第7章 运输问题

1 1
m行
1 1 1 1
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1 1

n行


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矩阵的元素均为1或0；
每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
列向量Pij =(0,…，0，1，0，…,0,1,0,…0)T， 其中两个元素1分别处于第i行和第m+j行。 (Pij = ei +em+j ) 将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个 m×n阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素 全为1，其余元素全为0（k=1，…，m）；后n 行构成m个n阶单位阵。
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 三产销地 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
解：增加一个 虚设的产地 运输费用为0
A1 A2 销量
B1 6 6 250
B2 4 5 200
B3 6 5 200 650
产量 200 300 500
销售能力富余，假 想产地，运费为零
A1 A2 A3 销量
B1 6 6 0 250
B2 4 5 0 200
B3 6 5 0 200
产量 200 300 150 650 650
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 500 产量 200 300 500
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
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运输问题的特点与性质
§1 运 输 模 型
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出上式的系数矩阵A，形式如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2 n , , , , , x m1 , x m 2 , x mn
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证明系数矩阵A及其增广矩阵的秩都是m+n-1
前m行相加之和减去后n行相加之和结果是 零向量，说明m+n个行向量线性相关，因此
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x 21 , x 31 , , x m1 对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
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3. m+n-1个变量构成基变量的充要条件是 它们不构成闭回路。
定义凡是能排成
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js xis j1
或
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 ,, xis js xi1 js
定理的证明可借助定理1和高等代 数中“向量组中，若部分向量线性相 关，则整个向量组就线性相关”的定 理得到。
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定理3 不包含任何闭回路的变量组中必 有孤立点。
所谓孤立点是指在所在行或列中出现于该 变量组中的唯一变量。
可用反证法证明结论成立。
xi1 j1 , xi2 j2 ,, xir对应的 定理4 r个变量 jr 系数列向量线性无关的充要条件是该变 量组不包含闭回路。
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
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x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2n , , , , , x m1 , x m 2 , x mn
1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
这里 M 代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的 x31、 x33、 x34取值为0。
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§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例5、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相 同，有关数据如下表：
A B C 最低需要量 最高需要量 1 16 14 19 30 50 2 13 13 20 70 70 3 22 19 23 0 30 4 17 15 --10 不限 产量 50 60 50
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a1 a2 am b1 b2 bn
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1 1 D 1 1 1 1 按第一列展开 m 1 （ 1 ） 1 1 1 1 1 0 1 1 0
可以证明： m+n 个约束方程中的任意 m+n-1 个 都是线性无关的。
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2.运输问题的基变量总数是m + n -1
写出增广矩阵
x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2 n , , , , , x m1 , x m 2 , x mn 1 a1 1 1 1 1 1 a 2 A 1 1 1 am 1 1 1 b1 1 1 b2 1 1 1 1 bn
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有关闭回路的一些重要结果
定理1 设 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js x 是一个闭回 is j1 路，则该闭回路中的变量所对应的系数列向 量 Pi1 j1 , Pi1 j2 , Pi2 j2 , Pi2 j3 ,, Pis js Pis 具有下面的关 j1 系：
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
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Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
试求总费用为最低的化肥调拨方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
A B C D 销量 1’ 16 14 19 M 30 1” 16 14 19 0 20 2 13 13 20 M 70 3 22 19 23 0 30 4’ 17 15 M M 10 4” 17 15 M 0 50 210 产量 50 60 50 50 210
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两个产地
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§1 运 输 模 型
一般运输模型：产销平衡 A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、 B2、…、Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj 的单位运价。 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量 问题的模型： Min f = cij xij
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§3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 例4、石家庄北方研究院有一、二、三三个区。每年分别需要用煤3000、1000、 2000吨，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供 应能力分别为1500、4000吨，运价为：
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 6000 产量 4000 1500 5500
由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0--300吨，二区必须满 足需求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案。 解： 根据题意，作出产销平衡与运价表：
山西盂县 河北临城 假想生产点 需要量 一区 1.80 1.60 M 2700 一区 1.80 1.60 0 300 二区 1.70 1.50 M 1000 三区 1.55 1.75 M 1500 三区 1.55 1.75 0 500 产量 4000 1500 500 6000 6000
件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费
用最小？ 解：增加一个 虚设的销地 运输费用为0
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 500 产量 300 300 600
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
B4 0 0 100 600
产量 300 300 600
产大于销，生产能力富余，可 假想为库存，运费为零 管 理 运 筹 学
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§2 运输问题的计算机求解
例3、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每 件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费 用最小？
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
产量 200 300
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§1
运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地 的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所 示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
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必要性的证明可考虑用反证法结合定理 2 的结果进行，充分性的证明可借助定 理 3 ，根据向量组线性无关的定义用归 纳法得证。 推论 m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是该变量组不含闭回路。
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§2 运输问题的计算机求解
例2、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每
i=1 n j=1 m n
s.t.
xij = bj j = 1,2,…,n
i=1
j=1 m
xij = ai i = 1,2,…,m
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
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§1 运 输 模 型
变化： 1）有时目标函数求最大。如求利润最 大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时， 在模型中直接加入约束条件（等式或不 等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地 （销大于产时）或销地（产大于销时）。
第七章
§1 §2 §3 §4*
运 输 问 题
运 输 模 型 运输问题的计算机求解 运输问题的应用 运输问题的表上作业法
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§1
运 输 模 型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各 产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问： 应如何调运可使总运输费用最小？
形式的变量集合称为一个闭回路 , 并称式中变 量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不 相同, j1 , j 2 ,, j s 互不相同。
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练习 下面的折线构成的封闭曲线连接的顶点 变量哪些不可能是闭回路？为什麽？
（a）
（b）
（ c）
（d）
（ e）
表中的折线构成一条封闭曲线，且所有的 边都是水平或垂直的；为什麽？ 表中的每一行和每一列由折线相连的闭回 路的顶点只有两个；为什麽？
ei1 em j1 (ei1 em j2 ) ei2 em j2 (ei2 em j3 ) eis em js (eis em j1 ) 0
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定理2 若变量组
xi1 j1 , xi2 j2 ,, xir jr
中有一个部分组构成闭回路，则该变 量组对应的系数列向量线性相关。
最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取为 M ，而最高要求与最低 要求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的销量 50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。