双曲线的渐近线和离心率问题

第30练 双曲线的渐近线和离心率问题

[题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.

常考题型精析

题型一 双曲线的渐近线问题

例1 (1)(2015·)设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，

过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________.

(2)(2014·)如图，已知双曲线C ：x 2

a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点).

①求双曲线C 的方程；

②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3

2相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF

NF 恒为定值，并求此定值.

点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2

b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.

变式训练1 (2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题

例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a ，b ，e 1>e 2；

②当a >b 时，e 1>e 2；当a

④当a >b 时，e 1e 2.

(2)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双

曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →

＝0，则双曲线的离心率e 为________. 点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝c a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题.

变式训练2 (2014·)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝

1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2

b 2

＝1的左、右焦点分别为F 3、F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝3

2，且F 2F 4＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；

(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.

题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题

例3 (2014·)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率；

(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B

分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，请说明理由.

点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.

变式训练3 (2014·)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足P A ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.

高考题型精练

1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2

＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→

<0，则y 0的取值范围是__________.

2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2

sin 2θtan 2θ＝1

的________相等.(填序号)

①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.

3.已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲

线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为______________.

4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 2

16＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.

5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2

b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双