匹配滤波器设计仿真

雷达系统匹配滤波器的仿真

一．匹配滤波器原理

在输入为确知加白噪声的情况下，所得输出信噪比最大的线性滤波器就是匹配滤波器，设一线性滤波器的输入信号为)(t x ：

)()()(t n t s t x += （）

其中：)(t s 为确知信号，)(t n 为均值为零的平稳白噪声，其功率谱密度为

2/No 。

设线性滤波器系统的冲击响应为)(t h ，其频率响应为)(ωH ，其输出响应： )()()(t n t s t y o o += （）

输入信号能量： ∞<=⎰∞

∞-dt t s s E )()(2

（）

输入、输出信号频谱函数：

dt e t s S t j ⎰∞

∞

--=ωω)()(

)()()(ωωωS H S o =

ωωωπωω

d e S H t s t

j o ⎰∞

-=)()(21)( （）

输出噪声的平均功率：

ωωωπ

ωωπd P H d P t n E n n o o ⎰⎰∞∞-∞∞-==)()(21)(21)]([22

（） )

()()(21)()(21

2

2

ωωωπ

ωωπ

ωωd P H d e S H SNR n t j o o ⎰

⎰

∞

∞

-∞

∞-=

（）

利用Schwarz 不等式得： ωωωπ

d P S SNR n o ⎰

∞

∞

-≤

)

()

(212

（）

上式取等号时，滤波器输出功率信噪比o SNR 最大取等号条件：

o

t

j n e P S H ωωωαω-=)

()()(*

当滤波器输入功率谱密度是2/)(o n N P =ω的白噪声时，MF 的系统函数为： ,)()(*o t j e kS H ωωω-=o

N k α

2=

k 为常数1，)(*ωS 为输入函数频谱的复共轭，)()(*ωω-=S S ，也是滤波器的传输函数)(ωH 。

o

s

o N E SNR 2=

Es 为输入信号)(t s 的能量，白噪声)(t n 的功率谱为2/o N

o SNR 只输入信号)(t s 的能量Es 和白噪声功率谱密度有关。 白噪声条件下，匹配滤波器的脉冲响应：

)()(*t t ks t h o -= 如果输入信号为实函数，则与)(t s 匹配的匹配滤波器的脉冲响应为： )()(t t ks t h o -= k 为滤波器的相对放大量，一般1=k 。 匹配滤波器的输出信号：

)()(*)()(o o o t t kR t h t s t s -==

匹配滤波器的输出波形是输入信号的自相关函数的k 倍，因此匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，通常k =1。

二．线性调频信号（LFM ）

脉冲压缩雷达能同时提高雷达的作用距离和距离分辨率。这种体制采用宽脉冲发射以提高发射的平均功率，保证足够大的作用距离；而接受时采用相应的脉冲压缩算法获得窄脉冲，以提高距离分辨率，较好的解决雷达作用距离与距离分辨率之间的矛盾。

脉冲压缩雷达最常见的调制信号是线性调频（Linear Frequency Modulation ）信号,接收时采用匹配滤波器（Matched Filter ）压缩脉冲。 LFM 信号(也称Chirp 信号)的数学表达式为：

22()

2()()c K j f t t t s t rect T

e π+=

式中c f 为载波频率，()t

rect T

为矩形信号，

11()0,

t t rect T

T elsewise

⎧ , ≤⎪

=⎨⎪ ⎩

（） B

K T

=

，是调频斜率，于是，信号的瞬时频率为()22c T T f Kt t + -≤≤，如图1

图1 典型的chirp 信号（a ）up-chirp(K>0)（b ）down-chirp(K<0)

将式中的up-chirp 信号重写为：

2()()c j f t s t S t e π= （） 式中，

2

()()j Kt t S t rect e T π= （）

是信号s(t)的复包络。由傅立叶变换性质，S(t)与s(t)具有相同的幅频特性，只是中心频率不同而以，因此，Matlab 仿真时，只需考虑S(t)。通过MATLAB 仿真可得到信号时域和频域波形如下图所示：

图信号的时域波形和幅频特性 三．线性调频信号的匹配滤波器

信号()s t 的匹配滤波器的时域脉冲响应为：

*0()()h t s t t =- （）

0t 是使滤波器物理可实现所附加的时延。理论分析时，可令0t ＝0，重写式， *()()h t s t =- （）

将式代入式得:

22()()c j f t j Kt t

h t rect e e T

ππ-=⨯ )

图信号的匹配滤波

如图3,()s t 经过系统()h t 得输出信号()o s t ，

2

222()()()()*()

()()()()()()c c o j f u j f t u j Ku j K

t u s t s t h t s u h t u du h u s t u du u t u e rect e e rect e du T T ππππ∞

∞

-∞-∞

∞

----∞

= =- =-

- =

⨯ ⎰⎰⎰

当0t T ≤≤时,

2

2

2

2

2022

22

2()2sin ()T T c c j Kt j Ktu t j Ktu T j f t j Kt T j f t

s t e e du

e e

e t j Kt K T t t e

Kt

πππππππππ---=

=⨯--- =

⎰

当0T t -≤≤时,

2

2

2

2

202222

2()2sin ()T T c c t j Kt j Ktu j Ktu T j f t

j Kt T j f t s t e e du

t e e

e j Kt K T t t e

Kt

πππππππππ+---=

+ =⨯--+ =

⎰

合并和两式：

20sin (1)()()2c j f t t

KT t

t T s t T

rect e KTt T

πππ-= （） 式即为LFM 脉冲信号经匹配滤波器得输出,它是一固定载频c f 的信号。当t T ≤时，包络近似为辛克（sinc ）函数。 0()()(

)()()22t t

S t TSa KTt rect TSa Bt rect T T

ππ== （）