运用均值不等式的八类配凑方法_
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正〞、二“定〞、三“等〞；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积〞的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=〞。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和〞的形式，变为“积〞的形式，然后利用隐含的“定和〞关系，求“积〞的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=〞。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立；②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b aabc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba112+2a b ab +≤≤≤222ba +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max3227y=。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
运用均值不等式的八类配凑方法_
运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=∙∙∙-≤= ⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y == 因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪∙∙-≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
故max y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y x x x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x =-，即3x ==”。
“配凑法”巧解数学题的八种常见形式
“配凑法”巧解数学题的八种常见形式作者：李涛来源：《教师·理论研究》2008年第11期摘要：训练学生用“配凑法”解数学题，可以启迪思维、拓宽思路，文章总结了“配凑法”解数学题的常见八种表现形式。
关键词：配凑法；解数学题；表现形式“配凑法”解数学问题在初、高等数学中都很常见，初中因式分解中的加、减辅助项以及解一元二次方程的配方法，直至微积分中的凑微分积分法都属配凑法。
实质上，“配凑法”是一种迂回的解题方法，体现了化归的思想，它指的是在解答数学问题的过程中，巧妙地配、凑一些适当的数或式、图形，以获得或化归成利于解答的形式。
由此看来，“配凑法”是一种数学基本技能，适当拓展也可以成为解题技巧。
在数学教学中，有意识地介绍“配凑法”，对启迪学生思维、拓宽学生解题思路、提高学生解题能力是大有裨益的。
下面介绍“配凑法”解初等数学题的八种常见表现形式。
一、原式配凑有些数学问题，可对原式（条件）直接进行配凑，以变成可用公式、定理或达到整体效果。
这是最简单的一种配凑法，多用于代数、三角学中，其具体做法不外乎是恒等变形，如同加（减）、同乘（除）、同乘（开）方等。
例1：解不等式->0分析：按如下常规方法去解，较麻烦。
x-7≥02x-13≥0（）≥（）而用配凑法，将原不等式化为->0显然当x-7≥0时，上述不等式成立，从而得出答案。
例2：求cos20°·cos40°·cos60°·cos80°的值分析：20°、40°、80°恰好有2倍角关系，而cos60°=可不必考虑变形，故分子、分母首先同乘以2sin20°配凑成二倍角公式，以后反复几次，得答案。
例3：（1987年美国奥赛题）求下式的值I=分析：注意到分子、分母中的重要数分子324=4×34，分子、分母中的4次幂的底数都各自成等差数列，可尝试将每一个因式再分解因式降幂，而分解因式必然要进行加、减辅助项配凑，即a4+4b4=（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2=…=[（a+b）2+b2][（a-b）2+b2]。
均值不等式方法及例题
均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵∴当且仅当，即时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴的值域为。
评注：分式函数求最值，通常化成g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知，求的最小值。
解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。
解法2：将分子中的1用代换。
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元例5. 求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号故。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方例6. 求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
均值不等式的八类拼凑方法
运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
第8关： 均值不等式问题—拼凑8法
第8关：均值不等式问题—拼凑8法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１已知，求函数的最大值。
解：。
当且仅当，即时，上式取“=”。
故。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数的最大值。
解：。
因，当且仅当，即时，上式取“=”。
故。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3已知，求函数的最大值。
解：。
当且仅当，即时，上式取“=”。
故，又。
亲爱的老师们：我有一套非常好的word资料，叫“高考数学常考问题-大闯关（36关）”，但是部分内容是图片的不能编辑，为了更好的使用本资料，本人打算将这套资料翻录一下与愿意翻录的老师共享，所谓翻录就是重新用公式编辑器将资料中的图片录入成可以正常显示便于编辑的公式，每个老师录入1-2关，完全按照已有文档录入，在半天之内就可以完成。
（样品见第8关，红色的部分都不用编辑，只需编辑公式部分即可。
等所有老师录入编辑完成后，我将翻录好的word资料全部免费分享给愿意加入的老师。
有意参加的老师请加我微信：scttrz或加QQ:2780158525,愿意的老师请备注：资料共创共享。
高考数学常考问题-大闯关（36关）目录第1关：极值点偏移问题--对数不等式法第2关：参数范围问题—常见解题6法第3关：数列求和问题—解题策略8法第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型第5关：三角函数最值问题—解题9法第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看第8关：均值不等式问题—拼凑8法第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面第11关：排列组合应用问题—解题21法第12关：几何概型问题—5类重要题型第13关：直线中的对称问题—4类对称题型第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧第15关：函数中易混问题—11对第16关：三项展开式问题—破解“四法”第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法第18关：类比推理问题—高考命题新亮点第19关：函数定义域问题—知识大盘点第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法第21关：求函数解析式问题—7种求法第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法第23关：数列通项公式—常见9种求法第24关：导数应用问题—9种错解剖析第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型第26关：概率题错解分类剖析—7大类型第27关：抽象函数问题—分类解析第28关：三次函数专题—全解全析第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想第33关：函数零点问题—求解策略第34关：求离心率取值范围—常见6法第35关：高考数学选择题—解题策略第36关：高考数学填空题—解题策略二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4设，求函数的最小值。
运用均值不等式的八类配凑方法
运用均值不等式的八类配凑方法均值不等式是数学中常用的一类不等式，具有广泛的应用领域。
在解决问题时，可以通过配凑合适的均值不等式来简化计算，提升效率。
下面介绍八种常见的配凑方法。
1.a/b+b/c≥2√(a/b*b/c)：若题目中涉及到两个有理式之和，并且等式右边的两个有理式可以构成一个平方根形式，那么可以应用该不等式。
2. (a+b)² ≥ 4ab：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的两倍，那么可以应用该不等式。
3. (a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ac)：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的三倍，那么可以应用该不等式。
4. a²+b² ≥ 2ab：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的两倍，那么可以应用该不等式。
5. (a+b+c+d)² ≥ 4(ab+bc+cd+da)：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的四倍，那么可以应用该不等式。
6. (a+b+c+d+e)² ≥ 5(ab+bc+cd+de+ea)：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的五倍，那么可以应用该不等式。
7. (a+b)³ ≥ 4ab(a+b)：若题目中涉及到立方和的形式，并且等式右边的项是该形式的四倍，那么可以应用该不等式。
8.(a+b)⁴≥16a²b²：若题目中涉及到四次方和的形式，并且等式右边的项是该形式的十六倍，那么可以应用该不等式。
通过应用以上八类配凑方法，可以在解决问题时简化计算，加快解题速度。
需要注意的是，每个不等式的应用条件和推导过程可能会有所不同，需要根据具体情况进行分析和运用。
同时，配凑方法只是数学问题解决的一种思路，实际问题解决过程可能还需要运用其他方法和技巧。
高中数学：均值定理的“凑”与“配”
高中数学：均值定理的“凑”与“配”不等式中的均值定理一直是高中数学的重点内容，同时也是高考的重点和热点，也是解决很多问题的重要工具，应用均值定理的前提是满足“一正、二定、三相等”，不过很多时候，题目的条件不满足这一条件，这时就需要适当的“凑”与“配”，下面结合具体例子予以说明。
一、凑“正”例1. 求的值域。
解：将变形为后可用基本不等式，但不清楚是否为正，因此需要讨论。
由已知得。
（1）若，则，故，当且仅当，即时，取等号。
（2）若，则，故。
∴，当且仅当，即时，取等号。
因此，由（1）、（2）可知的值域为。
本题说明“各项为正”这一条件的重要性，当不确定时应进行分类讨论。
二、凑、配“定值”1. “凑”和为定值例2. 设一个圆柱的轴截面周长为l，求其侧面积的最大值。
解：设圆柱底面半径为r，高为h，侧面积为S，满足。
当且仅当，即时，S有最大值。
对已知式子进行恰当的“凑”与“配”，再利用基本不等式求最值，这种技巧经常被使用。
2. “配”积为定值例3. 已知，，且，求的最小值。
解：∵，∴。
∵，，∴。
当且仅当，即时，取等号。
解得当，时，取得最小值为16。
三、凑“相等”例4. 求函数的最小值。
解：。
设，则，此时原式可化为。
∵，∴。
∴。
当且仅当，即，时取等号，此时，解得。
∴。
此题是通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式，注意换元后，若对直接利用均值定理，则需满足，即或，而在时，无法达到，因此需要凑配“相等”以及积为定值，方可利用均值定理。
▍▍ ▍▍。
均值不等式求最值的十种方法
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y xx =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=”。
均值不等式方法及例题
之宇文皓月创作均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行需要的变形才干利用均值不等式求解。
下面是一些经常使用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才干得到定值。
∵∴当且仅当，即时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，无妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴的值域为。
评注：分式函数求最值，通常化成g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知，求的最小值。
解法1：无妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。
解法2：将分子中的1用代换。
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元例5. 求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号故。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方例6. 求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
均值定理精讲精练
利用均值不等式求最值的方法均值不等式a ba b a b +≥>>200(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑 1. 凑系数例1. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54，求函数f xx x ()=-+-42145的最大值。
解析：由题意知450x -<，首先要调整符号，又()42145x x --·不是定值，故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540，∴fxx x x x()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x ·当且仅当54154-=-x x，即x =1时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()() 当x +>10，即x >-1时 y x x ≥+++=214159()·（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
均值不等式求最值策略
均值不等式求最值策略应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。
忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。
1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关 例1. 已知45<x ，求函数54414-+-=x x y 的最值。
解：因为45<x 所以054<-x 故045>-x 所以54414-+-=x x y 0454)45(24]454)45[(4=-⋅--≤-+--=xx x x当且仅当x x 45445-=-，即47=x 或43=x 时，等号成立，但4547>不合条件，舍去，故当43=x 时，0max =y2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关 利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下： （1）变形法 例2. 求函数)(1222R x x x y ∈++=的最小值。
解：因为R x ∈ 所以0112>≥+x 故11111)1(2222+++=+++=x x x x y2111222=+⋅+≥x x 当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时，2min =y（2）配凑法例3. 已知3>x ，求函数382-+=x x y 的最小值。
解：因为3>x 则有038062>->-x x ， 所以63862382+-+-=-+=x x x x y 14638)3(22638)3(2=+-⋅-≥+-+-=x x x x当且仅当38)3(2-=-x x ，即5=x 时，14min =y3. 分离常数 （1）拆项法例4. 当1->x 时，求1132++-=x x x y 的最小值。
解：因为1->x 所以01>+x所以15)1(5)1(2+++-+=x x x y552515)1(2515)1(-=-+⋅+≥-+++=x x x x 当且仅当5)1(2=+x ，即15-=x 取等号另一解151-<--=x （舍去） 所以552min -=y（2）倒数法例5. 若0>x ，求函数12++=x x xy 的最大值。
均值不等式中的“配凑”技巧
平均值不等式是高中数学的重要知识，是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置.在使用均值不等式处理问题的时候，最常使用的技巧就是“配凑”.本文通过以下例题简要说明.1均值不等式设a1,a2,…,a n均为正实数，则有n1 a1+1a2+…+1ana1a2…a nn a1+a2+…+ann，当且仅当a1=a2=…=an时，三个等号同时成立.对于这个不等式，高考中只要求n=2或n=3的情形，在数学竞赛和自主招生考试中要求更高.2均值不等式中的“配凑”技巧2.1配凑常数例1设a,b,c为三个正实数，且abc=1，求证：1a+b+1+1b+c+1+1c+a+11.证明：不妨设x,y,z为三个正实数，使得x3=a，y3=b，z3=c，则xyz=abc3=1，a+b+ 1=x3+y3+xyz=(x+y)(x2+y2-xy)+xyz (x+y)(2xy-xy)+xyz=xy(x+y+z)=x+y+zz，所以1a+b+1zx+y+z，同理可得1b+c+1xx+y+z,1c+a+1yx+y+z，所以1a+b+1+ 1b+c+1+1c+a+1zx+y+z+xx+y+z+ yx+y+z=1.评注：本题关键是用abc3代替1.例2设a,b,c∈R+,且a2+b2+c2=1，求证：a1-a2+b1-b2+c1-c2.证明：原不等式a1-a2+b1-b2+c1-c2,等价于a2a(1-a2)+b2b(1-b2)+c2c(1-c2) .由于a2+b2+c2=1，如果能证明x(1-x) 233，这里0<x<1.则上述不等式成立，由平均值不等式得，x(1-x2)=均值不等式中的“配凑”技巧河北省邯郸市第一中学师文亮056006摘要：平均值不等式是高中数学的重要知识，是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置.本文通过例题旨在说明均值不等式在使用时的一些技巧.关键词：平均值不等式；配凑；技巧··1=233故不等式成立.评注：由于分子之和a 2+b 2+c 2=1，所以当各分母被控制在某个常数之内时，便可以推出命题成立.这个方法在分式不等式证明中常常使用.2.2配凑项数例3若正数a ,b ,c 满足a +b +c =1，求证：(a +1a )(b +1b )(c +1c ) 100027.证明：注意到a =b =c =13时，不等式的等号成立，将原不等式变形为(3a +3a)(3b +3b )(3c +3c ) 1000.经观察要使不等式的等号成立，只需3a =3ma=1，解得m =9,故a +1a =a +19a +19a +⋯+19a 9个(a +1a )(b +1b )(c +1c )=1000×3-3=100027,当且仅当a =b =c =13时等号成立.评注：本题的关键在于根据取等条件将1a 拆成9个19a之和，进而使用均值不等式解决问题.在含等号不等式中，等号成立的条件尤为重要，往往是解题的钥匙.例4设a >b >0，求证：2a 3+3ab -b 210.证明：因为ab -b 2=b ()a -b[]b +()a -b 24=a 24,所以2a 3+3ab-b 2 2a 3+12a2=33+4a 2+4a 2+4a2=10，即命题成立.评注：为了消去a ，将2a 3写成两项，12a 2写成三项.这样利用平均值不等式，他们的乘积为一个常数.2.3配凑系数例5设a ,b ,c 0，a +b +c >0，求证：(a +b )3(b +c )2(c +a )(a +b +c )6427.证明：由于(a +b )3(b +c )2(c +a )(a +b +c )6=108æèöøa +b 33æèöøb +c 22()c +a ()a +b +c 6 108æèöøa +b +c 36()a +b +c 6=427,当c =0,b =2a >0时，等号成立.评注：本题待证不等式的左边分子分母次数相等，所以考虑配凑系数即可.例6设x ,y ,z 是正数，且满足x 5+y 5+z 5=3，证明：x 4y 3+y 4z 3+z 4x3 3.证明：注意到(x 5+y 5+z 5)2=x 10+2x 5y 5+y 10+2y 5z 5+z 10+2z 5x 5=9,从这个形式，我们利用平均值不等式，可得10⋅x 4y3+6x 5y 5+3x 10=x 4y 3+⋯+x 4y 310+ x 5y 5+⋯+x 5y 56+x 10+x 10+x 10 19x 10019，同理可得10⋅y 4z 3+6y 5z 5+3y 10 19y 10019,10⋅z 4x3+6z 5x 5+3z 10 19z 10019,将上述三个不等式相加，得10æèçöø÷x 4y3+y 4z 3+z 4x 3+3(x 5+y 5+z 5)219æèçöø÷x 10019+y 10019+z 10019.于是，只需要证明下列不(下转第11页)··2借助补形往往也能收到奇效，这里就不一一列举了．虽说鳖臑在高考中正式以本名“出道”是在2015年的湖北卷，但作为立体几何中的一个重要基本图形，在历年高考中一直有自己的一席之地，其中有的问题直接处理起来相对比较棘手，补形思想的运用给这类问题的解决提供了一个很好的视角．参考文献[1]王凤学.巧用补形法妙解几何题[J].中学生数学，2007，16.[2]何文忠.立体几何中的一个重要基本图形－鳖臑[J].数学通报，1996，5.等式x10019+y10019+z10019x 5+y 5+z 5成立.事实上(x 5+y 5+z 5)+19∑x 10019=3+19∑x10019=∑æèçöø÷1+19x 10019 20∑x 5.评注：本题由()x 5+y 5+z 52的展开式得到灵感，进而找到合适的系数配比.2.4配凑次数例7设a ,b ,c ,d ∈R +满足abcd =1，a +b +c +d >a b +b c +c d +d a.求证：a +b +c +d <b a +c b +d c +a d.证明：a==14(a b+)a b +b d +a c ,同理可得b 14(b c +b c +b d )+c a ，c 14æèöøcd +c d +d b +c a ，d 14(d a +d a +a c +)d b .将上述四个式子相加得2(a +b +c +d )<(a b+)b c +c d +d a +æèöøa b +a b +b c +a d ，因为a +b +c +d >a b +b c +c d +d a ，故a +b +c +d <b a +c b +dc +a d得证.评注：本题的关键是将a ,b ,c ,d 进行齐次化改写.(上接第2页)··11。
诠释均值定理掌握多变配凑技巧
诠释均值定理掌握多变配凑技巧作者：薛胜菊来源：《教育教学论坛》 2014年第12期薛胜菊（河北枣强中学，河北枣强053100）摘要：在高考题中，利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一。
但是应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
关键词：数学；求最值；均值定理中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0265-01最值问题始终是高考数学的命题热点，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一，这类问题难度虽不大但技巧性，考生常因方法选择不当，造成应用定理错误而失分。
因此，快速找到切入点，灵活运用所学知识，将复杂问题简单化，从而顺利解答高考题，这是高三学生的最大期望。
笔者现就此类问题进行归纳总结，对不同类型技巧的解法进行分析。
希望本文能对读者有所启示和帮助。
一、配凑项凑“积”为定值法例1 已知x＜ 5/4，求函数y=4x-2+ 1/4x-5的最大值。
解：因4x-5＜0，所以首先要“调整”符号，又（4x-2）g 1/4x-5不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项，Qx＜5/4，∴5-4x＞0，x=1时，ymax=1。
点评：本题需要调整项的符号，保证各项正，又要配凑项的系数，使其积为定值。
其实凑积为定值无非是凑“倒数”形式，消去未知数，得到定值而已。
二、分离拆项或换元构造“积”为定值例2 求y= x2+7x+10/x+1（x＞-1）的值域。
解法一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离。
“=”号）。
解法二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
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运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即3x =时，上式取“=”。
故max y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x =-，即3x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()()22413x y x +=+的最大值。
解：1,10x x >-∴+>，()()()()22412424342241414141x y x x x x +∴==≤=⨯+++++++++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin xy x -=的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2xt =，则0t >。
所以211cos 113133sin sin 2222x t t ty t x x t t t -+=+=+=+≥=。
当且仅当1322tt =，即33t x π==时，上式取“=”。
故min y = 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。
三、 拼凑常数降幂例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。
本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++()()33333333221151775733x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤==。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故225x y xy ++的最大值为7。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
证明：333333131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，()()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=，()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。
当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
四、 拼凑常数升幂例10 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。
分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是13a b c ===证明：()()()161616161616255,255,255333333a ab bc c +≤+++≤+++≤++， (()1623132.3a abc ∴+≤+++=≤。
当且仅当13a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。
证明：33333331111,31111,a a b b ⨯⨯≤++⨯⨯≤++()3334a b a b ∴+≤++。
又332,2a b a b +=∴+≥。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
五、 约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。
例12 已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值。
解：222846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+= ⎪⎝⎭。
当且仅当2812x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =。
例13 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值。
解：因为01x <<，所以10x ->。
所以()()414141159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭。
当且仅当()411x x x x -=-时，即23x =，上式取“=”，故min 9y =。
例14 若,,a b c R +∈，求证()22212a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。
分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。
此时22a ab c =+， 设()2a m b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4b c+为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。
证明：2222222,2,2444444a b c a b c b c a b c a c a b c a ba b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++。
()22212a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。
当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
六、 引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。
例15 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149x y z++的最小值。
解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。
()1491491491x y z x x x x y z x y z x y zλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+++++-=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλ≥=。
当且仅当149,,x y z x y zλλλ===同时成立时上述不等式取“=”，即x y z ===，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时36λ=，故149x y z++的最小值为36。
七、 引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例16 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数，求证31222221111123123n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+。
证明：记3122222123n n a a a a b n =+++⋅⋅⋅+，构造对偶式1231111nn d a a a a =+++⋅⋅⋅+， 则3122222123111111112123123n n n n a a a a b d a a a n a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++≥+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当(),i a i i N i n +=∈≤时，等号成立。
又因为12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数， 所以1111123n d n ≤+++⋅⋅⋅+，因此1111123n b n≥+++⋅⋅⋅+。
评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
八、 确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。
例17 在ABC ∆中，证明1cos cos cos 8A B C ≤。
分析：cos cos cos A B C 为轮换对称式，即,,A B C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。