1.1随机事件和样本空间
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第一章 随机事件及概率
随机试验、样本空间、随机事件 概率的定义及性质 古典概型与几何概型 有关条件概率的计算公式 独立性及贝努里概型
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§1.1 随机事件和样本空间
一、随机事件和样本空间的概念
1、基本事件和样本空间
定义：一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （可重复性） （2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； （明确可知性） （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， （不确定性） 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结 果，就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也 简称为试验．
{(1,1),(1, 2),(1,3), ,(6,6)}
(2) 试验和（1）类似，但观察的目的不相同，其样本点也不相同， 其样本空间可表示为： {2,3, 4, ,12}.
例1.1.3 讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数 解：可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界， 这样，可以把样本空间取为 0,1,2, . 例1.1.4 讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为
2
Ai . ，An， ，是一个完备事件组. 显然,A与A 构成一个完备事件组.
则称A1, A2,
8.事件的运算法则
在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C 为事件，则有
交换律
结合律 分配律
A BB A A A A
A, A B B
A;
B B B B
C A B C, C A B C; C A B C A
（2）A、B发生，而C不发生 （AB C 或AB-C或AB-ABC） （3）三个事件都发生 （ABC）
（4）三个事件中至少一个发生 （A B C 或 A B C） （5）三个事件都不发生 （A B C 或 A B C ）
（6）不多于一个事件发生
（A B C AB C A BC A B C或 AB BC CA）
D={ 三件中至少有一件次品}.这些都是随机事件，而
3件都是正品 为必然事件， 三件中有正品 为不可能事件，
3 . 对于这个随机试验来说，基本事件总数为 C10
三、事件的关系与运算
以下设 A, B, C 等都是同一样本空间 中的事件.
文氏图 ( Venn diagram )
A B
wenku.baidu.com
注：1. A , A A, A A A, A B A, A B B 2.若 A B, 则 A B A. A , A ,, A 类似的“ A , A ,, A 同时发生”称为
1 2 n 1 2 n
的交（或积）记作A A A
1 2
n
A （简记为
例1.1.1 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1,2,3, …,10， 从中任取一球，观察其标号，写出其样本空间.
1,2,3,,10 解：令i={取得球的标号为i}，则，
例1.1.2 写出下列试验的样本空间： （1）同时抛掷红色与白色的骰子各一粒，记录其向上一面 （简称出现）的点数； （2）同时抛掷两粒骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）用有序数组（ i, j）表示红色骰子出现i点，白色骰子出 现j点，则样本空间可表示为：
定义：随机试验的每一个可能的结果, 称为基本事件（样 本点）．一般用 表示． 因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件 也是明确的．则基本事件的全体所组成的集合，称为样本 空间．常用 来表示,即 ．
注：
（1）定义中的每个可能的结果是指每个不能再分或 不必再细分的可能结果. （2）对于一个具体的随机试验，我们可以根据试验 的条件和观察的目的来确定样本空间．
i 1
n
i
i 1
n
A
i
4. 差事件
A 发生而 B 定义1.1.4：“事件 事件称作事件 不发生”，这样一个 A与 B 的差，记为 A B.
A B
A B
如例1.1.7中 A B ={该产品的直径不合格，高度合格} 5．对立事件（逆）
定义1.1.5：若A是一个事件，令 A A 称为事件A的对立事件或逆事件．
i 摸到球的号码为 i, i 1,2,3 则Ｅ的样本空间为 解(1)设
1 , 2 ,3
(2) A 1 , 2 , B 1, 3 , C 3 ,
A与B，B与C,是相容的，A与C互不相容。
(3) A 3 , B , C , ; (4) A B , AB 1 ,A B . 2 2 1 2
A A A A
对立事件与互不相容事件的关系：
A
A
6. 事件的互不相容(互斥)
定义1.1.6：若AB ，则称事件A与事件 B互不相容（互斥）. 即表示互不相容的两事件不会同时发生。
A
B
对立事件一定是互不相容的，但互不相容 事件不一定是对立的． 7.完备事件组
A1，A2， ，An， ，是有限或可列个事件，若其满足: (1)A i Aj ，i,j=1,2, ，
（7）不多于两个事件发生 （ ABC或 A B C AB C A BC A B C A BC AB C AB C ） （8）三个事件中至少两个发生 （9）恰有一个事件发生
AB BC CA
（ AB C ABC） ABC
（10）恰有两个事件发生 （AB C AB C A BC或AB+BC+CA-ABC）
, .
注意：对于一个实际问题或一个随机现象，考虑问题的角度不 同，样本空间也可能选择得不同.
二、随机事件
1 2 6
5
9 3 7 4 0
在随机试验中，有时关心的是带有某些 特征的基本事件是否发生，如在例1.1.1中， 关心的问题是：A={球的标号是否为5}， B={球的标号是否偶数}，C={球的标号是否 <5}． 其中A是基本事件，而B和C是由多个基本事 件所组成的，相对于基本事件，称为复杂事件．
例1.1.10 试验Ｅ：袋中有三个球编号为１,２,３， 从中任意摸出一球，观察其号码，记A=球的号码小于 3 B 球的号码为奇数, C 球的号码为 3 试问： = = 1) E的样本空间为什么? 2) A与B，A与C，B与Ｃ是否互不相容？ 3) A,B,C对立事件是什么？ 4) A与B的和事件，积事件，差事件各是什么？
A B A
C, C ;
德· 摩根律
A B A B; A B A B。
对于n个事件，甚至对于可列个事件，德· 摩根律也 成立。
例1.1.9：设A、B、C是样本空间 的三个随机事件，试将 下列事件用A、B、C表示出来．
（1）A发生，但B、C都不发生（A B C或A-B-C或A- ( B ） C)
2.若 A B 则 A
A
A B
B
A A;
B B; A A B, B A B
例1.1.7 设某种圆柱形产品，若底面直径和高都 合格，则该产品合格.令A={直径不合格}，B={高度 不合格}，则产品合格可以表示为 A B.
类似的可以推广到n个事件： A1 , A2 , , An
A
1. 事件的包含关系
，有 B（若事件A发生必然导 定义1.1.1：若 A 致事件B发生），这时称事件B包含事件A，记作 B A 或 A B ，即A是B的子集．
注：对任何事情 A，有A , A.
A
B
例1.1.6 设某种动物从出生生 活至20岁记为 A 从出生到25记为 B 则 B A.
2. 事件的相等
A B.
定义：若 A B
A B 且 B A 则称事件A与B相等，记作
3、并(和)事件与积（交）事件 定义1.1.2：“事件A、B中至少 有一个发生”,这样的一个事件称作 事件A与B的并（或和）记作 B A (或A+B)．
1. A A, A , A 注：
8
无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验 中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机 事件或简称为事件，习惯上用A、B、C，…来表示．
注：1.从集合论的角度来看，一个随机事件不 过是样本空间的一个子集而已.
2.说某事件A发生当且仅当它所包含的某一个基本事件 出现，可用 A 来表示. 3.基本事件与随机事件是两个不同的概念，基本事件 是一个随机事件，而随机事件不一定是基本事件. 4.必然事件 , 用符号 来表示 不可能事件 用符号 来表示 例1.1.5 一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中 , B 恰有两件正品, C 至少有两件正品 A 恰有一件正品 任取3件则，
A1 , A2 ,, An 中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件 n
Ai . 的并（或和），记作 A1 A2 An 或 Ai 或 i 1
n i 1
定义1.1.3：“事件A与B同时发 生”, 这样的一个事件称作事件A 与B的交（或积）记作 （或AB） A B
A B
随机试验、样本空间、随机事件 概率的定义及性质 古典概型与几何概型 有关条件概率的计算公式 独立性及贝努里概型
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§1.1 随机事件和样本空间
一、随机事件和样本空间的概念
1、基本事件和样本空间
定义：一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （可重复性） （2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； （明确可知性） （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， （不确定性） 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结 果，就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也 简称为试验．
{(1,1),(1, 2),(1,3), ,(6,6)}
(2) 试验和（1）类似，但观察的目的不相同，其样本点也不相同， 其样本空间可表示为： {2,3, 4, ,12}.
例1.1.3 讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数 解：可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界， 这样，可以把样本空间取为 0,1,2, . 例1.1.4 讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为
2
Ai . ，An， ，是一个完备事件组. 显然,A与A 构成一个完备事件组.
则称A1, A2,
8.事件的运算法则
在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C 为事件，则有
交换律
结合律 分配律
A BB A A A A
A, A B B
A;
B B B B
C A B C, C A B C; C A B C A
（2）A、B发生，而C不发生 （AB C 或AB-C或AB-ABC） （3）三个事件都发生 （ABC）
（4）三个事件中至少一个发生 （A B C 或 A B C） （5）三个事件都不发生 （A B C 或 A B C ）
（6）不多于一个事件发生
（A B C AB C A BC A B C或 AB BC CA）
D={ 三件中至少有一件次品}.这些都是随机事件，而
3件都是正品 为必然事件， 三件中有正品 为不可能事件，
3 . 对于这个随机试验来说，基本事件总数为 C10
三、事件的关系与运算
以下设 A, B, C 等都是同一样本空间 中的事件.
文氏图 ( Venn diagram )
A B
wenku.baidu.com
注：1. A , A A, A A A, A B A, A B B 2.若 A B, 则 A B A. A , A ,, A 类似的“ A , A ,, A 同时发生”称为
1 2 n 1 2 n
的交（或积）记作A A A
1 2
n
A （简记为
例1.1.1 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1,2,3, …,10， 从中任取一球，观察其标号，写出其样本空间.
1,2,3,,10 解：令i={取得球的标号为i}，则，
例1.1.2 写出下列试验的样本空间： （1）同时抛掷红色与白色的骰子各一粒，记录其向上一面 （简称出现）的点数； （2）同时抛掷两粒骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）用有序数组（ i, j）表示红色骰子出现i点，白色骰子出 现j点，则样本空间可表示为：
定义：随机试验的每一个可能的结果, 称为基本事件（样 本点）．一般用 表示． 因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件 也是明确的．则基本事件的全体所组成的集合，称为样本 空间．常用 来表示,即 ．
注：
（1）定义中的每个可能的结果是指每个不能再分或 不必再细分的可能结果. （2）对于一个具体的随机试验，我们可以根据试验 的条件和观察的目的来确定样本空间．
i 1
n
i
i 1
n
A
i
4. 差事件
A 发生而 B 定义1.1.4：“事件 事件称作事件 不发生”，这样一个 A与 B 的差，记为 A B.
A B
A B
如例1.1.7中 A B ={该产品的直径不合格，高度合格} 5．对立事件（逆）
定义1.1.5：若A是一个事件，令 A A 称为事件A的对立事件或逆事件．
i 摸到球的号码为 i, i 1,2,3 则Ｅ的样本空间为 解(1)设
1 , 2 ,3
(2) A 1 , 2 , B 1, 3 , C 3 ,
A与B，B与C,是相容的，A与C互不相容。
(3) A 3 , B , C , ; (4) A B , AB 1 ,A B . 2 2 1 2
A A A A
对立事件与互不相容事件的关系：
A
A
6. 事件的互不相容(互斥)
定义1.1.6：若AB ，则称事件A与事件 B互不相容（互斥）. 即表示互不相容的两事件不会同时发生。
A
B
对立事件一定是互不相容的，但互不相容 事件不一定是对立的． 7.完备事件组
A1，A2， ，An， ，是有限或可列个事件，若其满足: (1)A i Aj ，i,j=1,2, ，
（7）不多于两个事件发生 （ ABC或 A B C AB C A BC A B C A BC AB C AB C ） （8）三个事件中至少两个发生 （9）恰有一个事件发生
AB BC CA
（ AB C ABC） ABC
（10）恰有两个事件发生 （AB C AB C A BC或AB+BC+CA-ABC）
, .
注意：对于一个实际问题或一个随机现象，考虑问题的角度不 同，样本空间也可能选择得不同.
二、随机事件
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9 3 7 4 0
在随机试验中，有时关心的是带有某些 特征的基本事件是否发生，如在例1.1.1中， 关心的问题是：A={球的标号是否为5}， B={球的标号是否偶数}，C={球的标号是否 <5}． 其中A是基本事件，而B和C是由多个基本事 件所组成的，相对于基本事件，称为复杂事件．
例1.1.10 试验Ｅ：袋中有三个球编号为１,２,３， 从中任意摸出一球，观察其号码，记A=球的号码小于 3 B 球的号码为奇数, C 球的号码为 3 试问： = = 1) E的样本空间为什么? 2) A与B，A与C，B与Ｃ是否互不相容？ 3) A,B,C对立事件是什么？ 4) A与B的和事件，积事件，差事件各是什么？
A B A
C, C ;
德· 摩根律
A B A B; A B A B。
对于n个事件，甚至对于可列个事件，德· 摩根律也 成立。
例1.1.9：设A、B、C是样本空间 的三个随机事件，试将 下列事件用A、B、C表示出来．
（1）A发生，但B、C都不发生（A B C或A-B-C或A- ( B ） C)
2.若 A B 则 A
A
A B
B
A A;
B B; A A B, B A B
例1.1.7 设某种圆柱形产品，若底面直径和高都 合格，则该产品合格.令A={直径不合格}，B={高度 不合格}，则产品合格可以表示为 A B.
类似的可以推广到n个事件： A1 , A2 , , An
A
1. 事件的包含关系
，有 B（若事件A发生必然导 定义1.1.1：若 A 致事件B发生），这时称事件B包含事件A，记作 B A 或 A B ，即A是B的子集．
注：对任何事情 A，有A , A.
A
B
例1.1.6 设某种动物从出生生 活至20岁记为 A 从出生到25记为 B 则 B A.
2. 事件的相等
A B.
定义：若 A B
A B 且 B A 则称事件A与B相等，记作
3、并(和)事件与积（交）事件 定义1.1.2：“事件A、B中至少 有一个发生”,这样的一个事件称作 事件A与B的并（或和）记作 B A (或A+B)．
1. A A, A , A 注：
8
无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验 中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机 事件或简称为事件，习惯上用A、B、C，…来表示．
注：1.从集合论的角度来看，一个随机事件不 过是样本空间的一个子集而已.
2.说某事件A发生当且仅当它所包含的某一个基本事件 出现，可用 A 来表示. 3.基本事件与随机事件是两个不同的概念，基本事件 是一个随机事件，而随机事件不一定是基本事件. 4.必然事件 , 用符号 来表示 不可能事件 用符号 来表示 例1.1.5 一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中 , B 恰有两件正品, C 至少有两件正品 A 恰有一件正品 任取3件则，
A1 , A2 ,, An 中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件 n
Ai . 的并（或和），记作 A1 A2 An 或 Ai 或 i 1
n i 1
定义1.1.3：“事件A与B同时发 生”, 这样的一个事件称作事件A 与B的交（或积）记作 （或AB） A B
A B