幂函数_课件PPT

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3．(2011·陕西文)函数y＝x 3 的图像是( ) 答案 B
解析 显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”，说明函
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数是奇函数．同时由当0<x<1时，x 3 >x，当x>1时，x 3
<x，知只有B选项符合．
4．下列命题正确的是( ) A．y＝x0的图像是一条直线 B．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1) C．幂函数的图像不可能出现在第四象限 D．若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数
在 [－2ba，＋∞) 上单调递增
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) R
{y|y≤4ac4－a b2}
在 (－∞，－2ba] 上单调递增 在x∈[－2ba，＋∞)上单调递减
解析式 奇偶性
f(x)＝ax2＋bx＋ f(x)＝ax2＋bx＋
c(a>0)
c(a<0)
b＝0时为偶函数，b≠0时为 非奇非偶
(3)如果α<0，则幂函数图像在区间(0，＋∞)上是 减函数．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像 在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为 奇函数，当α为偶数时， 幂函数为 偶函数．
教材回归
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示， 确定下列各式的正负：b______，ac______，a－b＋ c______.
2．二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图像
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
解析式 定义域
值域
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) R
{y|y≥4ac4－a b2}
在 (－∞，－2ba] 上单调递减 单调性
【答案】 C
探究3 幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定 不会出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要 看奇偶性；在(0,1)上幂函数中指数愈大，函数图像愈靠 近x轴(简记“指大图低”)在(1，＋∞)上，幂函数中指数 越大，函数图像越远离x轴．
思考题3 如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内 的图像，则( )
A．－1<n<0<m<1 C．－1<n<0，m>1
B．n<－1,0<m<1 D．n<－1，m>1
【解析】 借助y＝x，y＝x－1的图像易知，－ 1<n<0,0<m<1，故选A.
【答案】 A
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【解析】 (1)把1看作1 2 ，考察幂函数y＝x 2 ，在
(0，＋∞)上它是增函数．
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∵0<0.9<1<1.1，∴0.9 2 <1 2 <1.1 2 .
题型三 幂函数的图像和性质
例3 如图，为幂函数y＝xn在第一象限的图像，则C1、 C2、C3、C4的大小关系为( )
A．C1>C2>C3>C4 B．C2>C1>C4>C3 C．C1>C2>C4>C3 D．C1>C4>C3>C2
【解析】 观察图形可知，C1>0，C2>0，且C1>1， 而0<C2<1，C3<0，C4<0，且C3<C4.
答案 C
解析 A中y＝x0的图像是一条直线去掉了(0,1)点，B 中y＝x－1不过(0,0)点；
D中y＝x－1是(－∞，0)，(0，＋∞)上的减函数．
5．(2012·武汉模拟)已知二次函数f(x)图像的对称轴
是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则
()
A．x0≥b
B．x0≤a
(2)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
0＝16a＋4b＋c， 则2＝c，
－2ba＝－1，
a＝－112， 解得b＝－16，
c＝2.
∴所求抛物线解析式为y＝－112x2－16x＋2.
【答案】 (1)y＝－12x＋2 (2)y＝－112x2－16x＋2
题型二 二次函数的图像与性质
例2 设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值 为g(a)，则g(a)＝________.
(2)若h∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}， ymax＝max{f(m)，f(n)}．
3．二次函数的综合应用． (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔aΔ><00 ， ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔Δa<<00 .
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的分布，即 相应二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点分布，也即抛物线 与x轴交点的分布，通过数形结合转化为不等式组求 解．注意开口方向、对称轴及纵截距的特点，能有效减 少讨论．
解之得：a＝－4，
b＝4，c＝7.
解法二：设f(x)＝a(x－k)2＋8， 由题意知ff2－＝1a＝2a－1k＋2k＋28＋＝8＝－1－1 解之得：a＝－4，k＝12. 解法三：∵f(2)＝f(－1)， ∴二次函数的对称轴为2＋2－1＝12， ∴可设f(x)＝a(x－12)2＋8，
∵f(2)＝－1，∴a·(2－12)2＋8＝－1，∴a＝－4. ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
【答案】 f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7
探究1 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用 待定系数法，选择规律如下：
思考题1 如图，抛物线与直线y＝k(x－4)都经过坐 标轴的正半轴上A、B两点，该抛物线的对称轴x＝－1与 x轴相交于点C，且∠ABC＝90°，求：
(1)直线AB的解析式； (2)抛物线的解析式．
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即0.9 2 <1<1.1 2 .
【答案】
探究4 利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几 点：
(1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的 形式．
(2)构造的幂函数，要分析其单调性． (3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到． (4)若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较 其大小．
综上，g(a)＝a－2－1，2aa，≥－1. 2<a<1， 【答案】 g(a)＝a－2－1，2aa，≥－1.2<a<1，
探究2 (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函 数最值的影响．
(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)或对称 轴方程x＝m，分三个类型：
【思路】 函数图像的对称轴是直线x＝1，分对称轴在 区间[－2，a]内，对称轴在区间[－2，a]右边分别解决．
【解析】 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a] 内，应进行讨论． 当－2<a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x ＝a时，ymin＝a2－2a； 当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上 单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
解之得：a＝3或a＝－2(全舍)．
当a2≥1即a≥2时函数在[0,1]上单增， ∴x＝1时最大，即－1＋a－a4＋12＝2， 解之得a＝130符合条件．
当a2≤0，即a≤0时，函数在[0,1]上单减． ∴x＝0时最大，即－a4＋12＝2，∴a＝－6. 综上所述：a＝－6或a＝130.
【答案】 a＝－6或a＝130
①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动．
思考题2
已知函数y＝－x2＋ax－
a 4
＋
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在区间[0,1]
上的最大值是2，求实数a的值．
【解析】
∵函数y＝－x2＋ax－
a 4
＋
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对应的图像开
口向下，对称轴为a2.
∴当0<a2<1即0<a<2时，y＝－(x－a2)2＋a4＋12 ∴ a42－a4＋12＝2.
幂函数
二次函数与幂函数
1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．
2．会求二次函数在闭区间上的最值．
3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式
之间的联系去解决有关问题．
4．了解幂函数的概念；结合函数 y＝x，y＝x2，y＝
x3，y＝1x，y＝x
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的图像，了解它们的变化情况．
课本导读
1．二次函数的三种表示形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k (顶点坐标为(h，k))； (3)双根式： y＝a(x－x1)(x－x2) (图像与x轴的交点为 (x1,0)，(x2,0))．
函数
对称性 图像关于直线 x＝－2ba 成轴对称图形
3.幂函数的定义 函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．幂函数的图像(如下图)；
5．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)有定义，并且图像都通 过点 (1,1)． (2)如果α>0，则幂函数的图像过原点，并且在区间 [0，＋∞)上为 增函数．
C．x0∈(a，b)
D．x0∉(a，b)
答案 D
解析 若x0∈(a，b)，f(x0)一定为最大值或最小值.
题型一 二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．
【解析】 解法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c.
4a＋2b＋c＝－1 a－b＋c＝－1 由题意知： a<0 4ac4－a b2＝8