坐标中面积问题

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坐标系中的面积问题总结

坐标系中的面积问题总结在二维平面几何中，坐标系是一个非常常见且重要的概念，我们经常会遇到各种与坐标系相关的面积问题。

在这篇文档中，我们将总结几种常见的坐标系中的面积问题及其解决方法。

1. 矩形面积问题矩形是最基本的几何图形之一，在坐标系中，矩形的面积可以通过矩形的长和宽来计算。

假设一个矩形的对角线端点为(x1,y1)和(x2,y2)，则矩形的面积S可以用以下公式表示：$S = |x_2 - x_1| \\times |y_2 - y_1|$2. 三角形面积问题三角形是另一种常见的几何图形，在坐标系中，我们可以利用三角形的顶点坐标来计算其面积。

假设三角形的三个顶点分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)，则可以使用以下公式计算三角形的面积：$S = \\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$3. 圆形面积问题圆形是一个常见的曲线图形，在坐标系中，我们可以通过圆心和半径来计算圆的面积。

假设圆的圆心坐标为(x0,y0)，半径为r，则圆的面积S可以使用以下公式计算：$S = \\pi r^2$4. 不规则图形的面积问题对于不规则图形，也可以利用坐标系中的点来计算其面积。

一种常见的方法是利用格点法，即将不规则图形分割为小矩形或小三角形，然后计算这些小形状的面积之和。

在逼近不规则图形的过程中，分割的小形状越小，计算得到的面积越精确。

通过以上总结，我们可以看到在坐标系中解决面积问题的方法是多样的，不同类型的图形有不同的计算公式，我们可以根据具体情况选择合适的方法来计算面积。

希望这篇文档能帮助您更好地理解坐标系中的面积问题。

巧用坐标求图形的面积知识讲解

∴S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA
＝BD·DE－ 1 DC·DB－1 CE·AE－1 AF·BF
2
2
2
＝12－1.5－1.5－4＝5.
方法总结
本题主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积．已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高；方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差；方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．
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变式方：法已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)， C(3，2)
，D(1，3)，画出图形，求四边形 ABCD的面积．
当堂练习
１．已知A(1,4), B(-4,0),C(2,0). △ABC的面积是＿12＿＿．
y A (1,4)
2.若BC的坐标不变, △ABC的面积为6,点A
B(-4,0) O C(2,0) x y
A
的横坐标为-1,那么
(-4,0) B
点A的坐标为(-1,2)或(-1,-2) ．
(2,0)
O
Cx
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点 Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点 Q共有( B ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解析】如图所示，当以OP为腰时，分别以O、P为圆心OP为半径画弧，与y轴有三个交点Q2，Q4，Q3，当以OP为底时， OP的垂直平分线与y轴有一个交点Q1.
巧用坐标求图形的面积
问题：你能求出△ABC的面积吗？ y 解：过点A作AD⊥x轴于点D.

坐标系中的面积问题

坐标系中的面积问题在坐标系中，我们经常遇到计算面积的问题。

无论是计算平面图形的面积，还是计算曲线下方的面积，都需要运用基本的数学知识和技巧。

本文将介绍在坐标系中常见的面积问题，以及解决这些问题的方法。

一、计算矩形的面积在坐标系中，一个矩形可以由两条垂直于坐标轴的直线确定。

如果这两条直线分别与x轴和y轴相交于四个点(x1, 0), (x2, 0), (0, y1), (0, y2)，那么这个矩形的面积可以通过计算长和宽的乘积得到。

即面积为S=(x2-x1)*(y2-y1)。

二、计算三角形的面积对于一个三角形，我们可以通过不同的方法来计算其面积，其中一个常见的方法是使用海伦公式。

假设三角形的三个顶点坐标是(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，则可以计算三角形的半周长p，p=(a+b+c)/2，其中a、b、c分别是三条边的长度，然后计算三角形的面积可以使用海伦公式：S=sqrt(p(p-a)(p-b)*(p-c))。

三、计算图形的面积在坐标系中，我们经常会遇到各种不规则图形，这时候计算面积可能需要一些更复杂的方法。

一种常见的方法是使用定积分。

如果我们要计算曲线y=f(x)和x轴所围成的图形的面积，可以通过计算定积分∫f(x)dx来得到。

类似地，对于曲线y=g(x)和直线x=a, x=b, x轴所围成的图形的面积，可以通过计算定积分∫(g(x)-a)dx 和∫(b-g(x))dx来得到两部分面积，然后相加即可得到总面积。

四、结语通过以上介绍，我们了解了在坐标系中计算面积的一些基本方法。

对于简单的图形，我们可以直接计算长方形、三角形或者其他几何图形的面积；对于复杂的图形，我们可以运用数学工具如定积分来求解。

在实际问题中，熟练掌握这些面积计算方法能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。

希望本文的介绍对您有所帮助。

人教版七下数学第七章巧用坐标解图形面积问题的四种常见题型

4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点分别是 O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)．求四边形 OABC 的面积．
【点拨】本题的解题技巧在于把不规则的四边形 OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法.
7．已知 A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)． (1)若点 C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点 C 的坐标，并求
三角形 ABC 的面积；
解：因为点 C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，所以点 C 的坐标为(－4，4)．又易知 AB＝6，所以 S 三角形 ABC＝12×6×4＝12.
解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点B作BE⊥AD，垂足为点E.
观察上图可知 D(－4，0)，E(－4，8)，所以 BE＝－4－(－12)＝ 8，AE＝10－8＝2，CD＝－4－(－14)＝10. 所以 S 四边形 OABC＝S 三角形 AOD＋S 三角形 ABE＋S 梯形 DEBC ＝12OD·AD＋12AE·BE＋12(BE＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8 ＝20＋8＋72＝100.
人教版七年级下
第七章平面直角坐标系
阶段题型专训巧用坐标解图形面积问题的四种常见
题型
提示：点击进入习题
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5A 6 －2.4或2.4 7 见习题
答案显示
1．如图，已知 A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形 ABC 的面积．
解：因为 C 点坐标为(－4，4)，所以三角形 ABC 的 AB 边上的高为 4. 又由题易知 AB＝6，所以 S 三角形 ABC＝12×6×4＝12.

人教版七年级数学下册《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计

人教版七年级第二册第七章《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计一、教学内容：平面直角坐标系中面积的计算问题。

二、设计理念：课堂中应该充分发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识。

七年级学生的思维比较活跃，具有了一定的自主探究、分析问题和解决问题的能力，应培养学生的逻辑分析能力和准确语言表达能力，让学生通过操作、探究、讨论、总结得到平面直角坐标系中面积的计算方法。

教学中，教师是教学情景的设计着，是学生学习的引导者和促进者，应培养学生自主学习和探究学习的能力，培养学生良好的学习习惯和品质，培养学生的积极性、主动性、独立性和创造性。

三、教学目标：1.进一步认识平面直角坐标系,了解点、图形与坐标的对应关系，能求出给定坐标的点构成的图形的面积；2.通过对数学图形规律探究的过程中培养学生的数学思维；四、学情分析：本节课是一节复习课，在此之前，学生已经学习了平面直角坐标系的有关概念，了解了点的坐标意义以及学习了坐标的平移与应用，并且会计算三角形、正方形、长方形等简单图形的面积，本节课通过教师的引导，学生独立思考，将前面所学习的这些知识综合起来，逐步展开知识点，由简到难，让学生学会利用平面直角坐标系求解图形面积，进一步让学生体会数形结合、转化数学思想。

五、重、难点：学习重点：建立平面直角坐标系求解图形面积以及根据图形面积求点的坐标；学习难点：运用割补法求解平面直角坐标系中图形面积；六、教学课时：1课时七、教学准备：多媒体，PPT ，学案，三角板；八、教学过程：1.知识回顾：（1）平面直角坐标系中坐标点与线段之间的关系：①A （1x ,y ）,B(2x ,y ) 纵坐标相等的两个点所形成的线段长度为： ②A （x ,1y ）,B( x ,2y ) 横坐标相等的两个点所形成的线段长度为：例1：1.若A(3,2)，B(-1,2)，则线段AB=2.若A(-2,-3)，B(-2,-1),则线段AB=【设计意图：回顾平面直角坐标系中面积的计算问题中相关知识，结合坐标图形让学生更加直观明白平面直角坐标系中点坐标与线段长度之间联系】（2）平面直角坐标系中坐标点到坐标轴距离：①点A （x,y ）到X 轴距离表示为：②点A （x,y ）到Y 轴距离表示为：例2：若A(-3,2)，则到X 轴的距离为：到Y 轴的距离为：【设计意图：通过复习点到坐标轴的距离，进而为后面点到直线距离的理解铺垫，同时也让学生明白平面直角坐标中三角形的高是什么，高为多少】（3）思考：平面直角坐标系内的点与图形面积之间有何联系？【设计意图：进一步认识平面直角坐标系中坐标点、线段、图形面积之间对应关系，为在具体问题中应该如何规范解题提供依据】2.课堂探究：例3：在平面直角坐标系中，原点O(0,0),已知点A(0,3),B(4,0)，求三角形OAB的面积；【设计意图：通过例题，引导学生利用数形结合思想解决此类问题，让学生感受求解三角形面积需要找到三角形的“底”和“高”对应线段，应用“底×高÷2”直接计算面积，同时规范学生作答，板书时紧扣思考3中平面直角坐标系内的点与图形面积联系】变式1：在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(4,0)，C(-2,0),求三角形CAB的面积；【设计意图：通过变式，让学生经历求平面直角直角坐标系中有关三角形面积问题，对此类问题的解决方案有一个系统的方法】练习1：在平面直角坐标系中，已知点A(3,4),B(4,0)，C(-2,4),求三角形CAB的面积；【设计意图：由图形的差异，让学生明白三角形的底不一定在“下面”，引导学生去找钝角三角形的高，使学生更加熟练的掌握由点到线段再到三角形面积的求解过程】例4：已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,1)，求△ABC面积？思考1：此时△ABC的面积可以采用“底×高÷2”吗？为什么？思考2：那如何计算△ABC的面积？【设计意图：让学生明白平面直角坐标系内的三角形不是所有面积都可以用“底×高÷2”，让学生明白为什么此类三角形不能用直接法，进而让学生学会判断哪类图形不可以直接法求三角形面积，同时引出间接法“割补法”，将三角形问题转化为四边形问题进行解决。

人教版七年级数学下册巧用坐标求涉图形的面积问题的五种方法

解：设 P 点的坐标为(t，0)， ∵S △APC＝12S△PBC，∴12×4×|t＋2|＝12×12×4×|t－4|， ∴t－4＝±2(t＋2)， ∴t＝－8 或 t＝0， ∴P 点的坐标为(－8，0)或(0，0)．
5．如图，四边形 OABC 各个顶点的坐标分别是 O（0，0），A（2， 0），B（4，2），C（2，3），过点 C 与 x 轴平行的直线 EF 与过点 B 与 y 轴平行的直线 EH 交于点 E.
4．如图，已知 A（－2，0），B（4，0），C（2，4），（1）求△ABC 的面积；
解：过 C 作 CD⊥AB 于 D，则 CD＝4. 又易知 AB＝4－(－2)＝6， ∴S（2）设 P 为 x 轴上一点，若 S△APC＝12S△PBC，求 P 的坐标．
3．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点分别是 O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)．求四边形 OABC 的面积．
【点拨】本题的解题技巧在于把不规则的四边形 OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法.
人教版七年级下
第七章平面直角坐标系
阶段核心方法专训巧用坐标求涉图形的面积问题的五种
方法
1．如图，已知 A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形 ABC 的面积．
解：因为 C 点的坐标为(－4，4)，所以△ABC 的 AB 边上的高为 4. 因为点 A，B 的坐标分别为(－2，0)，(4，0)，所以 AB＝6. 所以 S△ABC＝12×6×4＝12.
（2）在线段 EH 上是否存在点 P，使得四边形 OAPC 的面积为 7？若不存在，说明理由；若存在，求点 P 的坐标．

坐标系中的面积问题(转化法)(通用版)(含答案)

C（0，4），若点P是x轴上一动点，且，则点P的坐标为( )
A.（1，0）或（5，0）B.（2，0）或（4，0）
C.（0，1）或（0，5）D.（0，2）或（0，4）
答案：B
解题思路：∵A（0，6），B（3，0），
∴直线AB：y=-2x+6．
①如图，过点C作 ∥AB，交x轴于点，
则直线：y=-2x+4，
易知直线的解析式为，
联立直线：和反比例函数：，
，解得，
∵点在第三象限，
∴点．
∴点P的坐标为．
试题难度：三颗星知识点：平行线转化求面积
7.函数y=x的图象与函数的图象在第一象限内交于点B，点C是函数的图象上一动点，且点C的横坐标为4．若点P是x轴上的动点，且满足，则点P的坐标是( )
A.（-4，1）B.（-8，1）
C.（-4，1）或（8，1）D.（-8，1）或（12，1）
答案：B
解题思路：如图，先作出直线y=1，过点C作 ∥AB，与直线y=1交于第一象限，不符合题意；再在直线AB下方作 ∥AB，与直线y=1交于点P．
由，得B（0，2），A（4，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，易证△AOB≌△CDA，
∴ ．
②另一种情况：如图，在直线AB上方作 ∥AB，与x轴交于点，由于AB向下平移2个单位到，则AB向上平移2个单位到，
故：y=-2x+8，
∴ ．
综上，答案选B．
试题难度：三颗星知识点：平行线转化求面积
2.如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点M是OB的中点，点P是直线AM上一动点，若，则点P的坐标为( )
解题思路：容易求得反比例函数为，点A（2，1），直线OB的解析式为．

初二数学平面直角坐标系面积问题

初二数学平面直角坐标系面积问题一、概述在初中数学学习中，平面直角坐标系是一个重要的概念。

在这个坐标系中，我们可以通过两个数值来确定平面上的一个点的位置，进而计算出所需图形的面积。

本文将从初二数学的角度出发，探讨平面直角坐标系下的面积问题，并为大家解析面积问题的解题思路和方法。

希望能够对同学们的学习有所帮助。

二、平面直角坐标系下的基本概念1. 坐标系平面直角坐标系由两条相互垂直的直线，它们被称为坐标轴，通常用x 和y来表示。

这两条坐标轴把平面分成了四个部分，它们分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

2. 点的坐标在平面直角坐标系中，我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点P 的坐标，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标。

3. 面积的计算在平面直角坐标系中，我们可以通过连接坐标轴上的点和直线，来确定一个图形的面积。

面积的计算方法有很多种，例如利用基本几何图形的面积公式进行计算，或者利用积分的方法进行计算。

三、常见的面积计算题型1. 长方形的面积计算我们来看一个简单的例子。

如果给出了一个长方形的两个顶点的坐标，我们要计算这个长方形的面积该怎么做呢？解题思路：（1）首先计算长方形的边长，可以利用坐标点之间的距离公式进行计算。

（2）根据长方形的面积公式S=长×宽，计算出长方形的面积。

2. 三角形的面积计算另外一个常见的题型是给出三角形的三个顶点的坐标，要求计算三角形的面积。

解题思路：（1）利用三角形的面积公式S=（1/2）×底边长度×高，计算出三角形的面积。

（2）可以利用向量运算的方法进行计算，例如计算三角形的两条边的向量，然后利用向量叉乘的方法得到三角形的面积。

3. 多边形的面积计算对于给出多边形的各个顶点的坐标，要求计算多边形的面积这样的题型，我们可以采用分割成若干个三角形，再分别计算每个三角形的面积，最后将各个三角形的面积相加来得到多边形的面积。

(完整版)平面直角坐标系中的面积问题

平面直角坐标系中的面积问题
陈玲萍
问题1 已知平面直角坐标系中，点A（1，-2）， B（-4，-2），C（1,3）.
则①线段AB与x轴的位置关系平行，线段 AB的长度为 5 ； ②线段AC与y轴的位置关系平行，线段 AC的长度为 5 。
平行x轴的直线上的AB两点间的距离为：AB= xA xB 平行y轴的直线上的AC两点间的距离为：AC= yA yC
AD
44 2
8
（2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
如图，过点C做CD⊥AB
∵A（0,5），B（0,3），C（3,1）
∴CD=3，AB=2
∴
SABC
1 ABCD 1 23 3
2
2
小结
平面直角坐标系中，求三角形的面积，关键在于找到平行x轴或平行y轴的线段作为规则图形的底和高。
F
∴BE=3,CF=3
∴ SABC SABD SACD
1 AD• BE 1 AD• CF
E
2
2
1 33 1 33
2
2
9
F
E
补
补
割
问题4
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(3，4)， C(0，3),计算这个四边形的面积。
方法总结
割
割
割
补
补
问题2
• 求下列三角形的面积： • （1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； • （2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
（1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）；由图，过点A作AD⊥BC
∵A（1,4），B（0,0），C（4,0）
∴AD=4，BC=4

坐标中求面积的简单问题

练习1：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2，3)，B(4，0)，C(-2，0)．求△ABC的面积．
例2：如图，三角形AOB中，A,B两点的坐标分别为A(2,4),B(6,2),求三角形AOB的面积.
解题策略2 当三角形的边都不与轴平行或共线，用割补法求三角形的面积
练习2：在平面直角坐标系中，点O为原点，已知A(-3,4)，B(-1,2)，求三角形OAB的面积.
坐标方法的简单应用
——求平面图形的面积
如何求数轴上线段的长度
ab
如何求坐标系中特殊线段的长度
例1 已知A(1,4),B(-y
A(1,4)
B (-4,0) O
C
x
(2,0)
S
1 BC 2
yA
1 2 (4) 4 12
2
解题策略1
当三角形有一边在轴上或平行于轴，则以这边为底，先求高，再求面积.
例3：如图，长方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(2,3),B(5,3), C(5,1),D(2,1). 求长方形ABCD的面积.
练习3：长方形ABCD四个顶点的坐标分别是, A(2，2 2)，B(5，2 2)，C(5，2), D(2，2). 求长方形ABCD的面积.
1.已知点O（0,0）， B(1,2),点A在坐标轴上，且三角形 OAB的面积为2，求满足条件的点A的坐标.

坐标系中的面积问题和规律问题

坐标系中的面积问题和规律问题
在数学领域中，坐标系常常被用来解决各种面积和规律问题。

从二维平面到三维空间，坐标系都能提供直观的解决方案。

二维平面中的面积问题
在二维平面中，我们经常会遇到计算各种形状的面积的问题。

通过坐标系可以轻松地解决这些问题。

矩形、三角形的面积计算
对于矩形和三角形这样的基本形状，我们可以利用坐标系中的直角坐标轴来计算它们的面积。

以矩形为例，如果我们知道矩形的对角坐标，可以通过计算两条边的长度相乘得到矩形的面积。

不规则形状的面积计算
对于不规则形状，我们可以通过将其分割为多个规则形状（如矩形、三角形）组合来计算整体的面积。

这个过程中，我们可以利用坐标系中的坐标点和线段来进行分割和计算。

规律问题
除了面积计算，坐标系还可以帮助我们解决各种规律问题。

图形的对称性
通过坐标系，我们可以轻松地判断一个图形是否具有对称性。

如果一个图形关于某个坐标轴或某个点对称，那么可以利用坐标系中的数值来验证这一规律。

图形的变换
利用坐标系，我们可以实现图形的平移、旋转、缩放等操作。

这些变换不仅可以帮助我们实现图形的规律性，还可以提供直观的方式展示这些规律。

结语
坐标系不仅是解决面积和规律问题的重要工具，更是数学研究和实践中不可或缺的基础知识。

通过理解和运用坐标系，我们可以更好地解决各种数学问题，发现其中的规律，并且应用于实际生活和工作中。

希望本文能够帮助读者更好地理解坐标系中的面积问题和规律问题。

平面直角坐标系中的面积

(建议用时45分钟)基础巩固1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()A．2B．4C．8 D．6B解析：由图可知A(0,2)，B(－1,0)，C(3,0)，∴OA＝2，BC＝3－(－1)＝4．∴S△ABC ＝12BC·OA＝12×4×2＝4．故选B．2．如图，直角坐标系中四边形的面积是()A．4B．5.5C．4.5 D．5C解析：过A点作x轴的垂线，垂足为E．直角坐标系中四边形的面积为：1×1÷2＋1×2÷2＋(1＋2)×2÷2＝0.5＋1＋3＝4.5．故选C．3．如图，平行四边形ABCD的面积为_____________．9 解析：由图可知，平行四边形ABCD 的底为3，高为3，∴ S 平行四边形ABCD ＝3×3＝9．故答案为9．4．如图，在三角形AOB 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,4)和(6,2)，求三角形AOB 的面积．答案：10解析：如图，过A 作水平线l 交y 轴于点E ，过B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C ，交x 轴于点D ．则S 矩形ECDO ＝6×4＝24， S Rt △AEO ＝12×4×2＝4， S Rt △ABC ＝12×2×4＝4， S Rt △OBD ＝12×6×2＝6，∴ S △OAB ＝S 矩形ECDO －S Rt △ABC －S Rt △AEO －S Rt △OBD ＝10．∴ 三角形AOB 的面积是10．5．如图，将△ABC 沿x 轴正方向平移2个单位长度，再沿y 轴负方向平移1个单位长度得到△EFG ．(1)画出△EFG ，并写出△EFG 的三个顶点坐标； (2)求△EFG 的面积．答案：(1)见解析 (2)9解析：(1)图中△EFG 即为所求，E (3,1)，F (0，－2)，G (5，－3)． (2)过点E 作水平线l 1交y 轴于点Q ，过点G 作水平线l 2交y 轴于点R ，过点G 作l 3∥y 轴交l 1于点P ．∴ S △EFG ＝S 矩形PQRG －S △EFQ －S △FRG －S △GPE ＝4×5－12×3×3－12×5×1－12×2×4＝9．能力提升6．如图在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A (2,3)，B (5,0)，C (4,1)，则△AOC 的面积是( )A．5B．10C．75D．15A解析：过点A作AD垂直于x轴，垂足为D，则D(2,0)．过点C作CE 垂直于x轴，垂足为E，则E(4,0)．∵O(0,0)，A(2,3)，C(4,1)，B(5,0)，∴AD＝3，OB＝5，CE＝1．∴△ABO的面积＝12×OB×AD＝12×5×3＝152，△OCB的面积＝12·OB·CE＝12×5×1＝5 2．∵△AOC的面积＝△ABO的面积－△OCB的面积，∴△AOC的面积＝15 2－52＝5．故选A．7．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答下面的问题．(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？(3)求多边形ABCDEF的面积．答案：(1)见解析(2)见解析(3)27解析：(1)A(－2,0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4,0)，E(3,3)，F(0,3)．(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．(3)S 多边形ABCDEF ＝S 三角形ABF ＋S 矩形BCEF ＋S 三角形CDE＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A (0,1)，B (5,1)，C (7,3)，D (2,5)．(1)填空：四边形ABCD 内(边界点除外)一共有________个整点(即横坐标和纵坐标都是整数的点)；(2)求四边形ABCD 的面积．答案：(1)13 (2)17解析：(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点B 作BG ⊥CF 于点G ，如图所示．∵ S 四边形ABCD ＝S 三角形ADE ＋S 三角形DFC ＋S 四边形BEFG ＋S 三角形BCG ，S 三角形ADE ＝12×2×4＝4，S 三角形DFC ＝12×2×5＝5，S四边形BEFG＝2×3＝6，S三角形＝BCG 12×2×2＝2，∴S四边形ABCD＝4＋5＋6＋2＝17．拓展训练9．平面直角坐标系中，O为原点，点A(0,2)，B(－2,0)，C(4,0)．(1)如图1，则△ABC的面积为________．(2)如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求△ACD的面积；②点P(m,3)是一动点，若△P AO的面积等于△CAO的面积，请直接写出点P 的坐标．答案：(1)6(2)①9②P(－4,3)或(4,3)解析：(2)①∵点B(－2,0)向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，∴D(5,4)．连接OD．S△ACD＝S△AOD＋S△COD－S△AOC＝12×2×5＋12×4×4－12×2×4＝9．②∵△P AO的面积等于△CAO的面积，∴12×2×||m＝12×2×4．解得m＝±4．∴ P (－4,3)或(4,3)．10．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A (0,10)，B (15,0)，AC ∥x 轴，点D 是AO 上的一点，点P 以每秒2个单位长度的速度在射线AC 上运动，连接DP ，DB ，设点P 的运动的时间为t 秒．(1)求△OBP 的面积；(2)当S △OAP ＝12S 四边形OBP A 时，求点P 运动的时间是多少．答案：(1)75 (2)152 秒解析：(1)∵ AC ∥x 轴，点P 在射线AC 上运动，且A 点纵坐标为10， ∴ y P ＝10．∵ B (15,0)，∴ OB ＝15．∴ S △OBP ＝12OB ·y P ＝12×15×10＝75．(2)根据题意可知：四边形OBP A 为直角梯形，OA ＝10，AP ＝2t ， ∴ S △OAP ＝12OA ·AP ＝12×10×2t ＝10t ，S 梯形OBP A ＝12(AP ＋OB )·OA ＝12×(2t ＋15)×10＝10t ＋75． ∵ S △OAP ＝12S 梯形OBP A ， ∴ 10t ＝12(10t ＋75)．解得t ＝152．故点P 运动的时间为 152 秒．。

2024年北师大版八年级上册数学期末复习专题六坐标系中的图形面积

面积的一半，点 P 的坐标为(0， )或(0，－ ).
的距离为5，

所以△ ABC 的面积＝ ×4×5＝10.

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专题
(2)若点 P (0， m )在 y 轴上，试用含 m 的代数式表示△
ABP 的面积；

【解】当 m ＞0时，△ ABP 的面积＝ ×4 m ＝2 m ；

当 m ＜0时，△ ABP 的面积＝ ×4×(－ m )＝－2 m .
面积” S .
【解】三点的“水平底” a ＝1－(－3)＝4，“铅垂
高” h ＝5－1＝4.所以 “矩面积” S ＝ ah ＝4×4＝16.
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专题
(2)若点 A (1，2)， B (－3，1)， P (0， t )的“矩面积” S 为
12，求点 P 的坐标.
【解】三点的“水平底” a ＝1－(－3)＝4，“矩面
积” S 为12.当1≤ t ≤2时， h ＝2－1＝1，则“矩面
积” S ＝1×4＝4≠12，不合题意；当 t ＞2时， h ＝ t －
1，则4( t －1)＝12，解得 t ＝4，所以点 P 的坐标为(0，
4).当 t ＜1时， h ＝2－ t ，则4(2－ t )＝12，解得 t ＝
－1，所以点 P 的坐标为(0，－1).
坐标差的最大值，“铅垂高” h ：任意两点纵坐标差的最
大值，则“矩面积” S ＝ ah .
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专题
例如：三点坐标分别为 A (1，2)， B (－3，1)， C (2，－

(完整)平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)

例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。

现举例说明如下。

一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），(0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y 轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离,也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解。

解：因为B（0,3),C（0，—1）,所以BC=3—（—1）=4。

因为A（-3，0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4,5），C（-1，2）,求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长,进而可求得三角形ABC的面积.解:因为A,B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（—1）=5，所以=。

三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1）,B（1，3），C（2，—3），你能求出三角形ABC的面积吗?分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法。

根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形)的上下底(长)与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行。

这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形)内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积。

解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线,与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（—3，—1），B（1，3）,C(2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5。

专题05平面直角坐标系中求图形面积(解析版)

专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。

8年级数学专题10 一次函数中动点坐标与面积之间的问题

【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
将点和点的坐标代入，得
，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，
∴2a-1=2，
解得；
（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x= ，
∴C点坐标为，
∵P点在直线上，
∴ ，
∴ ，
当时，，
当时， .
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.
5.已知A( ， )，B( ， )，点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D(0，1)，过点B作于F，连接BC，求的度数及的面积；
（3）若点G(G不与C重合)是动直线CD上一点，且，试探究与之间满足的等量关系，并加以证明．
3.如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2；
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式；
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积．
专题10一次函数中动点坐标与面积之间的问题
【专题说明】
此类问题两个难点：
一、根据已知直线的解析式表示动点坐标；
二、用动点及已知点的坐标来表示所需线段的长度；
三、根据动点所处不同位置进行分类讨论．
另外，需要注意自变量取值范围．
1.已知四条直线，，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．

求平面直角坐标系中三角形的面积

求平面直角坐标系中三角形的面积一、一边平行于坐标轴或与坐标轴重合的三角形此类问题的求解，只需确定此边上的高即可.例1 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（-4，0），（0，4），（0，-1），求△ABC的面积.分析：根据三个顶点的坐标可以看出三角形ABC的边BC在y轴上，且BC边上的高就是点A的横坐标的绝对值，由此利用三角形的面积公式可直接求解.解：由点B，C的坐标可得BC=5，点A到BC边的距离就是点A到y轴的距离，所以S△ABC=12×BC×AO=12×5×4=10.温馨提示：当两点在平行于x轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.二、没有边与坐标轴平行或重合的三角形此类问题的求解一般是要通过转化，使之成为比较规则的图形.例2 如图2，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（-3，-1），C（3，3），D（0，1），三角形ABC的边BC过点D，求△ABC的面积.分析：通过画图可以发现△ABC的每一条边都不与坐标轴重合，也不与坐标轴平行，因此，以△ABC的任意一边为底边都不容易求△ABC的面积.为了方便求解，可通过补形的方法，使之成为比较规则又易于求解的图形，从而利用相应的图形面积公式求解.解：方法一：将△ABC补成如图3所示的长方形GEFB或梯形BCEG.S△ABC=S长方形GEFB-S△AEC-S△BFC-S△BAG=BG·BF-12AE·EC-12CF·BF-12AG·BG=5×6-12×3×1-12×4×6-12×3×5=30-32-12-152=9.图3 图4方法二：如图4，分割成两个三角形，根据铅垂线与水平线求三角形的面积.S△ABC= S△ABD+ S△ACD=12AD·BE+12AD·CF=12×3×3+12×3×3=92+92=9.牛刀小试：如图5，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（-3，2），求△ABC的面积.图5答案：如图6，过点C作CD⊥x轴于点D，则S△A BC=S梯形O BC D+S△O A B-S△A C D=12×（2+4）×3+12×2×4-12×5×2=8.图6。