有限元分析入门
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的方法 易于与计算机辅助设计，制造系统集成
应用
范围：
机械工程（航天，建筑， 汽车）
结构分析（静态/动态， 线性/非线性）
流体分析 电磁场分析
作用
增强准确性 强化设计 确定关键参数 可视化建模 减少实物建模 快速低成本设计周期
T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作， 认识到有限单元法就是变分原理中Ritz 近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
有限单元法的数学基础（2）
1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写成变分形式的 所有场问题，都可以用与固体力学有限 单元法的相同步骤求解。
根据约束条件， u1 0
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与
第n+1个结点上的外载荷平衡，
Nn
qLn 2
un
un1
qL2n 2EA
建立所有结点的力平衡方程，再加上约束条件 可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出 n+1个结点的位移。
用有限元方进行结构分析的过程
网格划分
单元分析
将结构划分为带节点的单 元
结构力学
有限元理论
有限元软件
什么是有限元方法？
思想：将一个复杂问题分解为许多可以求解的小 问题
例：房子和砖，圆的面积求解
1.将圆划分为小三角形单元
单元i i
R
2.求每个三角形面积=
1 2
R
2
sin(i )
3.圆的面积=
S N
N
Si
i 1
1 R 2N
2
sin(2 N
)
N
R
2
数学概念
有限元方法是为偏微分方程或者积分方程寻 求近似解的一种数值方法
描述每一单元的物理特性
将所有单元通过节点连接 起来，得到求解整体结构 的近似方程组
解方程组求得每一节点的 未知量（如位移）
求解指定单元的其他未知 量（如应力，应变）
整体分析
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划 分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称为 网格。
淬火3.06 min 时的温度、组织分布
课程目标
理解有限元的基本概念 掌握课程中提到的不同类型单
元的性质及用途 能够为具体问题建立合适的有
限元模型 能解释分析结果并预测结果的
准确性（理解物理过程） 明白有限元方法的局限性（数
值计算方法）
为什么用有限元方法？
有限元方法的意义
设计分析：手算，实验和计算机模拟 有限元分析是计算机模拟中应用最广泛
q(L x )dx EA
u(x) x N (x)dx q (Lx x2 )
0 EA EA
2
自重作用下等截面直杆的有限单元法解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
平面桁架结构，由6个承受 轴向力的“杆单元”组成。
1889年建成的Effiel塔，由 18036个部件组成
大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计。
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的 基本方程，即微分方程和相应的边界条件。 例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场 问题等。
热传导问题的控制方程与换热边界条件如 下：
SYSWELD
http://www.esi-group.com/products/sysweld/
飞箭公司的有限元程序自动生成系统FEPG
http://www.fegensoft.com/
1.4.2应用实例
有限单元法已经成功地应用在以下一些领 域：
固体力学 包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron）或 六面体（Hexahedron）单元的网格
Байду номын сангаас
四面体4结点单元
六面体8结点单元
1.3.1网格划分
三维实体的四面体 单元划分
三维实体的六面体 单元划分
1.3.1网格划分
通常把平面问题划分成三角形（triangular)或四边 形(quadrilateral)单元的网格
计算方法：大型线性方程组的解法，非线性问题的解 法，动力问题计算方法。
高精度单元 多物理场耦合与复杂材料模型
目前使用较多的通用有限元软件如下表所列
软件名称
MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介
著名结构分析程序，最初由NASA研 制，由MSC维护开发 动力学分析程序
x
T x
y
T y
z
T z
Q
c
T t
λ
T n
h Tf
T
300MW汽轮机低压转子淬火
有限单元法的数学基础（1）
数学家们则发展了微分方程的近似解法， 包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。
在1963年前后，经过J. F. Besseling,
R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher,
1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin 法 ， 导 出 标准的有限元过程来求解非结构问题。
我国学者的贡献
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱令希（余能原理） 钱伟长（广义变分原理） 胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论）
iui2
q 2EA
(1
1
i
)L2i
4）建立结点的力平衡方程
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
Ni
Ni1
q(Li
2
Li 1 )
EA(ui1 Li
ui )
EA(ui2 ui1 ) Li1
q 2 (Li
Li1 )
令
i
Li Li1
ui
(1
i )ui1
iui2
q 2EA
(1
1
i
)L2i
传热学 电磁场 流体力学
转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车 工程研究院动，用MSC/Nastran完成）
金属体积成形过程的分析（用Deform软 件完成）
型材挤压成形模拟
T形锻件的成形模拟
焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布 与轴向残余应力
复杂形状工件的组织转变预测（用 NSHT3D完成）
3）把外载荷集中到节点上
把第i单元和第i+1单 元重量的一半，集中 到第i+1结点上
4）建立结点的力平衡方程
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
Ni
Ni1
q(Li
2
Li 1 )
EA(ui1 Li
ui )
EA(ui2 ui1 ) Li1
q 2 (Li
Li1 )
令
i
Li Li1
ui
(1
i )ui1
P1: u"(x) f (x) in (0,1)
u(0) u(1) 0
P
2
:
u {
x
x
(
x,
y)
u
yy
(
x,
y
)
f (x, y) in
u0
on
误差 u(x)
1.1有限单元法的形成
两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元 体的组合。 例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框 架和桁架结构。
有限元分析入门
Introduction to Finite Element Analysis
课程内容
有限元的思想 有限元的方法
杆件结构的有限元法 平面结构的有限元法 有限元软件 ANSYS软件建模和分析的方法
考试安排
笔考 （理论） 机考（实践操作）
第一章 绪论
结构力学，有限元理论与有限元软件
ANSYS中国
http：//www.ansys.com.cn/
ABAQUS
http://www.abaqus.com/
ADINA http://www.adina.com/
DEFORM
http://www.deform.com/
AUTOFORM
http://www.autoform.com/
（tensor）来表示
Fe K e e
1.3.3整体分析
对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点 外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移， 这个过程为整体分析。
在边界结点i上受到集中力 作用。结点i是三个单元的 结合点，因此要把这三个单 元在同一结点上的结点力汇 集在一起建立平衡方程。
1.3.3整体分析
非线性分析软件
通用结构分析软件
非线性分析软件
非线性分析软件
一些专用的有限元软件如下表所列
软件名称 Deform Autoform
DYNAFORM
SysWeld
简介 金属体积成形分析 金属板料成形分析 金属板料成形分析 焊接与热处理分析
MSC中国
http://www.mscsoftware.com.cn/
i结点的结点力：
U (1) i
U
(2) i
U
(3) i
U
(e) i
e
V (1) i
Vi(2)
V (3) i
Vi ( e )
e
i结点的平衡方程：
U
(e) i
e
Vi ( e )
e
Pxi Pyi
有限元与计算机
计算机模拟步骤
前处理（建模，加载荷和边界条件） 求解（建立并求解方程组） 后处理（归纳并显示结果）
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。
试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x) q(L x)
x
E x
q (L A
x)
x
du dx
q (L EA
x)
du(x )
N(x )dx EA
2）用单元节点位移表示单元内 部位移
第i个单元中的位移用所包含的
结点位移来表示。
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
ui 第i结点的位移
xi 第i结点的坐标
第i个单元的应变
i
du dx
ui1 ui Li
应力 内力
i
E i
E(ui1 ui ) Li
Ni
A i
EA(ui1 Li
ui )
三角形3节点单元
四边形4节点单元
1.3.1网格划分
平面问题的三角形单元划分
平面问题的四边形单元划分
1.3.2单元分析 单元的所有结点位移、结点力，可以表示
为结点位移、结点力向量（vector）
ui
vi
e
u v
j j
um
vm
Ui
Vi
Fe
U
V
j j
U
m
Vm
单元的结点位移和结点力之间的关系用张量
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基 础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论 基础。--《数学辞海》第四卷
1.2 有限单元法的基本思路
将连续系统分割成有限个分区或单元 用标准方法对每个单元提出一个近似
解 将所有单元按标准方法组合成一个与
原有系统近似的系统。
自重作用下等截面直杆的解
商业有限元软件
ANSYS(通用) SDRC/I-DEAS（复杂模型） PATRAN/NASTRAN（通用） ABAQUS（非线性/复杂） Dyna-3D（碰撞）
1.4有限单元法的进展与应用
1.4.1 主要研究领域与有限元软件
从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论 研究，不但拓展了有限单元法的应用领域，还开 发了许多通用或专用的有限元分析软件。 主要的研究领域有：
应用
范围：
机械工程（航天，建筑， 汽车）
结构分析（静态/动态， 线性/非线性）
流体分析 电磁场分析
作用
增强准确性 强化设计 确定关键参数 可视化建模 减少实物建模 快速低成本设计周期
T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作， 认识到有限单元法就是变分原理中Ritz 近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
有限单元法的数学基础（2）
1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写成变分形式的 所有场问题，都可以用与固体力学有限 单元法的相同步骤求解。
根据约束条件， u1 0
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与
第n+1个结点上的外载荷平衡，
Nn
qLn 2
un
un1
qL2n 2EA
建立所有结点的力平衡方程，再加上约束条件 可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出 n+1个结点的位移。
用有限元方进行结构分析的过程
网格划分
单元分析
将结构划分为带节点的单 元
结构力学
有限元理论
有限元软件
什么是有限元方法？
思想：将一个复杂问题分解为许多可以求解的小 问题
例：房子和砖，圆的面积求解
1.将圆划分为小三角形单元
单元i i
R
2.求每个三角形面积=
1 2
R
2
sin(i )
3.圆的面积=
S N
N
Si
i 1
1 R 2N
2
sin(2 N
)
N
R
2
数学概念
有限元方法是为偏微分方程或者积分方程寻 求近似解的一种数值方法
描述每一单元的物理特性
将所有单元通过节点连接 起来，得到求解整体结构 的近似方程组
解方程组求得每一节点的 未知量（如位移）
求解指定单元的其他未知 量（如应力，应变）
整体分析
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划 分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称为 网格。
淬火3.06 min 时的温度、组织分布
课程目标
理解有限元的基本概念 掌握课程中提到的不同类型单
元的性质及用途 能够为具体问题建立合适的有
限元模型 能解释分析结果并预测结果的
准确性（理解物理过程） 明白有限元方法的局限性（数
值计算方法）
为什么用有限元方法？
有限元方法的意义
设计分析：手算，实验和计算机模拟 有限元分析是计算机模拟中应用最广泛
q(L x )dx EA
u(x) x N (x)dx q (Lx x2 )
0 EA EA
2
自重作用下等截面直杆的有限单元法解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
平面桁架结构，由6个承受 轴向力的“杆单元”组成。
1889年建成的Effiel塔，由 18036个部件组成
大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计。
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的 基本方程，即微分方程和相应的边界条件。 例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场 问题等。
热传导问题的控制方程与换热边界条件如 下：
SYSWELD
http://www.esi-group.com/products/sysweld/
飞箭公司的有限元程序自动生成系统FEPG
http://www.fegensoft.com/
1.4.2应用实例
有限单元法已经成功地应用在以下一些领 域：
固体力学 包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron）或 六面体（Hexahedron）单元的网格
Байду номын сангаас
四面体4结点单元
六面体8结点单元
1.3.1网格划分
三维实体的四面体 单元划分
三维实体的六面体 单元划分
1.3.1网格划分
通常把平面问题划分成三角形（triangular)或四边 形(quadrilateral)单元的网格
计算方法：大型线性方程组的解法，非线性问题的解 法，动力问题计算方法。
高精度单元 多物理场耦合与复杂材料模型
目前使用较多的通用有限元软件如下表所列
软件名称
MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介
著名结构分析程序，最初由NASA研 制，由MSC维护开发 动力学分析程序
x
T x
y
T y
z
T z
Q
c
T t
λ
T n
h Tf
T
300MW汽轮机低压转子淬火
有限单元法的数学基础（1）
数学家们则发展了微分方程的近似解法， 包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。
在1963年前后，经过J. F. Besseling,
R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher,
1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin 法 ， 导 出 标准的有限元过程来求解非结构问题。
我国学者的贡献
陈伯屏（结构矩阵方法） 钱令希（余能原理） 钱伟长（广义变分原理） 胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论）
iui2
q 2EA
(1
1
i
)L2i
4）建立结点的力平衡方程
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
Ni
Ni1
q(Li
2
Li 1 )
EA(ui1 Li
ui )
EA(ui2 ui1 ) Li1
q 2 (Li
Li1 )
令
i
Li Li1
ui
(1
i )ui1
iui2
q 2EA
(1
1
i
)L2i
传热学 电磁场 流体力学
转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风汽车 工程研究院动，用MSC/Nastran完成）
金属体积成形过程的分析（用Deform软 件完成）
型材挤压成形模拟
T形锻件的成形模拟
焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布 与轴向残余应力
复杂形状工件的组织转变预测（用 NSHT3D完成）
3）把外载荷集中到节点上
把第i单元和第i+1单 元重量的一半，集中 到第i+1结点上
4）建立结点的力平衡方程
对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
Ni
Ni1
q(Li
2
Li 1 )
EA(ui1 Li
ui )
EA(ui2 ui1 ) Li1
q 2 (Li
Li1 )
令
i
Li Li1
ui
(1
i )ui1
P1: u"(x) f (x) in (0,1)
u(0) u(1) 0
P
2
:
u {
x
x
(
x,
y)
u
yy
(
x,
y
)
f (x, y) in
u0
on
误差 u(x)
1.1有限单元法的形成
两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元 体的组合。 例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框 架和桁架结构。
有限元分析入门
Introduction to Finite Element Analysis
课程内容
有限元的思想 有限元的方法
杆件结构的有限元法 平面结构的有限元法 有限元软件 ANSYS软件建模和分析的方法
考试安排
笔考 （理论） 机考（实践操作）
第一章 绪论
结构力学，有限元理论与有限元软件
ANSYS中国
http：//www.ansys.com.cn/
ABAQUS
http://www.abaqus.com/
ADINA http://www.adina.com/
DEFORM
http://www.deform.com/
AUTOFORM
http://www.autoform.com/
（tensor）来表示
Fe K e e
1.3.3整体分析
对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点 外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移， 这个过程为整体分析。
在边界结点i上受到集中力 作用。结点i是三个单元的 结合点，因此要把这三个单 元在同一结点上的结点力汇 集在一起建立平衡方程。
1.3.3整体分析
非线性分析软件
通用结构分析软件
非线性分析软件
非线性分析软件
一些专用的有限元软件如下表所列
软件名称 Deform Autoform
DYNAFORM
SysWeld
简介 金属体积成形分析 金属板料成形分析 金属板料成形分析 焊接与热处理分析
MSC中国
http://www.mscsoftware.com.cn/
i结点的结点力：
U (1) i
U
(2) i
U
(3) i
U
(e) i
e
V (1) i
Vi(2)
V (3) i
Vi ( e )
e
i结点的平衡方程：
U
(e) i
e
Vi ( e )
e
Pxi Pyi
有限元与计算机
计算机模拟步骤
前处理（建模，加载荷和边界条件） 求解（建立并求解方程组） 后处理（归纳并显示结果）
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。
试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x) q(L x)
x
E x
q (L A
x)
x
du dx
q (L EA
x)
du(x )
N(x )dx EA
2）用单元节点位移表示单元内 部位移
第i个单元中的位移用所包含的
结点位移来表示。
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
ui 第i结点的位移
xi 第i结点的坐标
第i个单元的应变
i
du dx
ui1 ui Li
应力 内力
i
E i
E(ui1 ui ) Li
Ni
A i
EA(ui1 Li
ui )
三角形3节点单元
四边形4节点单元
1.3.1网格划分
平面问题的三角形单元划分
平面问题的四边形单元划分
1.3.2单元分析 单元的所有结点位移、结点力，可以表示
为结点位移、结点力向量（vector）
ui
vi
e
u v
j j
um
vm
Ui
Vi
Fe
U
V
j j
U
m
Vm
单元的结点位移和结点力之间的关系用张量
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基 础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论 基础。--《数学辞海》第四卷
1.2 有限单元法的基本思路
将连续系统分割成有限个分区或单元 用标准方法对每个单元提出一个近似
解 将所有单元按标准方法组合成一个与
原有系统近似的系统。
自重作用下等截面直杆的解
商业有限元软件
ANSYS(通用) SDRC/I-DEAS（复杂模型） PATRAN/NASTRAN（通用） ABAQUS（非线性/复杂） Dyna-3D（碰撞）
1.4有限单元法的进展与应用
1.4.1 主要研究领域与有限元软件
从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论 研究，不但拓展了有限单元法的应用领域，还开 发了许多通用或专用的有限元分析软件。 主要的研究领域有：