空间解析几何,李养成(新版),第二章_第二节

A1 x B1 y C1 z D 1 0, 若给定直线的一般方程 A2 x B2 y C2 z D2 0. 则它的方向向量可取为
重点知识
B1 v B2
C1 C1 , C2 C 2
A1 A1 , A2 A2
B1 B2
.
例2.2.1 化直线 l 的一般方程
2x y z 5=0, 2x y 3z 1=0
为标准方程.
解法一 因 2:1:1 2:1:( 3) ，故方程组表示一条直线。 y z 5 0 得l上一点（0,4,1) 令x 0, 解方程组 y 3z 1 0 1 2 2 1 1 1 l的方向向量为 1 3， 3 2， 2 1 (4,8,0)
向量形式
命题2.2.2 直线 l1 与 l2 如前面所述.
(M1M 2 , v1, v2 ) 0;
x2 x1
坐标形式
y2 y1 Y1 Y2
z2 z1 Z1 Z2 0;

X1 X2
v1 与 v 2 不共线； (2) l1 与 l2 相交 M1M 2 , v1, v2 共面， (M1M 2 , v1, v2 ) 0 且 v1 , v2 不共线；
x 3y z 0, 例2.2.3 求与直线 l0 : 平行且与下列两 x y z 4 0
为标准方程.
1 1 y z 5 2x 0，有 解法三 由于 1 -3 y 3z 1 2 x
所以利用克莱姆法则可得，
1 5 2x 5 2x 1 z 1, 1 1 2x 1 2x 3 y ，z 即 y 2x 4, 1 1 1 1 1 3 1 3 x 2 y z 1 . 从而得直线的标准方程 1 2 0
答：（1）两平面相交 （2）两平面平行 （3）两平面重合
思考：如何把直线 l 的一般方程
A1 x B1 y C1 z D 1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.
仿射坐标系
化成标准方程? 直线的方向向量如何表示？
分析：假设 A1
A2
B1 A1 x B1 y C1 z D1 0, B2 A2 x B2 y C2 z D2
l1 : x x1 y y1 z z1 ， X1 Y1 Z1 x x2 y y2 z z2 l2 : . X2 Y2 Z2
l1 与 l2 的相关 从图上易见， 两直线 位置 取决于三个向量 M1M 2 , v1, v2 的 相互关系.
(1) l1 与 l2 异面 M1M 2 , v1, v2 不共面；
例2.2.2
x 2 y z 2 0, 试求 与 的值使得直线 l : 3x y z 6 0
在平面 z 0 上. 1 1 0, 取y=0 , 可将方程组化为 解： 由于 3 1 x z 2 0, 3x z 6 0 解得 x 3 , z 3(1 )
于是点 3 ,0, 3(1 ) l.
而直线 l 又在平面 z=0上，所以有 （ 3 1 ） 0
即， 1
所以 1, 6 为所求的值.
2.2.3 两条直线的相关位置 两条直线之间的位置关系是共面或异面.在共面的情 况下，又有相交、平行与重合三种情形. 在仿射坐标系中，设直线 l i 过点 M i xi , yi , zi ，方向 向量为 vi ( X i , Yi , Zi ), i 1, 2, 那么它们的标准方程为
利用克莱姆法则和行列式的性质，可解得
C1 z D1 B1
C1 B1
C2 z D2 B2 C2 B2 x A1 A1 B1 A2 B2
z
D1 D2
B1 B2
B1 B2
A2
x y
B1 B2 A1 A2 C1 C2 A1 A2
口答： 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, y 3z 1 0
(2) 2 x y z 1 0,
(3) 2 x y z 1 0,
4x 2 y 2z 1 0
4x 2 y 2z 2 0
在平面 z 0 上.
解：直线l的方向向量
2 1 1 1 1 2 v= , , 2 , 2, . 1 1 3 3
直线 l 在平面 z=0上，有 （ - 2 - ） 0 20 （ 6） 1 0 即， 6
§2.2 线性图形的位置关系 线性图形的位置关系主要是平面与平面、 平面与直线以及直线与直线之间的位置关系 ,包 括平行、重合、相交等.
至于点与直线以及点与平面的关系，即点在
直线(平面)上或之外. 在仿射坐标系下, 只需将点
的坐标代入直线(或平面)方程便可判定 .
2.2.1 两平面的相关位置
定理2.2.1 在仿射坐标系下，设二平面的方程为
(3) l1与 l2 平行 v1与 v 2 共线， 但不与 M1M 2 共线；
=0
且 X1 : Y1 : Z1 X 2 : Y2 : Z2 ;
X1 : Y1 : Z1 X 2 : Y2 : Z2 x2 x1 : y2 y1 : z2 z1 ; (4) l1 与 l2 重合 M1M 2 , v1, v2 共线.
2l m n 0 2l m 3n 0
解得 l : m : n 1 : 2 : 0
x y 4 z 1 从而得直线的标准方程 1 2 0
例2.2.1 化直线 l 的一般方程
2x y z 5=0, 2x y 3z 1=0
1 : A1 x B1 y C1 z D 1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0.
那么 (1) 1 与 2 相交的充要条件是 A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 ;
A1 B1 C1 D1 (2) 1 与 2 平行的充要条件是 A B C D ; 2 2 2 2 A1 B1 C1 D1 (3) 1 与 2 重合的充要条件是 A B C D . 2 2 2 2
因为 D1
点，即 1 与Fra Baidu bibliotek 2 平行.
1 与 2 没有公共 ，所以上述方程组无解，
(3) 由条件知存在实数 0 使得 A2 A1, B2 B1, C2 C1, D2 D1, 这时方程组(☆)变为一个方程 A1 x B1 y C1 z D1 0, 因此 1 与 2 重合.
取方向向量为（ 1,-2,0）
x y 4 z 1 从而得直线的标准方程 1 2 0
例2.2.1 化直线 l 的一般方程
2x y z 5=0, 2x y 3z 1=0
为标准方程.
解法二 已得到直线l上一点（0,4,1），
设直线 l 的方向向量为（l,m,n）,可列方程组
Ax0 By0 Cz0 D 0 ;
(3) l 在 上的充要条件是
AX BY CZ 0 且
Ax0 By0 Cz0 D 0.
例2.2.2
x 2 y z 2 0, 试求 与 的值使得直线 l : 3x y z 6 0
例2.2.1 化直线 l 的一般方程
2x y z 5=0, 2x y 3z 1=0
为标准方程.
在直角坐标系下， 你还有第四种解法吗？
（1）求出直线上一点 取特殊值，如令x=0,y=0 （2）求出直线的方向向量 利用公式求解 设方向向量（l,m,n）,列方程组求出比值 利用克莱姆法则求解 ④利用外积求解（直角坐标系）
-3 1 1 -3 , , 解法一 直线 l0 的方向向量为 1,1,2 . 1 1 1 1 1 1 因所求直线 l 与 l0 平行，取 v0 1,1,2 作为 l0 ,因而也是 l
的方向向量.如果能找到l所经过的一个点, 就可写出l的对
称式方程.
X1 : Y1 : Z1 X 2 : Y2 : Z2 x2 x1 : y2 y1 : z2 z1 .
x 3y z 0, 例2.2.3 求与直线 l0 : 平行且与下列两 x y z 4 0
条直线 l1 : x 3 t,y 1 2t, z 4t 和 l2 : x 2 3t,y 1,z 4 t 相交的直线方程.
C1
B1
D1 D2 , B1 B2 A1 A2 , B1 B2
C2 B2 z B1 A1 B2 A1 A2 z B1 B2 A2 D1 D2 A1 A2
x0
z0 0
y0
通过移项，成比例，从而得直线的标准方程 x x0 y y0 z z0 , B1 C1 C1 A1 A1 B1 B2 C2 C2 A2 A2 B2
设为 x x0 , y y0 于是 x x0 , y y0 , z 0 是方程组(☆) 的解，即两个
平面有一个公共点 x0 , y0 ,0 . 说明两平面相交或重合。 易找到一点 x1 , y1 , 0 1 ,且 x1 , y1 ,0 2 从而 1 与 2 相交.
2.2.2 直线与平面的相关位置
命题2.2.1 在仿射坐标系中，设直线 l 与平面 的 方程分别为 xx y y zz
X Y Z : Ax By Cz D 0, l:
0

0

0
,
则 (1) l 与 相交的充要条件是 AX BY CZ 0 ; (2) l 与 平行的充要条件是 AX BY CZ 0 且
证明 充分性. 平面 1 与 2 的相关位置取决于线性 方程组
A1 x B1 y C1 z D 1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0
(☆ )
的解的情况. (1) 设 A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 ,即
A1 B1 B1 C1 C1 A1 , , , 至少有一个成立. A2 B2 B2 C2 C2 A2
那么下面三个2 阶行列式
A1 A2 B1 B2 A2 , A1 C1 B1 , C2 B2 C1 C2
不全为零，不妨设第一个行列式不为零 .
A1 x B1 y D 1 0, 在方程组中令 z 0 ，得 A2 x B2 y D2 0. A1 B1 0 ，所以根据克莱姆法则知有唯一解， 因为 A2 B2
(2) 由已知条件知，存在实数 0 使得 A2 A1 , B2 B1 , C2 C1 , D2 D1. 于是方程组(☆)变成
A1 x B1 y C1 z D1 0, D12 A1 x B1 y C1 z 0. D2