单调高中作文 求函数单调区间的步骤
单调高中作文求函数单调区间的步骤
三年后的我回归了。
其实之前我是一个很堕落的人，至少我自己是这么认为的。那个时候整天对着电脑打游戏，即使打赢了也没有任何成就感。我不过是想宣泄一下空虚而已，寂寞到了一定程度的时候，我是会堕落自己的。但也不是活得没有节制。
那个时候还很年少轻狂，但就是因为这样才结交了很多好朋友。只是虚拟的网络而已，但那个时候真的是每个人轮流开一个房间一起进去练习身法。从中午聊到晚上，其实不过都是在畅谈自己对未来的迷茫。我们都很像却又很不一样。
海说她家在临海，然后问我们是哪里的人。其实我很不爱透露真实信息，我就沉默着对着墙壁划刀子。那个时候还以为临海是一座城市，但我还是止住了自己的好奇心没有问。我也不太喜欢问别人的个人信息，可能大家保持神秘相处也是一种不错的方式。
再接下来是寒笙。其实除了小流氓就她跟我玩得最好，可惜后来不知道是我删了他还是她把我删了。她身法和技术都比我好，一直带着我打游戏，还来找我“单挑”。但每次我都输，偶尔赢了几次都是她让着我的。跟她玩久了我技术也好了，再跟她单挑时已经是平分秋色了。我一直都很信任她，她每次加战队都邀请我一起去，我意思一下就同意了，但没几天就退出来。她也老是退战队，加了退退了加。其实她给我最大的印象是她很喜欢改ID，如果她不喜欢改ID的话，现在应该还能搜到她吧？
然后再一个就是我很对不起小流氓。她真的对我很好，但是后来因为一些原因，每一次都让她失望。刚开始认识她的时候我是很频繁地去找她的，但后来又变成她频繁地来找我了。那个时候还觉得她好烦，刚好寒笙又来邀请我去玩，所以对她也就置之不理了。她曾经用外号喊我ID说“BB，我来找你玩了。”我总是推辞她说我有事去不了，但其实我挺闲的。她一次又一次地等我。后来我改了好多次ID，她也不再来找我了。最后是她把我删了吧，她可能以为我是个陌生人，毕竟系统更新，私聊记录也被清空了，她怕是不认得我了。其实，很对不起她。在我没有说话，或者没有存在感的时候，她就喊我出来。她战绩一开始比我好，但后来又被我压下去了。为了配合我玩她开始玩他不喜欢地模式，只不过是想配合我能好好地一起玩。
玩过最后一局刀锋我就彻底退了。后来回归时已经是三年之后。好友列表已经被我清空，我再重温以前的游戏时，手感没了，人也变得陌生了，我也变得不善言辞了。在那里都是一群没有素质互相对骂的人，我感到很失望。
回不到过去的日子了。那个时候虽然很堕落，但起码有他们在我身边，即使只是以虚拟朋友的身法在陪我，但足够了。至少我不会觉得空虚。
日子开始变得单调起来。就算是写作业也是寂寞的，毕竟作业不会说话，而我只是在自言自语。
我决定一切重头开始。等拼过这个期末了，我希望还能在这个“堕落”的暑假里，遇见一些像海，寒笙，小流氓之类的人。尽管我变得不是那么完美，但已经懂得体贴。
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利用导数求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？
小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则
).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
函数的单调性·典型例题精析
2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝ ＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是． 而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范
围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ， 若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜ ＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2?(-∞，+∞)，x1 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)(' >x f ，那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0)(' 二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数)(x f 在点x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f <，就说)(0 x f 是函数的一 个极大值，记作()x y f 0=极大值 ，x 0是极大值点 2、极小值 一般地，设函数)(x f 在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值，记作 ()x y f 0=极小值 ，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而)()( 1 4 x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”，则x 是)(x f 的极大值点，()x f 0 是极大值；如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 )(' x f 函数的单调区间 单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识： 1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ?，若对于1212,,x x I x x ?∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。若对于1212,,x x I x x ?∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。 2、导数与单调区间的联系 （1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ??∈≥， 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类 型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。 （2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减 ()',()0x a b f x ??∈≤， （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()' f x在(),a b的单调性呢？如果() f x不 x a b f x ?∈，的符号能否推出() ,() 是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出() f x的导函数'() f x （3）令'()0 f x的单调增（或减） f x>（或0 <），求出x的解集，即为() 区间 （4）列出表格 4、求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对x取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 （3）一般可令'()0 f x>，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若() f x不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若'()0 f x是定义域上的增函数， f x>的解集为定义域，那么说明() 若'()0 f x>的解集为?，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么() f x是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学 (一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习： (二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1 高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减 y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 例题求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R. 4.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。 例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为（-，-1] 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 复合函数单调性的判定方法 定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同． 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b， 则有m＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x 1 )] ＞f[g(x 2 )]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数． (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b，则有m ＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x 1 )]＜ f[g(x 2 )]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数． 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性． 例1讨论函数f(x)＝log 0.5 (x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为 y＝log 0.5 u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋ ∞)上为增函数．又y＝log 0.5 u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间． 解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数． 推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数． 函数单调性的判断或证明方法. （ 1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、 配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。 例 1. 判断函数在(－1，＋∞ )上的单调性，并证明． 解：设－ 1 所以 所以 设 则， 因为， 所以 所以 所以 ， 同理，可得 （2）运算性质法 . ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数， 增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增 +增=增；减 +减 =减；增 -减=增，减 -增=减） ②若. ③当函数 ④ 函数 . 二者有相 反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（ 3）图像法 . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例 3. 求函数的单调区间。 解： 证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思 已知函数单调性求参数范围 教学目标 1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题; 2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法; 3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点 已知单调性,利用导数求参数范围. 教学难点 不同问题的处理方法. 教学过程 (一)知识梳理 函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ). 1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则? ??==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立. (二)典例分析 例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值. 例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围. 例3 函数)0(22 1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围. 例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围. 例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围. (三)课时小结 本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围. (四)备用练习 1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值. 2.函数)0(1)(2>+=a ax e x f x 在R 上为单调函数, 求a 的取值范围. 3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间） （3,0上有极值点，求参数k 的取值范围。 (五)作业布置 <<状元之路>>第48页 11,12 判断增、减函数常用的两种方法 有关函数的单调性问题是高考久考不衰的热点，判断函数单调性的基本方法有：①定义法②图像法③复合函数法④导数法等等。而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。今天我们主要来讲这两种方法，我们先来讲定义法。 现在一起来回顾下函数的单调性是怎么定义的。 定义：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个 自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或 都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为： （1）取值：设21,x x 为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如21x x <； （2）作差：计算)()(2 1x f x f -，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形； （3）定号：判断)()(2 1x f x f -的符号，若不能确定，则可分区间讨论； （4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。 好，现在根据归纳出的思路来做几道题 例1试讨论函数2 ()=-1x f x x [(-1,1)]x ∈的单调性。 解：设12 -1<<<1x x 则122112122 2221212 (-)(+1)()-()=-=-1-1(-1)(-1)x x x x x x f x f x x x x x . 12-1<<<1,x x Q 1221<1,<1,->0,x x x x ∴221212-1<0,-1<0,<1x x x x ，即12-1<<1x x ， ∴12+1>0x x 21122212(-)(+1)>0(-1)(-1)x x x x x x ∴ . 所以函数为减函数。 这个时候我们在题目上做个小变动，加个a 之后函数的单调性还一样吗我们同样可以用定义来证明。好，自己先动手做做。 例2试讨论函数2 ()=-1ax f x x [(-1,1)]x ∈的单调性. 解：设12 -1<<<1x x 求正弦、余弦函数的单调区间 三维目标： 1、知识与技能 理解正弦函数、余弦函数的性质，并能在解题中应用。 2、过程与方法 根据正弦曲线和余弦曲线，总结出这两种函数的单调性，进一步体验“形”对“数”的体现作用。 3、情感、态度与价值观 感受数形结合思想的重要作用，养成多动手、多观察、勤思考、善总结的习惯。 教学重点 求正弦、余弦函数的单调区间 教学难点 求复合型正弦、余弦函数的单调区间 预习案 1、请在下列直角坐标系中分别画出y=sinx和y=cosx的图象 y=sinx y=cosx 1 2、观察两个函数的图象，分别写出函数的单调区间 （1）y=sinx的单调增区间为； y=sinx的单调减区间为；（2）y=cosx的单调增区间为； y=cosx的单调减区间为； 探究案 的单调增区间； 例题求函数y=sin x+π 6 的单调减区间； 变式1 求函数y=sin2x+π 6 的单调减区间； 变式2 求函数y=?sin2x+π 6 变式3 求函数y=sin ?2x+π 6 的单调减区间； 变式4 求函数y=sin2x+π 6 在区间 ?π，π 上的单调增区间； 变式5 求函数y=sin2x+π 6 +1区间 ?π，π 上的单调区间； 习题案 1、使函数y=sin ?2x+π 6 为增函数的区间是（） A、0，π 3B、π 12 ，7π 12 C、π 3 ，5π 6 D、π 6 ，π 2、函数y=3sin x?π 4 的一个单调递减区间是（） A、 ?π 4，π 2 B、 ?π 4 ，3π 4 C、 ?3π 4 ，π 4 D、 ?5π 4 ，?π 4 3、下列关于函数y=4sin x，x∈ ?π，π 的单调性的叙述正确的是（B ） A、在 ?π，0上是增函数，在0，π 上是减函数 B、在 ?π 2，π 2 上是增函数，在 ?π，?π 2 及π 2 ，π 上是减函数 C、在0，π 上是增函数，在 ?π，0上是减函数 D、在 ?π，?π 2及π 2 ，π 上是增函数，在 ?π 2 ，π 2 上是减函数 3 求函数最值的常用以下方法： 1．函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现． 例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为1 2，则a ＝________. 【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值． 【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝1 2 ，a ＝4.故填4. 【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ] 上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． 例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________． 【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)， ∴x＝1－t2， ∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t v1.0可编辑可修改 函数单调性的判定方法 学生：日期 ;课时：教师： 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地，设 f 为定义在D上的函数。若对任何x1、x2 D ，当 x1x2时，总有 (1) f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f 为D上的增函数，特别当成立严格不等 f (x1 ) f ( x2 ) 时，称 f 为D上的严格增函数； (2) f (x1) f ( x2 ) ,则称 f 为D上的减函数，特别当成立严格不等式 f ( x1) f (x2 ) 时，称 f 为D上的严格减函数。 利用定义来证明函数y f ( x) 在给定区间 D 上的单调性的一般步骤： （ 1）设元，任取x1,x2 D 且 x1x2； （2）作差f (x1) f (x2)； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （ 4）断号（即判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 差与0的大小）； （ 5）定论（即指出函数 f (x)在给定的区间D上的单调性）。 例 1. 用定义证明 )3 f x x a a R ,) 上是减函数。 (() 在( 证明：设 x1,x2(,) ，且 x1x2，则 f ( x1 ) f (x2 )x13 a ( x23a)x23x13( x2x1 )( x12x22x1 x2 ). 由于 x12x22x1 x2(x1x2)23 x220 ， x2x10 24 则 f (x1 ) f ( x2 )( x2x1 )( x12x22x1 x2 )0 ，即f ( x1) f ( x2 ) ，所以 f (x) 在,上是减函数。 v1.0可编辑可修改 例 2. 用定义证明函数 f ( x)x k 0)在 (0,) 上的单调性。 ( k x 证明：设 x1、 x2 (0,) ，且x1x2，则 f ( x1 ) f (x2 )( x1k ) ( x2k )(x1x2 ) ( k k ) x1x2x1x2 (x1x2 ) k( x 2 x 1 ) ( x1x 2 ) k( x 1 x 2 ) ( x1x2)( x1 x2 k ) ，x1x2x1 x2x1 x2 又 0 x1x2所以 x1x20 ， x1 x20 ， 当 x1、x2(0,k ] 时x1x2k0 f ( x1 ) f (x2 )0 ，此时函数f ( x) 为减函数；当 x1、x2( k ,) 时x1x2k0 f ( x1 ) f ( x2 )0 ，此时函数 f (x) 为增函数。 综上函数 f ( x)x k (k0) 在区间(0,k ] 内为减函数；在区间 (k , ) 内为增函数。x 此题函数 f ( x) 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1 x2k 与0的大小关系 ( k0) 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1 , x2当 x1x2时，容易得出 f ( x1 ) 与f( x2 ) 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比 较清晰，但通常过程比较繁琐。 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性 结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表： 函数函数表达式单调区间特殊函数图像 一当 k0 时，y在R上是增函数； 次 函y kx b(k0) 0 时，y在R上是减函数。 数当 k利用导数求函数的单调区间、极值和最值
求函数的单调区间
函数单调性方法和各种题型
高一数学中函数的单调性4种求法
用导数求函数的单调性
(完整版)复合函数单调性的判定方法
函数单调性地判断或证明方法
证明函数单调性的方法总结
已知函数单调性求参数范围公开课教案
判断增减函数的两种常用方法
求正余弦函数的单调区间
求函数最值的方法归纳
函数单调性的判定方法(高中数学).docx