昌平区2019-2020学年第一学期高三期末质量检测数学试题

昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷

（满分150分，考试时间 120分钟）2020.1

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}{}

21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U

（A ）(2,1)- （B ）(0,1) （C ）(0,)+∞ （D ）(2,)-+∞ （2）在复平面内，复数i(i 1)-对应的点位于

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

（3）已知命题p ：x +

∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为

（A ）x ∃∈+

R ，ln 0x ≤ （B ）x +

∀∈R ，ln 0x < （C ）x +

∃∈R ，ln 0x < （D ）x +

∀∈R ，ln 0x ≤

（4）设,,a b c ∈R ，且a b <，则 （A ）ac bc < （B ） 11

a b

> （C ）22a b < （D ）33a b <

（5）已知函数()f x 的图象与函数2x

y =的图象关于x 轴对称，则()=f x

（A ）2x - （B ）2x

- （C ）2log x - （D ）2log x

（6）已知向量(1,0),).k ==-=a b c 若2-a b 与c 共线，则实数k =

（A ）0 （B ）1 （C （D ）3

（7）已知双曲线2

21x y m

-=，则m =

（A ）

14 （B ）1

2

（C ）2 （D ）2

D

C

B

A

11

俯视图

（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A ）13 （B ）23

（C ）1

（D ）2

（9）设,m n 为非零向量，则“λ=m n ，1λ≤-”是“||||||+=-m n m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公

司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则 （A ）最少需要16次调动，有2种可行方案 （B ）最少需要15次调动，有1种可行方案 （C ）最少需要16次调动，有1种可行方案 （D ）最少需要15次调动，有2种可行方案

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （11）在()5

2x -的展开式中，3x 的系数为

．（用数字作答）

（12）各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则

6

3

S S =_______ .

(13) 抛物线2

2y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标

为______ .

（14）在ABC ∆中

,,sin a C B == ,则cos B =_______．

（15）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加

某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. （16）已知函数()sin 2cos f x x x =-.

①()f x 的最大值为________ ；

②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17）（本小题13分）

已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （Ⅱ）记数列1{

}n S 的前n 项和为n T ，若99

100

n T >，求n 的最小值.

(18)（本小题13分）

为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：

（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？ （II ）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运

动达人”.

①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率； ②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动

达人”的人数ξ的分布列和数学期望.

D

C

B

A

P

（19）（本小题14分）

已知函数2

()cos

sin ,2

2

2

x

x

x

f x ωωω=+其中0ω>.

（Ⅰ）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值； （Ⅱ）若函数()f x 在区间π

[0,]2上的最大值为

3

2

，求ω的取值范围.

（20）（本小题14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，

22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.

（Ⅰ）求证：CD PA ⊥；

（Ⅱ）求二面角C PA D --的余弦值；

（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？

若存在，求PM

PC

的值？若不存在，说明理由.

（21）（本小题13分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

，点M 在椭圆C 上，焦点为

12,F F ，圆O 的直径为12F F ．

（Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；

（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆

C 交于,A B 两点．记OAB △ 的面积为S

，证明：S <

（22）（本小题13分）

已知函数2

()3ln f x x x x =-+．

（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为２的切线方程； （II ）证明：()22f x x ≤-；

（III ）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)f x k x >-．