10函数的单调性、极值与最值问题评分细则

函数的单调性、极值与最值问题

1．已知函数f (x )＝lnx ＋a (1－x )．

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

【答案】

【解析】

审题路线图 求f ′(x )――――→讨论f ′(x )的符号

f (x )单调性 →f (x )最大值→解f (x )max >2a －2.

构建答题模板

第一步：求导数，写出函数的定义域，求函数的导数．

第二步：定符号，通过讨论确定f ′(x )的符号．

第三步：写区间，利用f ′(x )的符号写出函数的单调区间．

第四步：求最值，根据函数单调性求出函数最值.

规范解答·分步得分

解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x

－a .

若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭

⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.

所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭

⎫1a ，＋∞上单调递减.5分

所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，

当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭

⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭

⎫1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；

当a ＞0时，f (x )在x ＝1a

处取得最大值， 最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭

⎫1－1a ＝－lna ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于lna ＋a －1＜0.9分 令g (a )＝lna ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.

于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.

因此，a 的取值范围是(0,1).12分

评分细则

(1)函数求导正确给1分；

(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；

(3)求出最大值给2分；

(4)构造函数g (a )＝lna ＋a －1给2分；

(5)通过分类讨论得出a 的范围，给2分．