2019年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(4月份)-(解析版)

2019年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={-1，0，2}，B ={x |x =2n -1，n ∈Z }，则A ∩B =______．2. sin （-300°）=______．3. 已知复数z =-i （1+2i ），其中i 是虚线单位，则|z |=______．4. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______．5. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为______．6. 从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b ，则a ≤b 的概率为______． 7. 在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√10，则双曲线C 的渐近线方程为______．8. 一个正四面体的展开图是边长为2√2的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为______． 9. 已知0＜y ＜x ＜π，且tan x tan y =2，sinxsiny =13，则x -y =______．10. 已知等边△ABC 的边长为2，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△APQ 的面积为______． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），B （4，0）．若直线x -y +m =0上存在点P 使得PA =12PB ，则实数m 的取值范围是______．12. 以知f （x ）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x （x -1），则关于m 的不等式f （1-m ）+f （1-m 2）＜0的解集为______．13. 已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 3=0，a 1a 42+a 2a 4-a 2=0，且a 1＞a 2＞a 3，则a 4的取值范围是______．14. 已知数列{a n }的通项公式是a n =2n−1，数列{b n }的通项公式是b n =3n -1，集合A ={a 1，a 2，…，a n }，B ={b 1，b 2，…，b n }，n ∈N *．将集合A ∪B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c n }，则数列{c n }的前45项和S 45=______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. △ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的所对边的长，若a cos B =1，b sin A =√2，且A -B =π4． （1）求a 的值； （2）求tan A 的值．16. 如图，在四面体ABCD 中，AD =BD ，∠ABC =90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD ．求证：（1）EF =12BC ；（2）平面EFD ⊥平面ABC ．17. 某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为108πml ．设圆柱的高度为hcm ，底面半径半径为rcm ，且h ≥4r ，假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m 元/cm 2，易拉罐上下底面的制造费用均为n 元/cm 2（m ，n 为常数）（1）写出易拉罐的制造费用y （元）关于r （cm ）的函数表达式，并求其定义域； （2）求易拉罐制造费用最低时r （cm ）的值． 18. 在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，左准线为l ．P 为椭圆C 上任意一点，直线OQ ⊥FP ，垂足为Q ，直线OQ 与l 交于点A ．（1）若b =1，且b ＜c ，直线l 的方程为x =-52（i ）求椭圆C 的方程（ii ）是否存在点P ，使得FPFQ =110？，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（2）设直线FP 与圆O ：x 2+y 2=a 2交于M ，N 两点，求证：直线AM ，AN 均与圆O 相切．19. 设函数f （x ）=e x -ax +a （a ∈R ）．（1）当a =1时，求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数f （x ）的图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2，求a 的取值范围； （3）证明：f′(√x 1x 2)＜0（f '（x ）为函数f （x ）的导函数）．20. 已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q （q ＞1）的等比数列．（1）若a 5=b 5，q =3，求数列{a n •b n }的前n 项和；（2）若存在正整数k （k ≥2），使得a k =b k ．试比较a n 与b n 的大小，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A =[cosθ−sinθsinθcosθ]（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B =[100k ]（0＜k ＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为[0−1120]，求k ，θ的值．22. 在极坐标系中，已知A （ 1，π3 ），B （ 9，π3 ），线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及△ABC 的面积．23. 已知实数a ，b 满足|a +b |≤2，求证：|a 2+2a -b 2+2b |≤4（|a |+2）．24. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为√1515． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．25. 已知数列{a n }的通项公式为a n =1√5[(1+√52)n−(1−√52)n]，n ∈N *，n ∈N *．记S n =C n 1a 1+C n 2a 2+⋯+C n n a n ．（1）求S 1，S 2的值； （2）求证：对任意正整数n ，S n+2+S n S n+1为定值．答案和解析1.【答案】{-1}【解析】解：由集合A={-1，0，2}，根据集合A中的关系式x=2n-1，n∈Z，得到集合B为所有的奇数集，则集合A∩B={-1}．故答案为：{-1}．观察发现集合B为所有的奇数集，所以找出集合A解集中的奇数解即为两集合的交集．此题属于以不等式解集中的奇数解为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．2.【答案】√32【解析】解：sin（-300°）=sin（360°-300°）=sin60°=，故答案为．由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之．本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．3.【答案】√5【解析】解：|z|=|-i（1+2i）|=|-i||1+2i|=|1+2i|=，故答案为：．复数乘积的模，就是模的乘积，容易得到结果．考查复数的模的运算法则，是基础题．4.【答案】100【解析】解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）．故答案为：100由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属于简单题型，注意纵坐标意义．5.【答案】1011【解析】解：模拟执行伪代码，可得：S=0+++…+=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．故答案为：．模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出S=0+++…+的值，从而得解．本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．6.【答案】89【解析】解：从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，共有3×3=9种，因为a＞b的取法只有一种：a=3，b=2，所以a＞b的概率是，所以a≤b的概率是1-=．故答案为：．先确定的所有的基本事件，共有9种，再求出a＞b的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可．本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题，属于基础题．7.【答案】y=±3x【解析】解：因为（）2=1+（）2=10，所以=3，所以渐近线方程为y=±3x．故答案为：y=±3x．利用（）2=1+（）2=10，可得=3，即可求出双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．8.【答案】3π【解析】解：如图，∵一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，∴原正四面体的棱长为，设底面三角形的中心为G，则，正四面体的高PG=．再设正四面体外接球的球心为O，连接OA，则，解得R=．∴该四面体的外接球的表面积为．故答案为：3π．由题意画出图形，求出正四面体的棱长，进一步求得外接球的半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】π3【解析】解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny=故x-y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x-y＜π．所以x-y=故答案为：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x-y的值．本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．10.【答案】√33【解析】解：如图，由，可知点P为△ABC的重心，由，得，由边长为2可得，AP=，PQ=1，且AP⊥PQ，∴=，故答案为：．由第一个条件可知P为重心，由第二个条件可得，确定Q的位置，可得△APQ为直角三角形，且易得两个直角边，得解．此题考查了向量加减法的几何意义及应用，难度适中．11.【答案】[−2√2，2√2]【解析】解：设P（x，x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x-1）2+4（x+m）2=（x-4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4-x2，∴4-x2≥0，解得x∈[-2，2]，∴m=-x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=-2cosθ±2sinθ=∈，实数m的取值范围是，故答案为：．设P（x，x+m），由PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4-x2，可得：m=-x±，x∈[-2，2]．通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】[0，1）【解析】解：由题意，奇函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0，即f（1-m）＜f（m2-1），则，即，解得0≤m＜1，即m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．13.【答案】(−1−√52，−1+√52)【解析】解：a1+a2+a3=0得a1≥0，a 3≤0，a1≥|a2|-a3≥|a2|．a4==-•±•，设=x，由a1≥|a2|．知-1≤x≤1，a4=-x±，由x 2+4x≥0，得0≤x≤1，当a4=-x+时，有当x=1，a4取最大，最大值a4=-+；当a4=-x-时，有当x=1，a4取最小，最小值a4=--；则a4的取值范围是．故答案为：．先根据题意a1+a2+a3=0得a1≥0a3≤0a1≥|a2|-a 3≥|a2|．对于方程a1a42+a2a4-a2=0，将a4看成未知数，解二次方程得a4=-•±•，设=x，由a1≥|a2|知-1≤x≤1，利用a4=-x±的单调性结合x的取值范围，即可得出a 4的取值范围．本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于验证题．14.【答案】245-3017【解析】解：数列{a n}的通项公式是，数列{b n}的通项公式是b n=3n-1，所以：，故：=，由于两个数列中有公共元素，2，8，32．故：-2-8-32=245-3017．故答案为：245-3017首先利用分组法求数列的和，进一步减去公共的项对应的值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.【答案】解：（1）由正弦定理知，b sin A=a sin B=√2，①，又a cos B=1，②①，②两式平方相加，得（a sin B）2+（a cos B）2=3，因为sin2B+cos2B=1，所以a=√3（负值已舍）；（2）①，②两式相除，得sinBcosB=√2，即tan B=√2，因为A-B=π4，∴A=B+π4，∴tan A=tan（B+π4）=tanB+tanA1−tanBtanA=√21−√2=--3-2√2【解析】（1）由正弦定理可知bsinA=asinB，进而利用acosB=1，相加即可求得a．（2）根据第一问先求得tanB的值，进而求得A和B的关系，利用正切的两角和公式求得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键．16.【答案】证明：（1）因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，所以EG∥BD，…（4分）又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以EF =12BC．…（7分）（2）因为AD=BD，由（1）知，E为AB的中点，所以AB⊥DE，又∠ABC =90°，即AB ⊥BC，由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，又DE∩EF=E，DE，EF⊂平面EFD，所以AB⊥平面EFD，…（12分）又AB⊂平面ABC，故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）【解析】（1）利用平面与平面平行的性质，可得EG∥BD，利用G为AD的中点，可得E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，即可证明EF=BC；（2）证明AB⊥平面EFD，即可证明平面EFD⊥平面ABC．本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）由题意，体积V=πr2h，得h=Vπr2=108r2．y=2πrh×m+2πr2×n=2π（108mr+nr2）．…（4分）因为h≥4r，即108r2≥4r，所以r≤3，即所求函数定义域为（0，3]．…（6分）（2）令f（r）=108mr +nr2，则f'（r）=-108mr2+2nr．由f'（r）=0，解得r=332mn．①若332mn ．＜1，当n＞2m时，332mn．∈（0，3]，由R（0，332mn ）．332mn．（332mn．，3]f'（r）-0+f（r）减增得，当r=332mn．时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．…（10分）②若332mn．≥1，即n≤2m时，由f'（r）≤0知f（r）在（0，3]上单调递减，当r=3时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．…（14分）【解析】（1）由题意，体积V=πr2h，可求得h，再由易拉罐的制造费用公式求得费用，根据函数得意义求得定义域．（2）利用导数求出函数的单调区间，继而求得函数在定义域内的最值．本题主要考查导数在实际应用题中的应用，利用导数求得单调区间求出满足题意的结果．属于中档题型，在高考中时有考查．18.【答案】解：（1）（i）由题意，b=1，a2c=52，又a2=b2+c2，所以2c2-5c+2=0，解得c=2，或c=12（舍去）．故a2=5．所求椭圆的方程为x25+y2=1．（ii）设P（m，n），则m25+n2=1，即n2=1-m25．当m=-2，或n=0时，均不符合题意；当m≠-2，n≠0时，直线FP的斜率为nm+2，直线FP的方程为y=nm+2（x+2）．故直线AO的方程为y=-m+2nx，Q点的纵坐标y Q=2n(m+2)(m+2)2+n2，所以FPFQ=|nyP|=|(m+2)2+n22(m+2)|=|4m2+20m+2510(m+2)|，令FPFQ=110，得4m2+21m+27=0 ①，或4m2+19m+23=0 ②，由4m2+21m+27=0，解得m=-3，m=-94，又-√5≤m≤√5，所以方程①无解．由于△=192-4×4×23＜0，所以方程②无解，故不存在点P使FPFQ=110．（3）设M （x 0，y 0），A （-a 2c，t ），则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 0+c ，y 0），OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-a 2c，t ）．因为OA ⊥FM ，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即（x 0+c ）（-a 2c）+ty 0=0， 由题意y 0≠0，所以t =x 0+c y 0•a 2c．所以A （-a 2c ，x 0+c y 0•a 2c）．因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 0+a2c ，y 0-x 0+c y 0•a 2c），OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 0，y 0）， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 0+a 2c ）x 0+（y 0-x 0+c y 0•a 2c）y 0 =x 02+y 02+a 2c x 0-x 0+c y 0•a 2c y 0 =x 02+y 02+a 2c x 0-a 2cx 0-a 2=x 02+y 02-a 2．因为M （x 0，y 0）在圆O 上，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 即AM ⊥OM ，所以直线AM 与圆O 相切． 同理可证直线AN 与圆O 相切． 【解析】（1）（i ）将b=1代入椭圆的方程，根据椭圆的性质从而求出b ，c ；（ii ）设P （m ，n ），表示出P 点的坐标，根据FP 、FQ 的关系从而得到答案； （2）设出M （x 0，y 0），表示出A （-，t ），求出，的坐标，由•=0，求出t ，得到•的表达式，从而证出结论．本题考察了直线和椭圆的关系，考察椭圆的方程问题，考察向量的应用，本题是一道难题． 19.【答案】解：（1）f （x ）=e x -x +1的导数为f ′（x ）=e x -1，可得f （x ）在x =0处的切线斜率为0，切点为（0，2）， 可得切线方程为y =2；（2）f （x ）的导数为f ′（x ）=e x -a ，当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在R 上递增，与题意不符； 当a ＞0时，由f ′（x ）=0，可得x =ln a ，当x ＞ln a 时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＜ln a 时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 可得x =ln a 处f （x ）取得极小值a （2-ln a ），函数f （x ）的图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2， 可得a （2-ln a ）＜0，即a ＞e 2，存在1＜ln a ，f （1）=e ＞0， 存在a ＞ln a ，f （3ln a ）=a 3-3a lna+a ＞a 3-3a 2+a ＞0，又f （x ）在（-∞，ln a ），（ln a ，+∞）的单调性和f （x ）的图象在R 上不间断， 可得a ＞e 2为所求取值范围；（3）证明：e x 1-ax 1+a =0，e x 2-ax 2+a =0，两式相减可得a =e x 2−e x 1x 2−x 1，设s =x 2−x 12（s ＞0），则f ′（x 1+x 22）=ex 1+x 22-e x 2−e x 1x 2−x 1=e x 1+x 222s[2s -（e s -e -s ）]，设g （s ）=2s -（e s -e -s ），g ′（s ）=2-（e s +e -s ）＜0，可得g （s ）在（0，+∞）递减， 即有g （s ）＜g （0）=0，而ex 1+x 222s＞0，可得f ′（x 1+x 22）＜0，由f ′（x ）=e x -a 为递增函数，x 1+x 22＞√x 1x 2，可得f′(√x 1x 2)＜f ′（x 1+x 22）＜0，即原不等式成立．【解析】（1）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；（2）求得f （x ）的导数，讨论当a≤0时，当a ＞0时，判断函数的单调性，求得极值，由题意可得极小值小于0，结合函数零点存在定理，可得所求范围； （3）求得a=，设s=（s ＞0），求得f′（）=[2s-（e s -e -s ）]，设g （s ）=2s-（e s -e -s ），求得g （s ）的导数，判断单调性，结合基本不等式，可得证明．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点的判断和不等式的证明，考查转化思想和构造函数法，以及运算能力，属于难题． 20.【答案】解：（1）依题意，a 5=b 5=b 1q 5−1=1×34=81，故d =a 5−a 15−1=81−14=20，所以a n =1+20（n -1）=20n -19，令S n =1×1+21×3+41×32+⋯+(20n −19)⋅3n−1，①则3S n =1×3+21×32+⋯+(20n −39)⋅3n−1+(20n −19)⋅3n ，② ①-②得，−2S n =1+20×(3+32+⋯+3n−1)−(20n −19)⋅3n =1+20×3(1−3n−1)1−3−(20n −19)⋅3n =（29-20n ）•3n -29， 所以S n =(20n−29)⋅3n +292．（2）因为a k =b k ，所以1+（k -1）d =q k -1，即d =q k−1−1k−1，故a n =1+(n −1)q k−1−1k−1，又 b n =q n−1，所以b n −a n =q n−1−[1+(n −1)q k−1−1k−1]=1k−1[(k −1)(q n−1−1)−(n −1)(q k−1−1)]=q−1k−1[(k −1)(q n−2+q n−3+⋯+q +1)−(n −1)(q k−2+q k−3+⋯+q +1)]， （ⅰ）当1＜n ＜k 时，由q ＞1知，b n −a n =q −1k −1[(k −n)(q n−2+q n−3+⋯+q +1)−(n −1)(q k−2+q k−3+⋯+q n−1)]＜q −1k −1[(k −n)(n −1)q n−2−(n −1)(k −n)q n−1]=−(q−1)2q n−2(k−n)(n−1)k−1＜0；（ⅱ）当n ＞k 时，由q ＞1知，b n −a n =q −1k −1[(k −1)(q n−2+q n−3+⋯+q k−1)−(n −k)(q k−2+q k−3+⋯+q +1)]＞q −1k −1[(k −1)(n −k)q k−1−(n −k)(k −1)q k−2]=（q -1）2q k -2（n -k ）＞0，综上所述，当1＜n ＜k 时，a n ＞b n ；当n ＞k 时，a n ＜b n ；当n =1时，a n =b n ．【解析】（1）由q=3，b 1=1可求得b 5，从而得到a 5，由a 1=1及通项公式可求得a n ，利用错位相减法即可求得数列{a n •b n }的前n 项和； （2）由a k =b k ，即1+（k-1）d=q k-1，得，，作差b n -a n 变形，然后分1＜n ＜k 时，当n ＞k 时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；本题考查等差数列、等比数列的综合、数列求和，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度较大．21.【答案】解：∵A =[cosθ−sinθsinθcosθ]（0＜θ＜2π），B =[100k]（0＜k ＜1），∴由题意可得：BA =[100k ][cosθ−sinθsinθcosθ]=[0−1120]， ∴[cosθ−sinθksinθkcosθ]=[0−1120]，解得：{−sinθ=−1cosθ=0ksinθ=12kcosθ=0， ∵0＜θ＜2π，0＜k ＜1， ∴解得：k =12，θ=π2． 【解析】由题意及矩阵乘法的意义可得：BA==，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．本题主要考查了矩阵乘法的意义，相等矩阵等知识的应用，属于基础题．22.【答案】解：由题意，线段AB 的中点坐标为（5，π3），设点P （ρ，θ）为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos （θ-π3）=5， 所以，l 的极坐标方程为ρcos （θ-π3）=5，（6分） 令θ=0，得ρ=10，即C （10，0）．（8分）所以，△ABC 的面积为：12×（9-1）×10×sin π3=20√3．（10分） 【解析】求出线段AB 的中点坐标，在直角三角形OMP 中，ρcos （θ-）=5，可得l 的极坐标方程，求出C 点坐标，即可求出△ABC 的面积．本题考查l 的极坐标方程及△ABC 的面积，考查学生的计算能力，比较基础． 23.【答案】证明：由|b |-|a |≤|a +b |≤2，可得|b |≤|a |+2，| a 2+2 a - b 2+2 b |=|（a +b ）（a -b ）+2（a +b ）| =|a +b |•|a -b +2|≤2|a -b +2|，要证| a 2+2 a - b 2+2 b |≤4（| a |+2）， 即证|a -b +2|≤2（| a |+2）， 由于|a -b +2|≤|a |+|b |+2， 即证|a |+|b |+2≤2（| a |+2）， 即为|b |≤| a |+2，显然成立． 故原不等式成立． 【解析】运用绝对值不等式可得|b|-|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，将原不等式左边分解因式，结合分析法证明，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及分析法证明，考查推理能力，属于中档题．24.【答案】解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2）；DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得C （λ，2，0）．（1）PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（λ，2，-2），BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，2，0），向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为√1515． 可得√1515=−λ+4√λ2+8⋅√1+4，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，-2），PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，-2），平面PCD 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）．则n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即：x +y -z =0，y -z =0，∴x =0，不妨去y =z =1，平面PCD 的法向量n ⃗ =（0，1，1）．又PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，2）．故cos ＜n ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√105． 直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为：√105．【解析】（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A 为坐标原点，分别以边AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P ，A ，B ，C ，D 点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，直线和平面所成角的方法，能求空间点的坐标，向量坐标的数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，理解平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角，与直线的方向向量和法向量所成角的关系．25.【答案】解：（1）S 1=C 11a 1=a 1=1，S 2=C 21a 1+C 22a 2=2a 1+a 2=3； （2）设α=1+√52，β=1−√52，则a n =√5n −βn )，S n =√5C n i n i=1(αi −βi )=√5C n i n i=0(αi −βi )=√5∑C n i n i=0αi −∑C n i n i=0βi)=√5+α)n −(1+β)n ]=√5[(3+√52)n−(3−√52)n]， ∵3+√52⋅3−√52=1∴S n +2=√5{[(3+√52)(n +1)−(3−√52)(n +1)][(3+√52)+(3−√52)]−[(3+√52)n−(3−√52)n]} =3S n +1-S n ， ∴S n+2+S n S n+1=3∴对任意正整数n ，S n+2+S n S n+1为定值3．【解析】（1）由题意，代入可得求S 1、S 2的值；（2）首先利用级数求出S n ，找出S n+2与S n ，S n+1的关系，即可得解． 本题考查了数列求和，熟练掌握级数和组合公式是解本题的关键，属难题．。