18高考数学异构异模复习第二章函数的概念及其基本性质2.3.2函数的周期性撬题文

2018高考数学异构异模复习考案 第二章 函数的概念及其基本性质

2.3.2 函数的周期性撬题 文

1．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x

＋15

，则f (log 220)＝( )

A ．－1 B.45 C ．1 D ．－45

答案 A

解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，

∴f (x )的周期T ＝4，结合f (－x )＝－f (x )，有f (log 220)＝f (1＋log 210)＝f (log 210－3)＝－f (3－log 210)，

∵3－log 210∈(－1,0)，∴f (log 220)＝－23－log 2

10

－15＝－45－1

5

＝－1.故选A. 2．函数f (x )＝lg |sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C

解析 易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－

x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期

为π，所以函数f (x )＝lg |sin x |是最小正周期为π的偶函数．故选C.

3.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x

－1，则f (2013)＋f (2014)的值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1

答案 D

解析 ∵函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又函数的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，

∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x ＝1对称，∴f (0)＝f (2)，

∴f (2013)＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0)＝21

－1＋20

－1＝1.故选D.

4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a

＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a >b ＝c

B ．b >a ＝c

C ．b >c >a

D ．a >c >b

答案 A

解析 由题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的奇函数，所以f (2)＝f (0)＝0.因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (2)＝0.又f (x )在[0,1)上是增函

数，于是有f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12>f (0)＝f (2)＝f (3)，即a >b ＝c .故选A. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x ，x ≥4，

f x ＋，x <4，

则f (2＋log 23)的值为( ) A.1

24 B.1

12

C.16

D.13

答案 A

解析 ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3

＋log 23)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124.故选A.

6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( ) A ．既是周期函数，又是奇函数 B ．既是周期函数，又是偶函数 C ．不是周期函数，但是奇函数 D ．不是周期函数，但是偶函数 答案 B

解析 因为y ＝f (x )是周期函数，设其周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，两边同时求导，得f ′(x ＋T )(x ＋T )′＝f ′(x )，即f ′(x ＋T )＝f ′(x )，所以导函数为周期函数．因为y ＝

f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，两边同时求导，得f ′(－x )(－x )′＝－f ′(x )，即

－f ′(－x )＝－f ′(x )，所以f ′(－x )＝f ′(x )，即导函数为偶函数，选B.