高数2.7节-无穷小阶的比较
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无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版无穷小的比较1. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x xx x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2). 2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x →0时, 有:(1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y xx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xx x 23tan lim 0→; (2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数); (3)xx x x 30sin sin tan lim -→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .。
无穷小比较
tanu ( x) u ( x) ;
1− cosu ( x)
u x
arcsinu ( x) u ( x) ;
(2)指数函数 (3)对数函数 (4)幂函数
1 2 u ( x) ; 2
a ( ) −1 u ( x) ln a ;
u x
e ( ) −1 u ( x) ;
ln 1+ u ( x) u ( x) ;
0
时的）
同阶无穷小。 特别地当 c =1 时， 称它们为等价无穷小 记成 等价无穷小, 同阶无穷小。 等价无穷小
α ( x) β ( x) ( x → x0 )
α ( x) lim = c ≠ 0, 则称 α ( x) 是β ( x) k 阶无穷小。 进一步若 x→x k 阶无穷小 β ( x)
0
机动
m m
0 m > n ln(1+ x ) x lim n = lim n =1 m = n 解: x→0 ln (1+ x) x→0 x ∞ m < n x ln(x + e ) 例5. 求 lim x→0 arcsin x x x ln(x + e ) ln[1+ (x + e −1)] = lim = 解: lim x→0 arcsin x x→0 x
m
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ln(1+ x ) lim x→+∞ ln(1+ xn )
m
?
x lim n x→+∞ x
m
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结束
(2) 计算极限时使用等价无穷小替换是在乘除关系时， 加减时不能直接用。 例 解:
sin x − x lim x→0 x3
高等数学无穷小的比较
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
2
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
4x tan3
lim
x0
x4xBiblioteka tan 4 lim(x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
例7. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例8
求 lim ( x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) ( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
2
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
4x tan3
lim
x0
x4xBiblioteka tan 4 lim(x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
例7. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例8
求 lim ( x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) ( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u
高等数学《无穷小的比较》课件
(2)若lim ( x) ,则称 ( x)是比( x)低阶的无穷小; (x)
(3)若lim ( x) C 0,则称 ( x)与( x)是同阶无穷小, (x)
记作 ( x) O(( x));
3
(4)若 lim
(x) k ( x)
C
0, 则称
(
x )是关于 (
x)的
k阶无穷小;
(5)若lim ( x) 1,则称 ( x)与( x)是等价无穷小, (x)
1.7 无穷小的比较
1.7.1 无穷小比较的定义 1.7.2 重要的等价无穷小关系 1.7.2 等价无穷小替代定理
1
1.7 无穷小的比较
当x 0时, 3x, x2 , sin x, tan x 都是无穷小,
而 lim x2 0, x0 3x
3x
lim
x0
x2
,
sin x lim 1, x0 x
x 1 2x
2
另解：原式 lim x0
2 x3
0 ? 错!
注 等价无穷小替换 , 只用于乘、除因子, 不能 用于加、减中!
11
例5
求：(1)
lim
x0
1 cos x sin2 x
解
1 x2
原式
lim
x0
2 x2
1 2
x4 x3
(2) lim x0
sin
x 2
3
解
原式
lim
x0
x4 x3
推论 设 ~ ,若lim f (x)存在， 则 lim f (x) lim f (x)
10
1
sin x sin 2x
例4 lim x0
2 tan3 x
b2 4ac
(3)若lim ( x) C 0,则称 ( x)与( x)是同阶无穷小, (x)
记作 ( x) O(( x));
3
(4)若 lim
(x) k ( x)
C
0, 则称
(
x )是关于 (
x)的
k阶无穷小;
(5)若lim ( x) 1,则称 ( x)与( x)是等价无穷小, (x)
1.7 无穷小的比较
1.7.1 无穷小比较的定义 1.7.2 重要的等价无穷小关系 1.7.2 等价无穷小替代定理
1
1.7 无穷小的比较
当x 0时, 3x, x2 , sin x, tan x 都是无穷小,
而 lim x2 0, x0 3x
3x
lim
x0
x2
,
sin x lim 1, x0 x
x 1 2x
2
另解：原式 lim x0
2 x3
0 ? 错!
注 等价无穷小替换 , 只用于乘、除因子, 不能 用于加、减中!
11
例5
求：(1)
lim
x0
1 cos x sin2 x
解
1 x2
原式
lim
x0
2 x2
1 2
x4 x3
(2) lim x0
sin
x 2
3
解
原式
lim
x0
x4 x3
推论 设 ~ ,若lim f (x)存在， 则 lim f (x) lim f (x)
10
1
sin x sin 2x
例4 lim x0
2 tan3 x
b2 4ac
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
无穷小阶的比较的讲授方法
无穷小阶的比较的讲授方法作者：曹志杰来源：《科技风》2018年第32期摘要：对无穷小和无穷小阶的比较的理解是掌握极限理论的关键对同一极限过程下的一组无穷小，抽象的阶的比较往往使初学者难以接受。
本文考虑在课堂上讲授这一部分时运用类比，力图将無穷小阶的比较过程形象地呈现出来。
这一类比也可用于对无穷大及其阶的比较的课堂讲授。
关键词：无穷小阶的比较；类比一、无穷小及其阶的比较无穷小量，即无穷小，指在自变量的某一变化过程下趋于零的函数。
在微积分的发展过程中，人们对无穷小量的认识经历了一个漫长的过程，这与极限理论的遭遇密切相关：无穷小是极限理论中最使人难以接受的部分，对当时的人们来说，它似乎带有某种“神秘气氛”，见[1]。
无穷小的定义是“如果一个量的绝对值能变得小于任意选定的无论怎样小的量，则说它能变为无穷小”，正是这个说法，引出了一般极限定义的ε.δ语言，毋庸讳言，”某量的绝对值小于任意选定的无论怎样小的量”表达成的数学语言（即无穷小的ε.δ定义）仍困扰着今天的初学者，而无穷小阶的比较，则是在自变量的某变化过程下，比较出不同无穷小趋于零的相对快慢。
这个比较过程，在教科书中是考虑这些无穷小量的比值在自变量的该变化过程下的极限（可参见任一本微积分教材，如文献[2]）：二、用类比法讲授“无穷小量阶的比较”过程极限理论对初学者往往较难理解，这源于极限概念（ε.δ语言）的抽象性和高度的动态性：据说这是一个有四个逻辑层次的杂逻辑结构，[3]而中学的数学对象多是静态的，即使略显抽象，也可在数次”亲密”接触后形成印象.但对于ε.δ语言，即使靠”死记硬背闯关了”，理解起来仍无所适从，基于此，人们曾改造极限概念的表达方式，提出所谓非ε语言定义来代替ε.δ语言，[3]这种做法，不会降低学生的理解难度，甚至可以说，有意绕开极限理论的精髓反而加大了以后学习的难度，最终还是要返回去重新理解ε.δ语言。
那么，怎样才能让初学者对ε.δ语言形成一个基本印象呢？由前述的极限定义的ε.δ语言和无穷小之间的关联，即正是无穷小的定义，引出了极限定义的ε.δ语言，笔者认为，讲授这一部分时，通过对某一动态过程的类比考察，形象的再现无穷小及其阶的比较经过，对于初步理解极限定义的ε.δ语言大有裨益。
高等数学1-7-无穷小的比较_OK
lim
ln(1
x)
lim
ln(1
x)
1 x
ln[lim
(1
x)
1 x
]
x0 x
x0
x0
ln e 1. 故 ln(1 x) ~ x(x 0) 等价无穷小
（6）
ex 1 lim
x0 x
令 ex 1 u,
ex 1
则 lim
lim
u
1,
x0 x u0 ln(1 u)
故 ex 1 ~ x(x 0) 函等数与价极限无穷小
证 因为 x ~ ln(1 x，) 所以
lim (1 x) 1 lim (1 x) 1
x0
x
x0 ln(1 x)
令 (1 x) 1 t, (1 x) 1 t, 两端取对数，得
ln(1 x) ln(1 t), 又当x→0，t→0. 所以
lim (1 x) 1 lim t 1
x0 x
t0 ln(1 t)
二阶无穷小
11 2
(4)
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
sin2 x 1 cos 2x 2
2
2
cos2 x 1 cos 2x 2
sin 2 x
lim x0
2 ( x)2
1
1 函c数o与s极x限~
x2 2
等价无穷小 6
2
（5） lim ln(1 x) x0 x
eu 1 ~ u(u 0)
(1 u) 1 ~ u(u 0)
解：
lim e ecosx x0 3 1 x2 1
lim e(ecosx1 1) x0 3 1 x2 1
第六讲-无穷小与无穷小的比较全篇
x
lim
x0
2x
1 2
x
x
2
12
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则
lim( x) lim ( x)
例如, limarcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x
x0
x
(1
x
2
)
1 3
1
例3. 求
lim
x0
cos x 1
.
解:
13
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
( 4 ) 1 , 1 n .
n n1
解:
lim
x0
4 3
x3 x2
0,
所以 x 0 时,4x3 o 3x2
1
lim n
n 1
,
n2
当n
时
,
1 n
是
比
1 n2
低
阶
的
无
穷
小.
lim x2 16 8, x4 x 4
所以 x 4 时, x2 16与 x 4是同阶无穷小
1
lim x0
x0
sin 3x
解 tan5x 5x, sin3x 3x, 1 cos x 1 x2 2
5x 1 x2 原式 lim 2
x0 3x
5 1 x lim 2
5.
x0 3
3
16
二、无穷大
定义3
在变量
y的变化过程中，如果
1 y
为无穷小量.
则称变量 y在该变化过程中为无穷大量，简称无穷大。
记作: lim y
例如:(1). lim(x 1) 0, 所以 x 1 为 x 1 时的无穷小量.
26无穷小阶的比较
分母的等价无穷小量存在则就可用它们各自的等价无穷小量limtan所以sin5sinlimlimcossintantansinlimtansinlimlim2coslimcoscoslimtansinlimlimlim1sinlim1sin使用无穷小量的等价替换是求解函数的极限的常用方法
§2.6 无穷小 因为当x 0时,
所以
x2 1 cos x ~ ,
ex 1 x
2
cos x 1
lim
x0
ex 1
x2 lim 2 x0 x
x lim( ) 0
x0 2
例6
求
lim
x0
cos
x(esin tan 2
x 1)2 x
.
解 因为，当 x 0 ，有sinx→0, 且
例1
因为lim x2 0, x0 x
lim
x0
x x2
,
lim sin x 1 x0 x
所以当 x→0时, x2 是x的高阶无穷小； x是 x2的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.
例2
因为
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
所以, 当x→0时, 1 cos x 与 x2 是同阶无穷小.
证明 根据极限运算法则
lim lim
lim lim lim lim
注 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时, 如果分子 分母, 的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量 来代换原来的分子和 分母, 使得计算简化.
一.无穷小阶的比较 二.等价无穷小替换原理
§2.6 无穷小 因为当x 0时,
所以
x2 1 cos x ~ ,
ex 1 x
2
cos x 1
lim
x0
ex 1
x2 lim 2 x0 x
x lim( ) 0
x0 2
例6
求
lim
x0
cos
x(esin tan 2
x 1)2 x
.
解 因为，当 x 0 ，有sinx→0, 且
例1
因为lim x2 0, x0 x
lim
x0
x x2
,
lim sin x 1 x0 x
所以当 x→0时, x2 是x的高阶无穷小； x是 x2的低阶无
穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.
例2
因为
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
所以, 当x→0时, 1 cos x 与 x2 是同阶无穷小.
证明 根据极限运算法则
lim lim
lim lim lim lim
注 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时, 如果分子 分母, 的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量 来代换原来的分子和 分母, 使得计算简化.
一.无穷小阶的比较 二.等价无穷小替换原理
无穷小比较.ppt
解 tan5x 5x o( x), sin3x 3x o( x),
1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
分子, 分母同除以x
5x o( x) 1 x2 o( x2 )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
5 x lim x 2
x x3
sin
x
.
解: 原式
lim
x0
x
1 2
x
2
x3
原式
lim
x0
x x3
x
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常用等价无穷小 当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,
例如,
lim
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价,
则
~
,
且
lim
lim
,
但 ~ 时此结论未必成立.
例如,
lim tan 2x sin x0 1 x 1
1 x 1 ~ 1 x, n1 x 1 ~ 1 x,
2
n
1 cos x ~ 1 x2 . 2
并有 从而
无穷小的比较
~ o( )
例 求 lim tan5x cos x 1
考研高数总复习无穷小的比较(讲义)PPT课件
导数的应用
在研究函数的单调性、极值和拐 点等问题时，需要利用导数的性 质和无穷小的关系。
在积分中的应用
积分的定义
积分是通过无穷小分割和 求和来定义的，无穷小在 积分定义中扮演着重要的 角色。
积分的几何意义
无穷小表示面积或体积的 微元，通过积分可以计算 曲线下的面积、曲面下的 体积等。
积分的应用
在解决实际问题时，如求 曲线的长度、物体的质量、 做功等，需要利用积分和 无穷小的关系。
无穷小的性质
总结词
无穷小具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的极限、导数和积分等数学概念时非 常有用。
详细描述
1. 无穷小与任何常数的和、差、积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，那么 (x+2)、(x-2)、(3x) 和 (x^2) 也是无穷小。2. 无穷小与有界函数的乘 积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，而 (|f(x)| < M)（其
求解极限
在求解某些极限问题时， 可以利用无穷小的性质进 行化简，从而得出结果。
无穷小的等价替换
在某些极限计算中，可以 将无穷小替换为其他无穷 小，简化计算过程。
在导数中的应用
导数的定义
导数是通过无穷小增量和自变量 的比值来定义的，无穷小在导数 定义中起着关键作用。
导数的几何意义
无穷小表示函数图像在某一点的 切线斜率，通过导数可以研究函 数的几何性质。
05 习题与解析
基础习题
基础习题1
比较以下无穷小量的大小：$frac{1}{x}, frac{1}{x^2}, frac{1}{x^3}$ 当 $x to 0$。
高等数学《无穷小的比较》
2、lim arcsin x n =________. x0 (sin x)m
3、lim ln(1 2x) =_________.
x0
x
4、lim 1 x sin x 1 =________. x0 x 2 arctan x
5、lim n
2
n
sin
x 2n
=________.
1
6、lim (1 ax)n 1=_________.
当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x,
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 , 2
(1 x)a 1 ~ a x , (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
a x 1 ~ x lna .
.
证
lim
lim(
)
lim
lim lim
lim
.
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
注意 不能滥用等价无穷小代换.
例4 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
例5 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 原式 lim tan 5x (1 cos x)
x0
sin 3x
lim tan5x 1 cos x x0 sin 3x sin 3x
lim tan 5x lim 1 cos x x0 sin 3 x x0 sin 3 x
3、lim ln(1 2x) =_________.
x0
x
4、lim 1 x sin x 1 =________. x0 x 2 arctan x
5、lim n
2
n
sin
x 2n
=________.
1
6、lim (1 ax)n 1=_________.
当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x,
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 , 2
(1 x)a 1 ~ a x , (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
a x 1 ~ x lna .
.
证
lim
lim(
)
lim
lim lim
lim
.
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
注意 不能滥用等价无穷小代换.
例4 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
例5 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 原式 lim tan 5x (1 cos x)
x0
sin 3x
lim tan5x 1 cos x x0 sin 3x sin 3x
lim tan 5x lim 1 cos x x0 sin 3 x x0 sin 3 x
无穷小比较精选全文完整版
第一章
第七节
无穷小的比较
二 等价无穷小在极限运算中的应用
一 无穷小的比较
一 无穷小的比较
定义
设
10
若
则称
和
是（当
时的）
同阶无穷小。
特别地当
时，
称它们为等价无穷小,
记成
进一步若
则称
是
k 阶无穷小。
20
若
则称
是比高阶的ຫໍສະໝຸດ 穷记成小量。类似地，
等价无穷大、高阶的无穷大等相应概念。
对无穷大量我们也可以定义同阶无穷大、
例1: 证明
提示 即证明
(2)
证明
故
例当
～
时
～
～
例
故
时
是x2 的同阶无穷小.
～
例2. 证明: 当
时,
～
证:
～
注 :
时
记住以下等价无穷小
(1)三角函数
(2)指数函数
(3)对数函数
(4)幂函数
注 :
时
(1)三角函数
(2)指数函数
(3)对数函数
(4)幂函数
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
例
解:
加减时不能直接用。
(
法则）
(A) 和差取大规则：
例
注意到若
与
不等价，
不妨设
则有
(B) 和差代替规则:
若
且
故有
与
不等价，
则
(3)
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
高数无穷小比较
1 1 例如, 例如 limarcsin x⋅sin = lim x⋅sin = 0 x→0 x x x→0
tan x − sin x . 例2. 求 lim 3 x→0 x
解: 原式
x−x 原 = lim 3 式 x→0 x
= lim x⋅ 1 x2 2 x3
9
பைடு நூலகம்
x→0
例3. 求 解: 原式
说明: 说明 当
时, 有
10
例4. 求 解: 令
t = ax −1, 则
x = loga (1+ t),
1 t 原式 = lim = lim t →0 1 t →0 loga ( + t) 1 log a (1+ t) t 1
= lim
t →0
log a (1+ t)
1 t
说明: 说明 当
时, 有
11
−1 . 例5. 求 lim x→0 cos x −1
则α ± β ~ α
α＋β β lim ＝ （ ）1 lim 1 ＋ = α α
∴ α ±β ~α
x 1 = = lim lim 3 3 x→0 3x x→0 x + 3x
sin x
7
(2) 和差代替规则 和差代替规则:
若α ~ α′, β ~ β′ 且 β 与α 不 价, 等
α −β α′ − β′ = lim , 则α − β ~ α′ − β′, 且lim γ γ
(3) 因式代替规则 因式代替规则:
若α ~ β , 且ϕ(x) 极 存 或 限 在 有
界, 则
lim αϕ(x) = lim βϕ(x)
P59 题1 , 2
22
思考与练习
2.7 无穷大与无
0 0
0
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
设函数 u( x)在U ( x0 , 1 )内有界， 则M 0, 1 0, 使 得 当 0 x x0 1时
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 x ) rctan x ~ x , e 1 ~ x,
x
1 2 1 cos x ~ x . 2
～
四、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ; ( 3) 如 果lim k C (C 0, k 0), 就 说 是的k阶 无穷小 .
0 x x 0 (或 x X )时有 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 为当 x x 0 ( 或 x ) 时的 无穷大量,简称无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
0
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
设函数 u( x)在U ( x0 , 1 )内有界， 则M 0, 1 0, 使 得 当 0 x x0 1时
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 x ) rctan x ~ x , e 1 ~ x,
x
1 2 1 cos x ~ x . 2
～
四、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ; ( 3) 如 果lim k C (C 0, k 0), 就 说 是的k阶 无穷小 .
0 x x 0 (或 x X )时有 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 为当 x x 0 ( 或 x ) 时的 无穷大量,简称无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
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故当x 0时, x 2 tan3 x为x的5阶无穷小 .
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
2014-4-16 8
例5 解
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x )
2014-4-16
7
tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
o( x ) 1 o( x 2 ) 5 x 5 x 2 x . lim x 0 o( x ) 3 3 x
2014-4-16 9
小
1
结
无穷小阶的比较：无穷小的阶反映了同一过 程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不
是所有的无穷小都可进行比较.
2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法，注意适用条件. 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的
无穷小.
(4) 如果 lim , 就说 是比 低阶的无穷小; 2014-4-16 3
例1 证明: 当x 0时, x 2 tan3 x为x的五阶无穷小 .
解
tan x 3 x 2 tan3 x lim ( ) 1 lim 5 x 0 x 0 x x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim 1, lim 0, 即 o( ), 于是有 o(). 1 2 2 sin x x o ( x ), cos x 1 x o ( x ). 例如, 2
2014-4-16
2014-4-16 10
思考判断题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
2014-4-16
11
思考题解答
不能．
例当 x 时 都是无穷小量
1 sin x f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 但 lim x f ( x ) x
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
2014-4-16
12
2.7 无穷小阶的比较
一 二 无穷小的比较 等价无穷小பைடு நூலகம்换
三
小结
一、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x x2 2 lim 0, x 比3 x要快得多 ; x 0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim x 0 x 极 1 2 x sin 限 1 x lim sin 不存在. 不可比. lim 2 x 0 x 0 x x
5
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证
lim lim( ) lim lim lim lim .
2014-4-16
6
tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
注意
2
不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
2014-4-16 4
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,
arcsin x ~ x, ln(1 x) ~ x,
x
arctan x ~ x, e 1 ~ x, 1 2 n 1 x a 1 ~ x ln a, 1 cos x ~ x , 1 x 1 ~ x 2 n
2 2
极限不同,
反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
2014-4-16 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;