第三章应变分析
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《弹塑性力学》第三章 应变分析
而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。
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§3-2 应变张量和转动张量
以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张
量表示了形变和刚体转动。
x2
R
dx2=1
P
Q
dx1=1
x1
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§3-2 应变张量和转动张量
x2 R
此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。
2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
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作业：
3. 假定体积不可压缩，位移 u1(x1,x2) 与
u2(x1,x2) 很小， u3=0。在一定区域内已知
u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c为 常数，且12=0，求 u2(x1,x2)。
1 2
eijkijek
为转动张量的对偶矢量。
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§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
11 12 13 11 212 213
21
22
23
2
21
22
2
23
31 32 33 231 232 33
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§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
于为一由个，纯沿其刚大x体3小轴转方动3向: 可的见转，动矢12=量-231e，3，正方好向相当e3
3
1 2
(12
21 )
1 2
(e12312
e213 21 )
第三章应变理论课件
Venant）1797年生于法国，
1886年逝世。1825年毕业于
巴黎桥梁公路学校，后从事
工程设计工作，1837年回该
校任教，1868年当选为法国
科学院院士。在弹性力学、
塑性力学、流体力学等方面
做出了贡献。他的力作用的
局部思想被称为“圣维南原 理”。
圣维南
（A.J.Saint-Venant）
§3-5 变形协调方程
§3-3 转动张量
如图4设过点 从物体中任意取出
一微元线段 。若令点 的坐标
为
，则点 的坐标为
变形后， 变成 的位移为
。令点 的位移为
于是
图4
, 则点
§3-3 转动张量
§3-3 转动张量
其中
若令
则
表示位移矢量 的旋度，
则分别表示物体
内微元体绕相应的坐标轴的旋转分量，而
则代
表微元体的刚性转角。
§3-3 转动张量
应变协调方程的物理意义： ➢ 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满
足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连 续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。 ➢ 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一 定的关系。 注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！
例题
例1. 设物体变形时产生的应变分量为
在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 线段 的正应变是
（3）
§3-2 小应变张量（几何方程）
由于位移是微小的， 方向的位移所引起的线段 的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段
的正应变是 （4）
求出线段 与 之间的直角改变，也就是剪应 变 ，用位移分量来表示。
§3-2 小应变张量（几何方程）
第三章-应变分析
3－4 体积应变
单元体的体积： dVdxdydz
变形后，体积： dV'(dxxdx)(dyydy)(dzzdz)
dxdy(d1z )(1 )(1 )
x
y
z
dxdy(d1z )
x
y
z
则，体积应变：
d' V d V d
x(1 d y d z) d
x
y
z
x d y d z
dV
d xd yd zx y z
Man◇ ._Ha!n.℡ɡ1rl。 ゜ eVer ㄨ 、 Give up沸 点 soon startˊ Sorry -aesar 凯 撒 Julietˋ Ａ m , 七 分 醒 ▌SakitIf- ExpectΜ elod y丶 低 声 、 saybetrayeiove 均 My、
queen哀 伤 之 后 After sad□ Yinkuimy、 zyO° Myへ Loveヽ ρuzzledPoison丶
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变 物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位 置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。
M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）
点的位移为MM'
z
u = x'- x = u（x，y，z）
v = y'- y = v（x，y，z）
w = z’- z = w（x，y，z）
变形后：
m'点的坐标为( x+u，y+v）
a '点的坐标为( x+dx+u+微分增量，y+v +微分增量）
b '点的坐标为 ( x+u+微分增量，y+dy+v +微分增量）
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
第三章 应力分析、应变分析和屈服条件-第二部分
1、如果假定在简单拉伸时两种屈服条件相 重合， 六边形将内接于Mises圆。 重合，则Tresca六边形将内接于 六边形将内接于 圆 Mises: J ′ = 1 σ 2 ,或τ = σ 2 s 3 S Tresca: τ m = σS / 2 ax 纯剪切时， 六边形同Mises圆之间的 纯剪切时，Tresca六边形同 六边形同 圆之间的 相对偏差最大 最大， 相对偏差最大，为 2
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
第三章 应变分析
第一章 应变分析§ 3-1有关变形的几个基本概念一 变形：从宏观上讲，当一个物体在外部条件的作用下，它的形状和尺寸发生了时候，我们说该物体产生了变形。
二 刚性位移：物体仅仅发生了平动和转动；质点间的位置并没有发生改变，叫刚性位移。
例如，圆棒被弯曲后，棒的中间一般发生了变形，但是在棒的两端并没有发生变形，我们说两端只发生了刚性位移。
三 纯变形：从宏观上讲，在物体发生变形时，不可避免地要伴有雄伟性位移，如图所示，从单元体中除去刚性位移之后，剩下的部分为纯变形。
1 正变形：线尺寸的伸长与缩短。
2 剪变形：单元体的畸变。
四 如何判断单元体是否发生变形：主要看各质点间的相对位置是否发生变化，发生了变形的为变形，没有发生变化的为刚性位移。
例如上面的棒的中心附近发生了变化 ，而两端质点间的距离并没有发生变化，棒的中心产生了变形，而两端并没有发生变形。
五 应变：应变是变形大小的度量。
1 正变形：表示正变形的应变。
2 剪应变：表示剪变形的应变。
3 小变形：变形程度不超过10-3—10-2的变形统称为小变形。
§ 3-2 变形分析一 质点的变形张量：变形体在外力的作用下产生塑性变形，对于一点而言，在一应力张量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσσ的作用下，产生对应的变形，用应变张量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzy zx yz yyx xz xyx ij εαααεαααεε表示其中xy α为纯剪应变和刚性位移-z ϖ之和，即z xy xy ϖγα-=，同理z yx yx ϖγα+= ; y xz xz ϖγα+= ;y zx zx ϖγα-=; x yz yz ϖγα+= ; x zy zy ϖγα-= ; 所以有：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz yyx xz xyx ij εαααεαααεε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+++-=z xzy y zx x yz yz yx y xz zxy xεϖγϖγϖγεϖγϖγϖγε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zzy zx yz y yx xz xy xεγγγεγγγε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+++-+000xy x z y z ϖϖϖϖϖϖ， 二 位移分量和应变的关系：),,(z y x u u =；在三维空间有三个分量，分别是，x u , y u , z u 一般用u, v, w 表示，u, v, w都是x,y,z 的函数，所以有：),,(z y x u u = ， ),,(z y x v v = ， ),,(z y x w w =，这三个分量的增量分别为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=dzz w dy y w dx x w dw dz z v dy y v dx x v dv dz z u dy y u dx x u du 变形过程中必然伴随有位移，位移和变形之间存在一定关系，这种关系如下：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂=∂∂=∂∂=)(21)(21)(21z v y w z u x w x v y u z w y v x u yzzy xz zx yxxy z y x γγγγγγεεε称之为小变形几何方程。
弹性力学第三章 应变
§3-1 变形与应变概念
z
由于外部因素作
A'
A
u
用（荷载或温度改 变等）引起物体内
r R
部各质点位置的改 变称位移。
物体内任意一点
y
的位移，用它在x、
x
y、z三个坐标轴上
u(x、y、z) = rx Rx v(x、y、z) = ry Ry w(x、y、z) = rz Rz
的投影u、v、w来 表示。以沿坐标轴 正方向的为正。
y
u u dy y
A点在Y方向的位移分量为v，B
C'
点在Y方向的位移分量：
v v dy y
D" D'
D
C
v v dx x
dy
v
A' u
B'
B"
v
v x
dx
线素AB的转角为：
tg BB
AB
0
A
B u u dx
dx
x
图 2-5
x
(v v dx) v v
位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各
个点的相对位置。
§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
刚体位移包括平行移动和转动位移
§3-1 变形与应变概念
变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各 个点的相对位置。即物体的形状发生改变。
变形的度量——应变
外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大 小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。 应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变 形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在 各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
第三章力学位移和应变分析
x， y，z
称为转动分 量
p, q, r代表此微分体的刚性转角
故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变 形的几何形象表示完全。
二、物体内无限邻近两点位置的变化
设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：
A （x,y,z） B(x+dx,y+dy,z+dz)
变形后，它们到A’和B’ 若A点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示 则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示
说明：
u
P
B
dx A
u u dx x v v dx x
v
dy y
A B
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的
u u dy y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , ， xy （ 2） 不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
tan yx
tan xy
v v dx v x v yx dx x
u u dy u y u dy y
xy
1 v u r ( ) 2 x y
r是对角线MQ绕z轴转动的角度。
yx xy , 则r为正号，表示沿逆时针转动；
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2
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八面体线应变 八面体切应变
五、应变偏张量和应变球张量
六、等效应变
取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。
等效应力的特点
1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力没有特定的作用面； 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 4) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩) 应力σ1 ，即
6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
第三章应变分析
2020年4月23日星期四
c) 理想剪切 d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短
1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
纯变形
设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为 ：
简记为
即小应变几何方程
例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为 ：
u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3 w=(10-0.1xyz)×10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变
2、同一质点的不同方位，有不同的变形值
点的应变状态
3、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。
4、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。
5、变形的大小用应变表示。物体变形时，其体内各质点在各方向 上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态”的 概念。点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相 似的性质。
体积不变条件： 对数应变表示的体积不变条件：
塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值 最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。
§3.3 点的应变状态和应变张量
§3.3 点的应变状态和应变张量
一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分 量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的 九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上 张量之定义，即
若ε1>ε2>ε3,则
三、主应变简图
用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图。
a)压缩类变形 特征应变为负应变， 另外两个应变为正应 变。
b)剪切类变形(平面变形) 一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。
c)伸长类变形 特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。
四、八面体应变
εij为二阶对称张量
一、主应变及应变张量不变量
过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向（也称应 变主轴），该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。
在主轴坐标系统中，应变张量为
对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力 主方向重合。
应变张量不变量（多用 J 表示） 应变状态特征方程
二、主切应变和最大切应变
如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量 自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有 当它们满足应变连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量 。
§3.6 应变增量和应变速率张量
一、速度分量和速度场 位移速度：质点在单位时间内的位移。
位速度分量：位移速度在三个坐标轴上的投影称为位移速度分量， 简称速度分量。
➢Байду номын сангаас
矢量代入几何方程求得的应变）
应变增量：
一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量。
应变增量：
即
三、应变速率张量
➢ 应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。
比较：
等效应变的特点： 1)是一个不变量； 2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的 线应变。
§3.4 小应变几何方程 (位移场和应变场之间的关系)
§3.4 小应变几何方程 (位移场和应变场之间的关系)
单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为 a1b1c1d1
§3.5 应变连续方程程（应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程
）
对y求两次偏导得 对x求两次偏导得
相加可得
§3.5 应变连续方程程（应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程
） 同理
每个坐标平面内，应变分量之间应满足的关系： 两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定。
用同样的方法
不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系： 在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定 。
位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数，故 或
速度场
二、位移增量和应变增量
➢位移增量: 物体在变形过程中，在一个极短的
➢
时间dt内，其质点产生极小的位移
➢
变化量称为位移增量。
➢
如图中的 矢量，记为dui
➢应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变（由图中
➢
求得的应变）
矢量
➢全量应变: 在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变（由图 中
应用微分的概念
——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。
对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况 将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：
只有当变形程度很小时，ε才 能近似等于 ，变形程度愈大， 误差也愈大 。
§3.1 、位移和应变
二、 应变及其分量
§3.2 塑性变形时的体积不变条件
五、应变偏张量和应变球张量
六、等效应变
取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。
等效应力的特点
1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力没有特定的作用面； 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 4) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩) 应力σ1 ，即
6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
第三章应变分析
2020年4月23日星期四
c) 理想剪切 d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短
1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
纯变形
设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为 ：
简记为
即小应变几何方程
例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为 ：
u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3 w=(10-0.1xyz)×10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变
2、同一质点的不同方位，有不同的变形值
点的应变状态
3、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。
4、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。
5、变形的大小用应变表示。物体变形时，其体内各质点在各方向 上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态”的 概念。点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相 似的性质。
体积不变条件： 对数应变表示的体积不变条件：
塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值 最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。
§3.3 点的应变状态和应变张量
§3.3 点的应变状态和应变张量
一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分 量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的 九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上 张量之定义，即
若ε1>ε2>ε3,则
三、主应变简图
用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图。
a)压缩类变形 特征应变为负应变， 另外两个应变为正应 变。
b)剪切类变形(平面变形) 一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。
c)伸长类变形 特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。
四、八面体应变
εij为二阶对称张量
一、主应变及应变张量不变量
过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向（也称应 变主轴），该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。
在主轴坐标系统中，应变张量为
对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力 主方向重合。
应变张量不变量（多用 J 表示） 应变状态特征方程
二、主切应变和最大切应变
如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量 自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有 当它们满足应变连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量 。
§3.6 应变增量和应变速率张量
一、速度分量和速度场 位移速度：质点在单位时间内的位移。
位速度分量：位移速度在三个坐标轴上的投影称为位移速度分量， 简称速度分量。
➢Байду номын сангаас
矢量代入几何方程求得的应变）
应变增量：
一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量。
应变增量：
即
三、应变速率张量
➢ 应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。
比较：
等效应变的特点： 1)是一个不变量； 2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的 线应变。
§3.4 小应变几何方程 (位移场和应变场之间的关系)
§3.4 小应变几何方程 (位移场和应变场之间的关系)
单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为 a1b1c1d1
§3.5 应变连续方程程（应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程
）
对y求两次偏导得 对x求两次偏导得
相加可得
§3.5 应变连续方程程（应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程
） 同理
每个坐标平面内，应变分量之间应满足的关系： 两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定。
用同样的方法
不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系： 在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定 。
位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数，故 或
速度场
二、位移增量和应变增量
➢位移增量: 物体在变形过程中，在一个极短的
➢
时间dt内，其质点产生极小的位移
➢
变化量称为位移增量。
➢
如图中的 矢量，记为dui
➢应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变（由图中
➢
求得的应变）
矢量
➢全量应变: 在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变（由图 中
应用微分的概念
——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。
对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况 将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：
只有当变形程度很小时，ε才 能近似等于 ，变形程度愈大， 误差也愈大 。
§3.1 、位移和应变
二、 应变及其分量
§3.2 塑性变形时的体积不变条件