高数2.7节-无穷小阶的比较

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思考判断题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
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思考题解答
不能．
例当 x 时 都是无穷小量
1 sin x f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 但 lim x f ( x ) x
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
o( x ) 1 o( x 2 ) 5 x 5 x 2 x . lim x 0 o( x ) 3 3 x
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小
1
结
无穷小阶的比较：无穷小的阶反映了同一过 程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不
是所有的无穷小都可进行比较.
2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法，注意适用条件. 设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim 1, lim 0, 即 o( ), 于是有 o(). 1 2 2 sin x x o ( x ), cos x 1 x o ( x ). 例如, 2
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( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的
无穷小.
(4) 如果 lim , 就说 是比 低阶的无穷小; 2014-4-16 3
例1 证明: 当x 0时, x 2 tan3 x为x的五阶无穷小 .
解
tan x 3 x 2 tan3 x lim ( ) 1 lim 5 x 0 x 0 x x
故当x 0时, x 2 tan3 x为x的5阶无穷小 .
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
2 2
极限不同,
百度文库
反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
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定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
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二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证
lim lim( ) lim lim lim lim .
2.7 无穷小阶的比较
一 二 无穷小的比较 等价无穷小替换
三
小结
一、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x x2 2 lim 0, x 比3 x要快得多 ; x 0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim x 0 x 极 1 2 x sin 限 1 x lim sin 不存在. 不可比. lim 2 x 0 x 0 x x
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tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
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例5 解
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x )
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常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x,
arcsin x ~ x, ln(1 x) ~ x,
x
arctan x ~ x, e 1 ~ x, 1 2 n 1 x a 1 ~ x ln a, 1 cos x ~ x , 1 x 1 ~ x 2 n
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tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
注意
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不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
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