r F M O ( F ) ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
z
M O ( F ) [ M O ( F )] x i [ M O ( F )] y j [ M O ( F )] z k
离合器接合后，系统的动量矩是 (J1 + J2) w。故由动量矩守恒定律得
d (mv ) F dt
dr 而 mv v mv 0 , r F M O ( F ) , dt
d (mv ) d dr r (r mv ) mv dt dt dt
d [ M O (mv d )] M O ( F ). (r mv ) r F , 故： dt dt 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
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第十一章 §11–1
动量矩定理
质点与质点系的动量矩
§11–2
§11–3 §11–4 §11–5 §11–6
动量矩定理
刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
质点 动量定理： 质点系 动量的改变
外力（外力系主矢）
质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢） 物体在移动时运动与受力之间的关系 －动量定理。