第26讲 解三角形【教师版】

第26讲 解三角形夯实基础 【p 55】【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力． 【基础检测】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D .3【解析】由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b ＜c ，∴b ＝2. 【答案】C2．在△ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c ，若B ＝30°， c ＝23，b ＝2，则C ＝( )A .π3B .π3或2π3C .π4D .π4或5π4【解析】由正弦定理b sin B ＝c sin C 得212＝23sin Csin C ＝32，∴C ＝π3或2π3. 【答案】B3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A .π6B .π4C .π3D .3π4【解析】由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝ac ＋bc 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3.【答案】C4．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，该三角形的面积为2，则b 的值为( )A . 3B .322 C ．2 2 D ．23【解析】由锐角三角形中sin A ＝223得：cos A ＝13，面积12bc sin A ＝2，所以bc ＝3，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以13＝b 2＋⎝⎛⎭⎫3b 2－46，整理得：b 2＋9b 2＝6，解得：b 2＝3，所以b ＝ 3.【答案】A5．如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一高为15米的烟囱AB(不计B 离河岸的距离)，设OB 与圆弧CD ︵的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为30°和60°.若CE 的长为103米，则BC ＝________米．【解析】在△EAB 中，因为∠AEB ＝60°，所以BE ＝53， 在△OAB 中，因为∠AOB ＝30°，所以BO ＝153，所以在△OCE 中，OE ＝CE ＝OC ＝103， 从而∠BOC ＝60°， 在△OBC 中， BC ＝BO 2＋CO 2－2BO·CO·cos 60°＝521. 【答案】521 【知识要点】 1．正弦定理、余弦定理2.三角形的面积：S △ABC ＝__12ab sin __C__＝__12ac sin __B__＝__12bc sin __A__＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(R 为三角形外接圆半径，r 为内切圆半径)．3．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__时叫仰角，目标视线在水平视线__下方__时叫俯角(如图(a ))．图(a ) 图(b ) 4．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图(b ))． 5．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．典 例 剖 析 【p 56】考点1 利用正弦定理解三角形例1已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asin B －bcos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得sin Asin B －sin Bcos A ＝0， 即sin B (sin A －cos A )＝0， 又角B 为三角形内角，sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)法一：在△ABC 中，由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ，则20＝4＋c 2－4c·⎝⎛⎭⎫22.即c 2－22c －16＝0， 解得c ＝－22(舍)或c ＝42，又S ＝12bcsin A ，所以S ＝12×2×42×22＝4.法二：∵a ＝25，b ＝2，由(1)知A ＝π4，∴由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝bsin A a ＝2·2225＝110，∵sin B ＝110<12＝sin A ，∴B 为锐角．∴cos B ＝310， ∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫34π－B ＝12(cos B ＋sin B )＝12·410＝25. ∴S △ABC ＝12absin C ＝12·25·2·25＝4.考点2 利用余弦定理解三角形例2(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcos B ＝acos C ＋ccos A ，则B ＝________．【解析】法一：由2bcos B ＝acos C ＋ccos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B<π，所以B ＝π3.法二：由正弦定理得2sin Bcos B ＝sin Acos C ＋sin Ccos A ＝sin (A ＋C )＝sin B ， 又0<B<π，所以sin B>0，cos A ＝12，B ＝π3.【答案】π3(2)△ABC 中， cos ∠ABC ＝13，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则BC 的长为________．【解析】在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理可得9b 2＝a 2＋4－43a ，①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得cos ∠ADB ＝4b 2＋163－41633b ， cos ∠BDC ＝b 2＋163－a 2833b .因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，所以有4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，②由①②可得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3. 【答案】3【点评】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考点3 与三角形面积有关的问题例3△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A －3cos A ＝0，a ＝7，b ＝5.(1)求c ；(2)设D 为CB 延长线上一点，满足AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解析】(1)由已知得tan A ＝3A ＝π3，由余弦定理2bccos A ＝b 2＋c 2－a 2，c 2－5c －24＝0c ＝8(舍负)．(2)法一：如图，△ABC 中，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝17tan C ＝43；Rt △ACD 中，tan C ＝ADAC＝43AD ＝203，∴S △ABD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝12×8×203×12＝40 3.法二：S △ABC ＝12bcsin A ＝12ah h ＝2037，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝17AC CD ＝17BD ＝28，∴S △ABD ＝12BD·h ＝40 3.【点评】(1)对于面积公式S ＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．考点4 三角形中的测量问题(高度、距离、角度)例4要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为________m.【解析】如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x. 在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，所以BD ＝3x.在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CD·cos 120°， 即(3x )2＝x 2＋402－2·x·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m. 【答案】40【点评】求解高度问题应注意：(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．例5如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?【解析】设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin 60°＝AMsin （120°－θ）.因为MN ＝2，所以AM ＝433sin (120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos (60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin (120°－θ)·cos (60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin (θ＋60°)cos (θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833sin (2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin (2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin (2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以当∠AMN ＝60°时，符合要求． 【点评】求解距离问题应注意：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．例6在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．【解析】如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240xcos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.【点评】求解角度问题应注意：(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．方 法 总 结 【p 57】1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．2．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A ＞Ba ＞bsin A ＞sin B.3．已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能)．而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”．4．利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角；(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定．走 进 高 考 【p 57】1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．25 【解析】因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 所以由余弦定理得AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC·ACcos C ＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32， ∴AB ＝4 2. 【答案】A2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】由三角形面积公式知：S △ABC ＝12absin C ＝a 2＋b 2－c 24，由余弦定理得：a 2＋b 2－c 2＝2abcos C ， ∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4. 【答案】C3．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC. 【解析】(1)在△ABD 中，由正弦定理得 BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB.由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB<90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD·DC·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5. 考 点 集 训 【p 206】A 组题1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63【解析】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得15sin 60°＝10sin B ， 解得sin B ＝33，又因为b <a ，则B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】D 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b (2sin B ＋sin A )＋(2a ＋b )sin A ＝2c sin C ，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】由正弦定理可得b (2sin B ＋sin A )＋(2a ＋b )sin A ＝2c sin C b (2b ＋a )＋(2a ＋b )a ＝2c 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝－abcos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∵0<C <π，∴C ＝2π3. 【答案】C3．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A ，B 两船的距离为( )A ．2 3 kmB ．3 2 km C.15 km D.13 km 【解析】由题意可得∠ACB ＝( 90°－25°)＋85°＝150°， 又 AC ＝2，BC ＝3，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 150°＝13， ∴AB ＝13. 【答案】D 4．已知△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，且a ＝x (x >0)，b ＝2，A ＝60°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x > 3B ．0<x <2 C.3<x <2 D.3<x ≤2【解析】根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 可得x sin 60°＝2sin B，所以sin B ＝3x ， ∵A ＝60°，∴0<B <120°，要使三角形有两解需满足60°<B <120°，且B ≠90°，即32<sin B <1，解得3<x <2 . 【答案】C 5．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b＝________． 【解析】由题知，2b ·2sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4ab ·cos A ＝ab ，即cos A ＝14， 又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5b 2－a 24b 2＝14，∴a 2＝4b 2，a ＝2b . 【答案】2 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________．【解析】因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°， 所以A ＝30°或150°(舍去)，此时C ＝90°， 所以S △ABC ＝12ab ＝32. 【答案】327．如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，且AD ＝3DC ，AB ＝7， ∠ADB ＝π3，∠C ＝π6. (1)求DC 的值； (2)求tan ∠ABC 的值．【解析】(1)如图所示， ∠DBC ＝∠ADB －∠C ＝π3－π6＝π6， 故∠DBC ＝∠C, DB ＝DC .设DC ＝x ，则DB ＝x, DA ＝3x .在△ADB 中，由余弦定理AB 2＝DA 2＋DB 2－2DA ·DB ·cos ∠ADB ，即7＝()3x 2＋x 2－2·3x ·x ·12＝7x 2，解得x ＝1，DC ＝1. (2)在△ADB 中，由AD >AB ，得∠ABD >∠ADB ＝π3， 故∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC >π3＋π6＝π2， 在△ABC 中，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ， 即4sin ∠ABC ＝712，故sin ∠ABC ＝27， 由∠ABC ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得cos ∠ABC ＝－37，tan ∠ABC ＝－23＝－23 3. 8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ； (2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 【解析】(1)2cos C ()a cos B ＋b cos A ＝c ，由正弦定理得：2cos C sin ()A ＋B ＝sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B )＝sin C >0， ∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即()a ＋b 2－3ab ＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，ab ＝6， ∴()a ＋b 2－18＝7，a ＋b ＝5，∴△ABC 周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.B 组题1．设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( ) A.2512π B.2524π C.3＋32π D.3＋34π【解析】设三角形的三内角分别为3x ，4x ，5x ，外接圆的半径为R ，由三角形内角和定理可得三内角分别为A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12，则由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，故S 1＝12ab sin C ＝12(2R )2×22×32×6＋24＝3＋34R 2，即S 1S 2＝3＋34π. 【答案】D 2．如图，无人机在离地面高200 m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知∠MCN ＝60°，则山的高度MN 为________ m.【解析】由条件，∠MAD ＝15°，所以∠NMA ＝75°，∠CMA ＝45°，∠MAC ＝15°＋45°＝60°，所以∠ACM ＝180°－60°－45°＝75°，∠ACB ＝45°，这样在△ACB 中，AC ＝2002，在△ACM 中，AC sin 45°＝MC sin 60°，解得MC ＝2003，△MNC 中，MN ＝MC sin 60°＝2003×32＝300. 【答案】3003．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，sin ∠ABE ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则BE ＝________． 【解析】由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223. 在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a ①. 因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6 ②，联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.S △ABC ＝12·AC ·AB sin A ＝12×3×2×223＝22， S △ABE ＝12·BE ·BA sin ∠EBA ＝12×2×BE ×33＝33BE . S △BCE ＝12·BE ·BC sin ∠EBC ＝12×3×BE ×33＝32BE . 由S △ABC ＝S △ABE ＋S △BCE ，得22＝33BE ＋32BE ， ∴BE ＝45 6. 【答案】456 4．如图所示，摄影爱好者S 在某公园发现A 处的正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛到地面的距离为3米． (1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 【解析】(1)过S 作SC 垂直OB 于C ，连结SB ，SO ，则∠CSB ＝π6，∠ASB ＝π3. 又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝π6，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝ 3. 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米．(2)连接SM ，SN ，设SN ＝a ，SM ＝b .由(1)知SO ＝23，在△SOM 和△SON 中，cos ∠SOM ＝－cos ∠SON ，即（23）2＋1－b 22×23×1＝－（23）2＋1－a 22×23×1，可得a 2＋b 2＝26. 在△MSN 中，cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113>12，当且仅当a ＝b 时等号成立．又∠MSN ∈(0，π)，则0<∠MSN <π3. 故摄影爱好者S 可以将彩杆全部摄入画面．。