三角函数应用题练习及问题详解

三角函数的应用题

第一阶梯

[例1]如图，AD ∥BC ，AC ⊥BC ，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。

解：∵∠DAC=90°

由勾股定理，有

CD 2=AD 2+AC 2

∵AD=3，DC=5

∴AC=4

∵∠B=30°

∴AB=2AC

∴AB=8

[例2]如图，△ABC 中，∠B=90°，D 是BC 上一点，且AD=DC ，若tg ∠DAC=41,求tg ∠BAD 。

探索：已知tg ∠DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD 的正切值需要满足怎样的条件？ 点拨：由于已知中的tg ∠DAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D 点作AC 的垂线。

又要求∠BAD 的正切值应已知Rt △BAD 的三边长，或两条直角边AB 、BD 的长，根据已知可知没有

提

供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg ∠DAC 的条件。由于AD=DC ，即∠C=∠DAC ，这时也

可

把正切值直接移到Rt △ABC 中。

解答：过D 点作DE ⊥AC 于E ，

41DAC =∠tg Θ 且AE DE

DAC =∠tg

设DE=k ，则AE=4k

∵AD=DC,

∴∠DAC=∠C ，AE=EC

∴AC=8k

∵41

==BC AB tgC

设AB=m ，BC=4m

由勾股定理，有

AB 2+BC 2=AC 2

∴k m 1717

8=

k BC 1717

32=∴

由勾股定理，有

CD 2=DE 2+EC 2

k CD 17=∴

k BD 1717

15=∴

由正切定理，有

.815=∠∴=∠BAD tg AB DB BAD tg

[例3]如图，四边形ABCD 中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB 。

探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB 应放在什么图形中。

点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，

所以可证△ABC 是Rt △，因此可求sinB 。

解：连结AC

∵∠D=90°

由勾股定理，有

AC 2=CD 2+CD 2 ∵AD=3，CD=4，

∴AC=5

∵AB=13，BC=12

∴132=122+52

∴∠ACB=90° 由正弦定义，有

135sin sin =∴=

B AB A

C B 第二阶梯

[例1]如图，在河的对岸有水塔AB ，今在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，前进20米后到D 处，又测得A 的

仰角为45°，求塔高AB 。

探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C 、D 两处测得仰角的含义是

什么？怎样用CD 的长？

点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如

何利用两个仰角及CD 长，由于塔身与地面垂直，且C 、D 、B 三点共线这时可以构成一个

直角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。

解：根据仰角的定义，有

∠ACB=30°，∠ADB=45°

又AB ⊥CB 于B 。 ∴∠DAB=45°

∴DB=AB

设AB=x

由正切定义，有

20)13(,20)13(.=-∴=-=∴=∠=

∠x CD x CD CB

AB ACB tg DB

AB

ADB tg Θ及

解得)13(10+=x

即塔高)13(10+=AB 答：塔高AB 为)13(10+米。

第三阶梯

[例1]已知等腰三角形的顶点为A ，底边为a ，求它的周长及面积。

探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a ，

能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？

点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，

再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。

设已知△ABC 中，AB=AC ，BC=a （如图）

解：过A 点作：AD ⊥BC 竽D 点，设∠BAD=α

∵AB=AC

∴BD=CD=α=∠=∠CAD BAD a ,2 根据正弦定义，有

αααsin 2.sin 2sin 2sin a AC a a AB AB

BD

BAD ====∠同理即

∴AB+AC+BC=a+αsin a

由余切定义，有

DB AD

BAD ctg =∠

∴AD=αctg a ⋅2

∵

AD BC S ABC ⋅=∆21 ∴

αctg a S ABC ⋅=∆42

注意：也可设∠BAC=α，则∠BAD=2α。

[例2]有一块矩形纸片ABCD ，若把它对折，B 点落在AD 上F 处，如果DC=6cm ，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，

求折痕CE 长。

探索：根据已知条件图形对折，B 点落在F 点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么

图形关系？另知DC 的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问

题？

点拨：由于F 点的形成是因对折B 点而形成的，因此可有△EBC ≌△FEC ，同时又可有△AEF ∽△CDF 。

根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE 的长。

解：根据已知条件，有

△EBC ≌△FEC ∴EB=EF ，BC=FC ，∠ECB=∠ECF

∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ

∴∠ECF=θ

由余弦定义，有

CF CD ADC =∠cos ∵∠ADC=90°－2θ ∴

θ2sin CD CF = 由余弦定义，有

CE CF FCE =∠∴cos θθcos 2sin 6

=∴CE [例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°，

又航行了半小时，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离，（结果不取近似值）