三余弦定理及其应用举例

三余弦定理及其应用举例 一、三余弦定理（又叫最小角定理）

如图所示，设A 为面α上一点，过A 的斜线AO 在面α上的射影为AB ，AC 为面α内的一条直线，那么∠OAC,∠OAB,∠BAC 三角的余弦关系为：

OAB BAC OAC ∠⨯∠=∠cos cos cos (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角）

不难验证：cos θ=cos θ1×cos θ2．

特别地，当∠BAC 为零角时，由于10cos 0=， ∴斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角．

二、应用练习

在ABC Rt ∆中,4,3,2===∠AC AB πA ,PA 是面ABC 的斜线,3

πPAC PAB =∠=∠． (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小；

(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上？

图（1） 图（2） 图（3）

解：(1)依题意，斜线PA 在面ABC 上的射影必在∠BAC 的角平分线上，设垂足为O ，连结AO,并延长AO ∩BC=D,设θPAO =∠,则θ即为斜线PA 与面ABC 所成的角,

因此222221

4cos 3cos

cos ===ππθ,∴4πθ=,即斜线PA 与面ABC 所成的角为4π； A

P

B

∵直角三角形ABC 的直角平分线长AD=7

212， ∴当延长AP 到/p 时，AD 成为斜线/Ap 的射影，垂足D 恰好落在边BC 上， ∴7

2472122/=⨯=Ap ， 即当PA 的长度等于7

24的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上．

辅助例题.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影必在这个角的平分线上．

已知：,,,,AC PF AB PE αP αBAC ⊥⊥∉⊆∠

αPO PF PE ⊥=,，

求证：OAC OAB ∠=∠．

证明：连OA 、OE 、OF ，

∵PF PE αOF OE αPO =⊆⊥,,、，

∴OPE Rt ∆≌OPF Rt ∆，故OE=OF ； 由⇒⎪⎩

⎪⎨⎧==⊥⊥PA PA PF

PE AC PF AB PE ,PAE Rt ∆≌PAF Rt ∆，故AE=AF ； 由⇒⎪⎩

⎪⎨⎧===AO AO AF AE OF OE OAE Rt ∆≌OAF Rt ∆，故OAC OAB ∠=∠．

说明：此结论可以作为定理来用．