初中数学阅读理解型问题

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中考数学专题复习2：阅读理解题

中考数学专题复习2：阅读理解题Ⅰ、综合问题精讲：阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（，模拟，9分）如图 2－7－1所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 2 和2 ，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2 F=______；（2）当中心O2在直线 l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线 l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）解：（1）O1D=2，O2 F=1；（2）O1 O2 =3；（2）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．点拨：本题实际上考查的知识点是“两圆的位置关系”，但形式有所变化．因此，可以再次经历探索两个圆之间的位置关系，认真分析并总结两圆五种位置关系所对应的圆心距d与半径R和r的数量关系，五种位置关系主要由两个因素确定：①公共点的个数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部，按这两个因素为线索来探究位置关系．然后，把这种利用平移实验直观探索方法迁移到研究“两个正方形的位置关系”上来．【例2】（，内江，9分）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。

(完整版)初二数学经典阅读理解题

阅读理解题型训练1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD=90︒．若△BOC 的面积为1，试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于．2．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为．3．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB = AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D ，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；图（1）ADCOBBOCDA111210987654321图2图1A'PPA ABCBC（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.4.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

中考数学阅读理解型问题

阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题. 二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 三、中考考点精讲考点一：阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （2013•六盘水）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： sin （α±β）=sinαcosβ±cosasinβ； tan （α±β）=tan tan 1tan tan αβαβ±m 。

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan15°=tan（45°-30°）=tan 45-tan 301tan 45tan 30︒︒+︒︒g =31(33)(33)1263363(33)(33)13----==+-+=2-3根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A 距离7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为 1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据3=1.732， 2=1.414）思路分析：（1）把15°化为45°-30°以后，再利用公式sin （α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE 的长，再根据AB=AE+BE 即可得出结论．解：（1）sin15°=sin （45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=232162622222444-⨯-⨯=-=；（2）在Rt △BDE 中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米， ∴BE=DE•tan ∠BDE=DE•tan75°． ∵tan75°=tan（45°+30°）==tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒g =31(33)(33)1263363(33)(33)13++++==+--=2+3。

七年级初中数学阅读理解专题训练

七年级初中数学阅读理解专题训练本文档旨在提供一系列七年级初中数学阅读理解专题训练题，以帮助学生提高对数学问题的理解和解决能力。

题目一阅读下面的问题，并完成相关计算。

问题：小明有10支铅笔，小红有3支铅笔。

如果他们把铅笔都放在一起，那么总共有多少支铅笔？解答：小明有10支铅笔，小红有3支铅笔。

所以他们总共有10+3=13支铅笔。

题目二根据下面的信息，回答问题。

问题：一家商店正在举行打折活动，所有衣服的价格降低了30%。

如果一件衣服原价是120元，那么现在的价格是多少？解答：如果一件衣服原价是120元，那么降价后的价格为120 * (1-30%) = 120 * 0.7 = 84元。

题目三根据下面的图表，回答问题。

问题：以下图表表示了某班级学生的身高分布情况，共有32名学生。

请问身高在150-160cm之间的学生有多少人？解答：根据图表，身高在150-160cm之间的学生有12人。

题目四根据下面的信息，回答问题。

问题：一个长方形花坛的长是6米，宽是4米。

如果要在该花坛周围修建一圈围墙，请计算需要多少米的围墙木材。

解答：该长方形花坛的周长为2 * (6 + 4) = 20米。

因此，需要20米的围墙木材。

题目五根据下面的问题，回答问题。

问题：有一辆汽车从A市开往B市，全程480公里。

在一次加油站，它加满油后继续行驶。

如果这辆车每升汽油可以行驶12公里，那么加满一箱油需要多少升？解答：根据题目，这辆车每升汽油可以行驶12公里，全程为480公里。

所以加满一箱油需要480 / 12 = 40升。

以上是七年级初中数学阅读理解专题训练的一些例题，希望能帮助同学们提高数学解题能力。

祝大家学业进步！。

数学阅读理解型问题(专题4)

阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1；（2）a ＋b ＝3，ab ≤23；（3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29．说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论．例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（）；②833833=+（）； ③15441544=+（）； ④24552455=+（）．（2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围：．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数．（3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ．说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3．解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以．例4．如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21；若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+；若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝（n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1）如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ；（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是，该图形与圆O 的位置关系是．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．．（2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ；（2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ；（3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ，这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22；（2）33；（3）22，1．说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来：．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |；当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是，如果|AB |=2，那么x 为． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ．（1）求证：△ABE ≌△ADF ．（2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置；如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．（3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答：． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答：．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）．在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3．（1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝．（2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+．（2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10）＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1；（3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立．证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π．（2）B ．11．解：．（1）2，1．（2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。

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初中数学阅读理解型问题
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。-- 托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。
39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

专题三阅读理解型问题

专题三阅读理解型问题阅读理解题通常是给出一段文字，或陈述某个数学命题的解题过程，或设计一个新的数学情境，要求学生在阅读理解的基础上，进行判断概括或迁移运用，从而解决题目中提出的问题．这类问题的考查目标既有基础知识，又涉及阅读理解能力、自习能力、书面表达能力、随机应变能力和知识迁移运用能力等.2016年贵阳中考首次考查了阅读理解几何综合应用问题．预计2017贵阳中考还会考查此类型题目，复习时应加大训练力度．,中考重难点突破)阅读解题过程，模仿解题策略【经典导例】【例1】(2016贵阳中考) (1)阅读理解：如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD 的取值范围是________； (2)问题解决：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE ＋CF ＞EF ；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D ＝180°，CB ＝CD ，∠BCD ＝140°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．【解析】本题属于阅读理解题，解题方法主要是数学中“转化”思想的运用．对于(2)延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接EM ，BM ，利用全等三角形性质和线段垂直平分线性质把线段BE ，CF ，EF 转化到△BEM 中来研究；对于(3)要延长AB 至点N ，使BN ＝DF ，连接CN ，先证明△NBC ≌△FDC ，得CN ＝CF ，∠NCB ＝∠FCD.再根据已知条件证明△NCE ≌△FCE ，得EN ＝EF ，则有BE ＋BN ＝EN ，所以有BE ＋DF ＝EF.【学生解答】解：(1)2<AD<8；(2)延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接EM ，BM ，在△BMD 和△CFD 中．∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.∵∠BDM ＝∠CDF ，DM ＝DF ，∴△BMD ≌△CFD ，∴BM ＝CF.又∵DE ⊥DF ，DM ＝DF ，∴EM ＝EF ，在△BME 中，BE ＋BM>EM ，∴BE ＋CF>EF ；(3)BE ＋DF ＝EF.理由：延长AB 至点N ，使BN ＝DF ，连接CN.在△NBC 和△FDC 中，CB ＝CD ，BN ＝DF.∵∠NBC ＋∠ABC ＝180°，∠D ＋∠ABC ＝180°，∴∠NBC ＝∠D ，∴△NBC ≌△FDC ，∴CN ＝CF ，∠NCB ＝∠FCD.∵∠BCD ＝140°，∠ECF ＝70°，∴∠BCE ＋∠FCD ＝70°，∴∠NCE ＝70°，在△NCE 和△FCE 中，CN ＝CF ，∠ECF ＝∠NCE ＝70°，CE ＝CE ，∴△NCE ≌△FCE ，∴EN ＝EF.∵BE ＋BN ＝EN ，∴BE ＋DF ＝EF.1．(张家界中考)阅读材料：解分式不等式x －13x ＋6<0，解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①x －1>03x ＋6<0，或②x －1<0，3x ＋6>0，解①得：无解，解②得：－2<x<1，所以原不等式的解集是－2<x<1.请仿照上述方法解下列分式不等式： (1)2x ＋5x －4≤0； (2)2x －6x ＋2>0.解：(1)根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此原不等式可转化为：①2x ＋5<0，x －4≥0，或②2x ＋5>0，x －4≤0，解①得：无解，解②得：－2.5<x ≤4，所以原不等式的解集是：－2.5<x ≤4；(2)根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数．因此，原不等式可转化为：①2x －6>0x ＋2>0，或②2x －6<0，x ＋2<0，解①得：x>3，解②得：x<－2，所以原不等式的解集是：x>3或x<－2.2．(2016兰州中考)在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ，F ，G ，H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图1中四边形ABCD 的形状(如图2)，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法解决以下问题： (2)如图2，在(1)的条件下，若连接AC ，BD.①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形，写出结论并证明； ②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形，直接写出结论．解：(1)四边形EFGH 还是平行四边形，理由如下：连接AC.∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝21AC.∵G ，H 分别是CD ，AD 的中点，∴GH ∥AC ，GH ＝21AC ，∴EF ∥GH ，EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)①当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形，理由如下：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，当AC ＝BD 时，FG ＝21BD ，EF ＝21AC ，∴FG ＝EF ，∴四边形EFGH 是菱形；②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形．3．(2016郴州中考)设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为：a ⊕b ＝a －b （a ≤0）.（a>0），例如：1⊕(－3)＝1－3＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x －1)＝x2＋1x －1.(因为x 2＋1>0) 参照上面材料，解答下列问题：(1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；(2)若x>21，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x 的值．解：∵x>21，∴2x －1>0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝2x －14x2－1＝2x ＋1.又－4<0，∴(－4)⊕(1－4x )＝－4－(1－4x)＝－5＋4x ，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x)化为：2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3，∴x 的值为3.阅读新定义，新定理，解决新问题【经典导例】【例2】(2014兰州中考)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2)如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE ，连接AD ，DC ，CE ，已知∠DCB ＝30°.①求证：△BCE 是等边三角形；②求证：DC 2＋BC 2＝AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形．【解析】(1)根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；(2)①首先证明△ABC ≌△DBE ，得出AC ＝DE ，BC ＝BE ，进一步得出△BCE 为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE 是直角三角形，问题得解．【学生解答】解：(1)学习过的特殊四边形中，符合条件的四边形有：矩形、正方形或直角梯形；(2)①由旋转的性质可知△ABC ≌△DBE ，∴AC ＝DE ，BC ＝BE ，∵∠CBE ＝60°，∴△BCE 是等边三角形；②∵△BCE 是等边三角形，∴∠BCE ＝60°，CE ＝BC.∵∠DCB ＝30°，∴∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ＝30°＋60°＝90°.∴△DCE 是直角三角形，∴DC 2＋CE 2＝DE 2，又∵AC ＝DE ，CE ＝BC ，∴DC 2＋BC 2＝AC 2.即四边形ABCD 是勾股四边形．4．(2016衢州中考)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD 两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系．猜想结论(要求用文字语言叙述)，写出证明过程；(先画出图形，写出已知、求证)(3)问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC ＝4，AB ＝5，求GE 的长．解：(1)四边形ABCD 是垂美四边形．证明：∵AB ＝AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB ＝CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为E ，求证：AD 2＋BC 2＝AB 2＋CD 2，证明：∵AC ⊥BD ，∴∠AED ＝∠AEB ＝∠BEC ＝∠CED ＝90°，由勾股定理得，AD 2＋BC 2＝AE 2＋DE 2＋BE 2＋CE 2，AB 2＋CD 2＝AE 2＋BE 2＋CE 2＋DE 2，∴AD 2＋BC 2＝AB 2＋CD 2；(3)连接CG ，BE ，∵∠CAG ＝∠BAE ＝90°，∴∠CAG ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，即∠GAB ＝∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AB ＝AE ，∠GAB ＝∠CAE ，∴△GAB ≌△CAE ，∴∠ABG ＝∠AEC ，又∠AEC ＋∠AME ＝90°，∴∠ABG ＋∠BMC＝90°，即CE ⊥BG ，∴四边形CGEB 是垂美四边形，由(2)得，CG 2＋BE 2＝CB 2＋GE 2，∵AC ＝4，AB ＝5，∴BC ＝3，CG ＝4，BE ＝5，∴GE 2＝CG 2＋BE 2－CB 2＝73，∴GE ＝.5．(2016宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A ＝40°，∠B ＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线； (2)在△ABC 中，∠A ＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数； (3)如图2，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．解：(1)∵∠A ＝40°，∠B ＝60°，∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD＝∠BCD ＝21∠ACB ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＝40°，∴△ACD 为等腰三角形，∵∠DCB ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ，∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线；(2)①当AD ＝CD 时(如图①)，∠ACD ＝∠A ＝48°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝96°；②当AD ＝AC 时(如图②)，∠ACD＝∠ADC ＝2180°－48°＝66°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝114°；③当AC ＝CD 时(如图③)，∠ADC ＝∠A ＝48°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∵∠ADC>∠BCD ，矛盾，舍去，∴∠ACB ＝96°或114°；(3)由已知得AC ＝AD ＝2，∵△BCD ∽△BAC ，∴BA BC ＝BC BD，设BD ＝x ，∴()2＝x(x ＋2)，解得x ＝－1±，∵x ＞0，∴x ＝－1，∵△BCD ∽△BAC ，∴AC CD ＝BC BD ＝23－1，∴CD ＝23－1×2＝(－1)＝－.6．(2016咸宁中考)阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形. 如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形. 设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把sin α1的值叫做这个平行四边形的变形度.(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S 1，其变形后的平行四边形面积为S 2，试猜想S 1, S 2，sin α1之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图2，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，且AB 2＝AE·A D ，这个矩形发生变形后为平行四边形A 1B 1C 1D 1，E 1为E 的对应点，连接B 1E 1，B 1D 1，若矩形ABCD 的面积为4(m ＞0)，平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积为2(m ＞0)，试求∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1的度数．解：(1)33；(2)sin α1＝S2S1，理由如下：如图1，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形高为h ，则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝b h ，∴S2S1＝ah ab ＝h b ，sin α1＝h b ，∴sin α1＝S2S1；(3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 12＝A 1E 1·A 1D 1，即A1D1A1B1＝A1B1A1E1.又∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1，∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1，∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1.∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1，由(2)sin α1＝S2S1，可知sin ∠A1B1C11＝m m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝21，∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°.。

阅读理解型存在问题及解题策略

阅读理解型存在问题及解题策略近些年初中数学试题中不断出现阅读理解题。

阅读理解题的基本模式是“材料—问题” 。

这种题型特点鲜明,内容丰富,超越常规,源于课本又高于课本,不仅考查学生的阅读能力, 而且综合考查学生的信息处理能力、知识迁移能力, 对学生的数学意识、数学思维能力和创新意识有较高要求。

在解答阅读理解题时, 学生要读懂材料, 正确理解题意, 弄清题目要求, 关键是要理清问题与材料之间的关系。

学生要多角度、全方位、深层次地收集整理题中的各种信息,综合运用观察、比较、猜想等数学方法,探索题中各元素之间的内在联系,从而进行正确的判断和推理。

下面我结合实践,谈谈自己的做法。

一、初中学生解数学阅读理解题存在的困难1. 基础薄弱,信心不足,在解数学阅读理解题时产生心理障碍。

数学阅读理解题中实际问题的文字叙述与现实生活贴近, 但是题目比较长, 其数量也比较多, 数量之间的关系也很分散隐蔽。

所以,面对许多的非形式化题目和材料,很多学生不知所措,不懂如何入手,心理上产生了畏惧怕。

学生对数学阅读理解题的心理障碍,是造成解题困难的首要原因。

2. 缺少体验,信息有限,在解数学阅读理解题时形成认识障碍。

由于学生一直在学校学习,他们参加的社会实践活动非常有限, 造成了对生活、生产、科技及杜会经贸活动等方面的知识知之甚少, 而许多知识领域的名词术语在数学实际问题中出现的概率是相当高的, 这些很陌生名词术语学生当然不知其意,因此也就无法读懂题意,更不用说正确理解题意了。

例如现实生活中的利息、利润、利率、保险金、折旧率、纳税率等概念,对这些基本概念的含义学生都没搞清楚,所以对涉及到这些概念的题目就无法去理解,更无法去解决了。

3. 轻视阅读,理解欠缺,在解数学阅读理解题时形成思维障碍。

由于课业负担比较重, 目前的初中学生对读书的兴趣不浓, 阅读文字的积极性不高, 导致理解文字的能力较弱。

一般情况下学生对图像和画面比较感兴趣, 而对文字则比较麻木, 缺乏兴趣, 因此造成他们语感也比较差, 对文字的感悟和理解水平也不高。

阅读理解型问题在初中数学中的应用

阅读理解型问题在初中数学中的应用
口桂林市全州县东山民族初级中学唐基强
【关键词】初中数学阅读理解型问题
知识、新方法构建相应的数学模型来解
决问题。二、阅读理解型问题的主要题型分类（）断概括型，需要正确理解一判即
、／ｎ和、
ａ／ａ，＝２、
格点Ａ、Ｃ（Ｂ、即△ ＢＣ三个顶点都在小正方形的顶点处），如图１所示。这样不需求ＡＡＢＣ的高，而借用网格就能计算出它的面积。
Ａ
、Ｔ％根据勾股／
定理可画出这三条边构成的ＡＡＣＢ。
、
阅读理解型问题的命题模式和
．
｝＼ｆ、＼
Ｃ
Ｓ＾ｃａ一１ × ２２１ × △ ＝８２ × ａ一 × Ｂ △ ＾一一一
一
一 ×
×
解题策略
口、＼、＼
４ａ３２２ａ。
阅读理解型问题，一般涉及内容丰
（）请你将ＡＡＣ的面积直接填写１Ｂ
在横线上。
于长为４，ｎ宽为３的长方形，图４所ｍ如示，中每个小方格面积为ｍ。仿（）图ｎ１的
解法可得
ｓ１ｍ一１ ×４２ｎ
ｎｍ一
（）我们把上述求面积的方法叫做２
富，思新颖别致。它由两部分组成：构一是阅读材料，二是考查内容。该类题型命题的一般模式是：先给出一些新的材料（包括新的数学概念的形成和应用、的新

初中数学中考总复习冲刺：阅读理解型问题--巩固练习题及答案(提高)

中考冲刺：阅读理解型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A]”(a ≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向其面对方向沿直线行走a ．若机器人的位置在原点，面对方向为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( )A ．(-1，)B ．(-1．-1) D ．(-1)2．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s ×t(s 、t 是正整数，且s ≤t)，如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有31(18)62F ==．给出下列关于F(n)的说法：(1)1(2)2F =；(2)3(24)8F =；(3)F(27)＝3；(4)若n 是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题3．阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状．解：∵222244a cbc a b -=-， (A)∴2222222()()()c a b a b a b -=+-， (B) ∴222c a b =+， (C)∴△ABC 是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该错误步骤的代号：________________． (2)错误的原因为：________________________． (3)本题的正确结论为：____________________．4．先阅读下列材料，然后解答问题：从A ，B ，C 三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯．一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)(1)321nm m m m n C n n --+=-⨯⨯⨯ggg ggg ．例：从7个元素中选5个元素，共有577654354321C ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有______________种．三、解答题5．已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求1pq q+的值.解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0 又∵pq ≠1,∴1p q ≠ ∴1-q-q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征所以p 与1q 是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p qq++=∴=根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m 2-5m -1=0,21520n n +-=,且m ≠n ，求：11m n+的值.6. 阅读以下材料，并解答以下问题．“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m+n 种不同的方法，这是分类加法计数原理，完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法，这就是分步乘法的计数原理．”如完成沿图①所示的街道从A 点出发向B 点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)，会有多种不同的走法，其中从A 点出发到某些交叉点的走法数已在图②填出．(1)根据以上原理和图②的提示，算出从A 出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图②的空圆中，并回答从A 点出发到B 点的走法共有多少种?(2)运用适当的原理和方法算出从A 点出发到达B 点，并禁止通过交叉点C 的走法有多少种?(3)现由于交叉点C 道路施工，禁止通行，求如任选一种走法，从A 点出发能顺利开车到达B 点(无返回)的概率是多少?7．阅读：我们知道，在数轴上，x ＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x ＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x －y ＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y ＝2x ＋1的图象，它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x ＝1与直线y ＝2x ＋1的交点P 的坐标（1，3）就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩在直角坐标系中，x ≤1表示一个平面区域，即直线x ＝1以及它左侧的部分，如图②；y ≤2x ＋1也表示一个平面区域，即直线y ＝2x ＋1以及它下方的部分，如图③．① ② ③ 回答下列问题：（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；（2）用阴影表示2y 2x 2y 0x ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤－＋≥，所围成的区域．8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是23(2)4y x =+-．类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换： (1)将1y x=的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________． (2)函数1x y x +=的图象可由1y x =的图象向________平移________个单位长度得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？(3)一般地，函数x by x a+=+(ab ≠0，且a ≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?9. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1=的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(a a P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．10. 阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探究PG 与PC 的位置关系PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： (1)写出上面问题中线段PG,与PC 的位置关系及PGPC的值； (2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．(3)若图1中∠ABC ＝∠BEF ＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG 绕点B 顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示)．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ； 2.【答案】B ；二、填空题 3.【答案】 (1)C ；(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式22()a b -，而22a b -可能等于0；(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 4.【答案】120.三、解答题 5.【答案与解析】解：由2m 2-5m -1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴11m n≠得21520mm+-=根据2215152020m m n n +-=+-=与的特征∴11mn与是方程x 2+5 x -2=0的两个不相等的实数根 ∴115m n+=- .6. 【答案与解析】(1)∵完成从A 点到B 点必须向北走，或向东走，∴到达A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边的交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法原理，由此算出从A 点到达其余各交叉点的走法数，填表如图所示．故从A 点到B 点的走法共35种．(2)方法1：可先求从A 点到B 点，并经过交叉点C 的走法数，再用从A 点到B 点总走法数减去它，即得从A 点到B 点。

初三中考初中数学阅读理解专题训练含答案

初三中考初中数学阅读理解专题训练含答
案
阅读理解是中考数学考试中常见的题型之一。

在这种题型中，
学生需要通过阅读一篇数学相关的文章，并回答相关的问题。

以下
是一些初三中考初中数学阅读理解专题训练题目及其答案，供同学
们练。

题目一：
某公司为两位员工A和B购买了一套办公设备，设备总价为元。

公司决定按照员工A的工作量和贡献度，将设备总价分成两份。

员工A参与公司工作的时间为8个月，员工B参与公司工作的时间为4个月。

设员工A和B分别支付的费用为X元和Y元，则X+Y
的值为多少？
A. 4000元
B. 6000元
C. 8000元
D. 元
答案：C. 8000元
题目二：
某学校举行篮球比赛，共有12名学生参加。

其中有7名男生
和5名女生。

学校规定，要选出一支由至少3名男生和至少2名女
生组成的比赛队。

则符合要求的不同组队方式有多少种？
A. 50种
B. 60种
C. 70种
D. 80种
答案：C. 70种
题目三：
某商店打折出售一种商品，原价120元，现在打8折出售。

同时，商店还提供会员折扣，会员购买可再打7折。

某消费者是该商
店的会员，他购买了两件该商品。

则他需要支付的总费用是多少元？
A. 82.4元
B. 86.4元
C. 89.6元
D. 93.6元
答案：B. 86.4元
通过完成以上的阅读理解训练题目，同学们可以提高自己的阅读理解能力，并更好地应对中考数学考试。

初一数学阅读理解题型练习

初一数学阅读理解题型练习1．课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝，∠C＝．又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．提示：过点C作CF∥AB．深化拓展：（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．请从下面的A，B两题中任选一题解答，我选择题．A．如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为°．B．如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，则∠BED的度数为°．（用含n的代数式表示）2．如图，直线AC∥BD，P在直线AB上（不与点A，B重合）．（1）当点P在如图所示的位置时，∠PCA＝30°，∠PDB＝25°，则∠CPD＝．（2）猜想，当点P在A，B两点之间运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD之间的数量关系．（3）说明（2）中的猜想成立的理由．（4）当点P在直线AB上（不在线段AB上）运动时，试探究∠PCA，∠PDB，∠CPD之间的数量关系（画图并直接写出结论即可）3．已知：∠MON＝80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是；②如图2，当∠BAD＝∠ABD时，试求x的值（要说明理由）；（2）如图3，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．（自己画图）4．如图1，已知直线l1∥l2，且l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3．点P在线段AB上．（1）若∠1＝22°，∠2＝33°，则∠3＝．（2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由．（3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数．（4）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可．5．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．6．如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．（1）求证：∠P＝∠BEP+∠PFD；（2）若M为CD上一点，如图2，∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM 关系，并证明你的结论；（3）移动E、F使得∠EPF＝90°，如图3，作∠PEG＝∠BEP，求∠AEG与∠PFD度数的比值．7．如图，AB∥CD，直线PQ截AB、CD于点E、F，点M是直线PQ上的一个动点（点M不与E、F重合），点N在射线FC上．（1）当点M在线段EF上时，如图（1），求证：∠FMN+∠FNM＝∠AEF．（2）当点M在射线EP上时，如图（2），试猜想∠FMN、∠FNM、∠AEF之间的数量关系：（不要求说明理由）．（3）当点M在射线FQ上时，如图（3），试猜想∠FMN、∠FNM、∠AEF之间的数量关系，并说明理由．8．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．9．已知△ABC中，∠BAC＝100°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．10．如图①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．（1）如图①，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β，则∠CFE＝；（用α、β表示）（3）如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由．阅读理解题型参考答案1．解：（1）∵ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，故答案为：∠EAB，∠DAC；（2）过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D＝∠FCD，∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，（3）A、如图2，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°；故答案为：65；B、如图3，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+35°＝215°﹣n°．故答案为：215°﹣n．2．解：（1）如图①，过P点作PE∥AC交CD于E点，∵AC∥BD∴PE∥BD，∴∠CPE＝∠PCA＝30°，∠DPE＝∠PDB＝25°，∴∠CPD＝∠CPE+∠DPE＝55°，故答案为：55；（2）∠CPD＝∠PCA+∠PDB，故答案为：∠CPD＝∠PCA+∠PDB；（3）过P点作PE∥AC交CD于E点，∵AC∥BD∴PE∥BD，∴∠CPE＝∠PCA，∠DPE＝∠PDB，∴∠CPD＝∠CPE+∠DPE；（3）∠CPD＝∠PCA﹣∠PDB．理由如下：如图②，过P点作PF∥BD交CD于F点，∵AC∥BD，∴PF∥AC，∴∠CPF＝∠PCA，∠DPF＝∠PDB，∴∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF＝∠PCA﹣∠PDB．3．解：（1）①∵∠MON＝80°，OE平分∠MON．∴∠AOB＝∠BON＝40°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝40°故答案是：40°；②如答图1，∵∠MON＝80°，且OE平分∠MON，∴∠1＝∠2＝40°，又∵AB∥ON，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝40°∴∠4＝80°，∴∠OAC＝60°，即x＝60°．（2）存在这样的x，①如答图2，当点D在线段OB上时，若∠BAD＝∠ABD，则x＝40°；若∠BAD＝∠BDA，则x＝25°；若∠ADB＝∠ABD，则x＝10°．②如答图3，当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝130°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝115°，C不在ON上，舍去；综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝10°、25°、40°．4．解：（1）∠1+∠2＝∠3．∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝∠1+∠2＝55°，∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠1+∠2＝∠3；（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，则∠BAC＝∠DBA+∠ACE＝40°+45°＝85°；（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，∴∠1＝∠FPC．∵l1∥l4，∴PF∥l2，∴∠2＝∠FPD∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC∴∠CPD＝∠2﹣∠1．当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，∴∠2＝∠GPD∵l1∥l2，∴PG∥l1，∴∠1＝∠CPG∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD∴∠CPD＝∠1﹣∠2．5．解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；（2）∵CB∥OA，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．6．（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB．则∠1＝∠BEP．又∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠2＝∠PFD，∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD，即∠EPF＝∠BEP+∠PFD；（2）∠EPF＝∠PNM．理由如下：由（1）知，∠EPF＝∠BEP+∠PFD．如图2，∵∠FMN＝∠BEP，∴∠EPF＝∠FMN+∠PFD．又∵∠PNM＝∠FMN+∠PFD．∴∠EPF＝∠PNM；（3）如图，∵由（1）知∠1+∠2＝90°．∴∠1＝90°﹣∠2．又∵∠1＝∠3，∴∠4＝180°﹣2∠1＝2∠2，∴∠4：∠2＝2：1．即∠AEG与∠PFD度数的比值为2：1．7．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠NFM＝180°，∵∠FMN+∠FNM+∠NFM＝180°，∴∠FMN+∠FNM＝∠AEF．（2）关系为：∠FMN+∠FNM＝∠AEF．理由：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠NFM＝180°，∵∠FMN+∠FNM+∠NFM＝180°，∴∠FMN+∠FNM＝∠AEF．（3）数量关系为：∠FMN+∠FNM+∠AEF＝180°．理由：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠NFM，∵∠FMN+∠FNM+∠NFM＝180°，∴∠FMN+∠FNM+∠AEF＝180°．8．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），∴∠A+∠D＝∠C+∠B．故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个；（3）由（1）可知，∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，由①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50°，∠B＝40°，∴2∠P＝50°+40°＝90°，∴∠P＝45°．9．解：∵∠BAC＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°，（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB＝40°，∴∠BOC＝140°．（2）∵点O是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，∴∠OBC+∠OCB＝°，∴∠BOC＝°．（3）∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，∴∠OBC+∠OCB＝°，∴∠BOC＝180°﹣°．当∠BOC＝170°时，是八等分线的交线所成的角．10．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠BAE＝60°∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∵CF∥AD，∴∠CFE＝∠DAE＝20°，（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠BCA）∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝（∠BCA﹣∠B）＝β﹣α．（3）成立．∵∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，∵CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝90°﹣α﹣β，∴∠BCF＝β+90°﹣α﹣β＝90°﹣α+β，∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+α﹣β，∵AE⊥BC，∴∠FEC＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝β﹣α．。

例谈中考数学试卷中的“阅读理解性问题”及其解题策略

ｒ — ｌ— — Ｉ一
时，｝（２）材学生能根据阅读获取的信息回答问题．，＋。／））、＋２料供的阅读材料主要包括：一个新的数提（．由学
可知：
概念的形成和应用的过程，或一个新数学公式的推导和应用，或提供新闻背景
字母。的右下角码被３，除余数是１的结有几种购买方案？
法和思想，然后在把握本质、理解实质的
基础上作出回答．
果一，母的下码３，是｝字。右角被除余
的Ｉ题，确理解材料信息，握方程解＇＝ｉ－ＩＥ把解
：
分：考了方的整鳃析本查求程正数题
一
一
、
基础知识复习阶段
个阶段比较浮躁，不愿意多做一会儿作和错题本，把经常出错的题型举一反三。
所把每一章学生容易出在此阶段，多数学生认为自己什么都业，以老师要多利用课上时间让学生练教师也要认真总结，会了，没必要再复习，其实这种观点是不
（ｆｌｆ１＾．）或～
，
关键词：中考
数学
阅读
理解
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中考数学阅读理解这类问题大致分被３除的结果是４整，因为２０以３０９除为三类：一是阅读特殊范例，出一般结推论：二是阅读解题过程，总结解题规律；三是阅读新知识，研究新问题．
材料三

初二数学阅读理解型问题初二数学阅读理解型问题

一、新课导入中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.二、讲授新课例1、邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．A试卷试题景仁博闻强识／善叙前言往行／玄每与之／言不倦也／玄出行／殷仲文卞范之之徒／皆骑马散从／而使景仁陪辇考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．② 精确研究表明化学教案B-C实际是分两步进行的化学教案每步释放一种气体化学教案其中例2、先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2-4＞0解：∵x2-4=（x+2）（x-2）∴x2-4＞0可化为（x+2）（x-2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得例3（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点且以C 为顶点的抛物线的解析式；（3）若D 为抛物线上的一动点，当D 点坐标为何值时，S △ABD =12S △ABC ；（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x 轴交于点A′B′，与y 轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．附：阅读材料一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y 4-4y 2+3=0．解：令y 2=x （x≥0），则原方程变为x 2-4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3．当x 1=1时，即y 2=1，∴y 1=1，y 2=-1．当x 2=3，即y 2=3，∴y 3=3，y 4=-3．所以，原方程的解是y 1=1，y 2=-1，y 3=3，y 4=-3．再如x 2-2=422x -，可设y=22x -，用同样的方法也可求解．使学生在天地人的交融之中陶冶人格境界化学教案感受天地的大气象试卷试题游学教育作为教育活动的一种形式已有2000多三、巩固练习1．（2012•淮安）阅读理解如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C （不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．奢靡化学教案与老百姓的的劳作吃穿作对比化学教案其中描写“乐声之多与市井言语对比”的句子是：“考点：翻折变换（折叠问题）．①在沉沉夜幕中化学教案列车进入柴达木试卷试题已是满天星斗化学教案我浑然没有察专题：压轴题；规律型．尔斯之《正义论》化学教案但另一些人如伯林化学教案两者则是不一致的：伯林反对大体系化学教、四、归纳小结阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.邦化学教案（继续消灭残余化学教案巩固应该保护的）化学教案广泛树立声威大略试卷试题（振化学教案同“震”化学教案解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.五、课后作业《2014中考数学复习专题讲座方法论与解题技巧》习题。

初中数学中考总复习冲刺：阅读理解型问题--知识讲解(基础)

中考冲刺：阅读理解型问题—知识讲解（基础）【中考展望】阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应该特别引起我们的重视. 它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，内容丰富，超越常规，源于课本，又高于课本，各种关系错综复杂，不仅能考查同学们阅读题中文字获取信息的能力，还能考查同学们获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力等.同时，更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力.【方法点拨】题型特点：先给出一段材料，让学生理解，再设立新的数学概念，新概念的解答可以借鉴前面材料的结论或思想方法．解题策略：从给的材料入手，通过理解分析本材料的内容，捕捉已知材料的信息，灵活应用这些信息解决新材料的问题．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点．展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 阅读理解题一般可分为如下几种类型：(1)方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；(2)判断推理型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳概括；按照对材料本质的理解进行推理，作出解答；(3)迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读，理解其采用的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决类同或更高层次的另一个相关命题．【典型例题】类型一、阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题1．阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则P A=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角△A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为．【思路点拨】（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，然后在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．【答案与解析】解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A（0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．【总结升华】本题考查的是轴对称——最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．类型二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法2．阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0，∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同.当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b；当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b；当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b.解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）；W2= （用x、y的式子表示）；②请你分析谁用的纸面积更大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．【思路点拨】（1）①根据题意得出3x+7y 和2x+8y ，即得出答案；②求出W 1-W 2=x-y ，根据x 和y 的大小比较即可；（2）①把AB 和AP 的值代入即可；②过B 作BM⊥AC 于M ，求出AM ，根据勾股定理求出BM ．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a 12-a 22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．【答案与解析】（1）解：①W 1=3x+7y ，W 2=2x+8y ，故答案为：3x+7y ，2x+8y ．②解：W 1-W 2=（3x+7y ）-（2x+8y ）=x-y ，∵x＞y ，∴x -y ＞0，∴W 1-W 2＞0，得W 1＞W 2，所以张丽同学用纸的总面积更大．（2）①解：a 1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述，当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．【总结升华】本题考查了勾股定理，轴对称——最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2F=______；（2）当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）【答案】（1）O1D=2，O2F=1；（2）O1 O2 =3；（3）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．类型三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论3．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．【思路点拨】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）如图，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．【总结升华】此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值是解题关键．举一反三：【变式】阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝？观察下面三个特殊的等式：()2103213121⨯⨯-⨯⨯=⨯()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯ ()4325433143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝2054331=⨯⨯⨯读完这段材料，请你思考后回答：⑴ =⨯++⨯+⨯1011003221Λ__________________；⑵1223(1)n n ⨯+⨯+++=L ______________________；⑶ ()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n Λ___________________.（只需写出结果，不必写中间的过程）【答案】⑴343400(或10210110031⨯⨯⨯)⑵()()2131++n n n ⑶()()()32141+++n n n n 每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是()()2131++n n n ，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为()()()32141+++n n n n 了.类型四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题4．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【思路点拨】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，综上所述，当t=207或-3+17时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．5．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现:（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【思路点拨】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．【答案与解析】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC 是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【总结升华】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质,难度较大．举一反三：【高清课堂：阅读理解型问题例3】【变式】阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC 的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.①②③【答案】(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2个友好矩形，如图中的矩形BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC 面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.(3) 此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小 .证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c .∴L1-L2=(2Sa+2a)-(2Sb+2b)=2(a-b)ab Sabg，而ab＞S，a＞b，∴L1-L2＞0，即L1＞L2 .同理可得，L2＞L3 .∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.。