B样条函数及其求解方法
多值封闭曲线的b样条拟合
多值封闭曲线的B样条拟合是一种数学方法，它通过B样条曲线来精确地描述一组或多组给定的数据点，从而形成一条闭合的曲线。
B样条曲线因其良好的局部控制和灵活性而在工程和科学领域得到广泛应用。
以下是关于多值封闭曲线的B样条拟合的详细解释：### B样条曲线基础B样条曲线由一系列的控制点和一个节点向量定义。
这些控制点决定了曲线的大致形状，而节点向量则定义了曲线的局部细分。
一个\( k \)次B样条曲线可以由\( n \)个控制点和\( m \)个节点来定义，其中\( m \)通常是\( n-k-1 \)。
### 封闭曲线的构建为了创建一个封闭的B样条曲线，我们需要确保曲线的首尾相接，即在曲线的开始点和结束点处斜率相等，且曲线值也相等。
这可以通过以下几种方法实现：1. **控制点Wrapping**：- 首先，创建一个均匀分布的节点序列。
- 然后，将第一个和最后一个控制点设置相同，即首尾控制点重合。
- 曲线的首尾节点也需要特别处理，以确保曲线可以闭合。
2. **节点Wrapping**：- 类似地，创建一个均匀分布的节点序列，但这次是对节点进行操作。
- 将第一个和最后一个节点设置为相同值，这样可以使曲线在两端闭合。
### 拟合过程拟合过程涉及到找到一组控制点，使得曲线尽可能地通过或接近给定的数据点。
这通常通过最小化误差的平方和来实现，误差是数据点到曲线值的距离。
1. **选择合适的节点**：- 节点需要根据数据点的分布来选择，以保证曲线可以在数据点之间正确地插值或逼近。
2. **初始控制点设置**：- 初始控制点可以基于数据点，通过某种优化算法来调整，直到找到最佳的控制点集合。
3. **优化算法**：- 利用优化算法（如遗传算法、模拟退火、梯度下降等）来调整控制点，最小化数据点到曲线的误差。
4. **曲线评估**：- 通过计算曲线与数据点之间的误差来评估拟合的好坏。
5. **调整和迭代**：- 根据评估结果，不断迭代调整控制点和/或节点，直到达到满意的拟合精度。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
第三节 B-样条曲线
0,1,..., n
2019/12/14
6
关于递推定义的系数
N i ,k 1 (t )
t ti tik 1 ti
Ni,k (t)
tik t tik ti1
Ni1,k (t)，i
0,1,..., n
ti ti
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ti+1
t
ti+1
t
ti+1
t
i0
Ni,k称为Tn,k上的k阶（k 1次）B样条基函数
Ni,1(t) Ni,k (t)
1 0
t
tik
1
t [ti ,ti1) 其它
ti ti
N i ,k 1 (t )
tik t tik ti1
N i 1,k 1 (t )，i
33
三次均匀B样条曲线（3）
注：Ni,k (t) N0,k (t i)
基函数的平移性
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计算N0,4 (t)
34
三次均匀B样条曲线（4）
则，在[t j ,t j1)(3 j n)上的曲线段为：
j
j
P(t) Pi Ni,4 (t) Pi N0,4 (t i)
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11
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 Ni,1(t) 0
t [ti ,ti1) 其它
N i ,1 (t )
N i ,1 (t )的图形
Ni,1(t)在区间ti ,ti1上有定义，称后者为前者的支撑区间。
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K=1时定义的曲线示例
B样条求值快速算法及其在曲线逼近中的应用
3 B 样条基函数求值快速计算
3.1 de Boor-Cox 算法分析 实际应用中，通常并不需要用到整条的 B 样条计 算，而仅需要计算出某一参数值处的 B 样条基函 数。为了便于更好的表达，引入符号： 次 B 样条基
N j , k (u )
Nk j
表示 k
在参数 u ∈ [ui , ui +1 ) 处的函数
1 前言
B样条基函数（B-Spline Function）简称B样条， 作为样条函数的一种，除了具有一般样条函数所具 有的特点外， 还具有许多其他优良性质， 如递推性、 局部支撑性、连续阶数可调等。由于在数据拟合、 插值与平滑等方面具有很好的稳定性与收敛性，B 样条方法在NURBS参数曲线实时数控插补加工、 智 能机器人路径规划、数字滤波等领域有着广泛的应 用。B样条基函数是分段函数，无法用统一的解析 式表达，多采用迭代方法求值，计算量较大。因此， 研究B样条基函数的快速求值算法， 提高运算效率， 对B样条的应用具有较高的价值，尤其在一些实时 性要求较高的场合， 如NURBS参数曲线实时数控插 补加工[1-4]、机器人运动路径动态规划[5,6]、实时 滤波等领域[7,8]。由于B样条基函数采用分段递推 定义方式，如果计算所有的非零B样条函数值，将 会进行多次递归调用，运算量较大。基于此，本文 给出了基于向量扩展的B样条基函数快速求值运算 方法，该方法能够将非零B样条基函数值的多次递 推运算转化为向量的递推扩展运算，同步获得所有 的非零B样条基函数值，提高了运算效率。作为应 用实例，给出了基于B样条基函数快速求值运算方 法的最小二乘B样条曲线估计算法，分析表明所减 小的运算量相当可观。
% = [ M , M ,..., M , M , M ] M 0 1 m −1 m m +1
b样条的边界函数 -回复
b样条的边界函数-回复什么是样条函数？样条函数是一种由多段低次多项式拼接而成的平滑函数。
它在数值分析、计算机图形学、工程设计等领域中被广泛应用。
样条函数的一个重要特征是在给定数据点处的函数值和其导数值是已知的，因此可以通过插值得到光滑的曲线。
样条函数的一种常见形式是B样条函数。
什么是B样条函数？B样条函数是一种基于B样条曲线的一维插值函数。
B样条曲线是一种光滑曲线，由多个控制点和节点向量决定。
控制点确定了曲线的形状，而节点向量控制了曲线的变化程度。
B样条函数是由B样条曲线按照一定的规则生成的一维插值函数。
B样条函数的边界函数是什么？B样条函数的边界函数是一种特殊的B样条函数，用于规定B样条曲线的边界条件。
它们确定了曲线在边界点处的形状，使得曲线能平滑地连接到预定的边界点。
B样条函数的边界函数一般包括开放边界函数和周期边界函数两种。
开放边界函数是指在曲线的起始点和终止点处，曲线在某些导数值上给定的情况下，通过插值算法得到的曲线段。
它在曲线的起始点和终止点处不需要连接其他曲线段，因此称为开放边界函数。
周期边界函数是指在曲线的起始点和终止点处，曲线在某些导数值上给定的情况下，通过插值算法得到的曲线段。
与开放边界函数不同的是，周期边界函数需要在曲线的起始点和终止点处与其他曲线段连接成一个完整的闭合曲线。
如何确定B样条函数的边界函数？确定B样条函数的边界函数需要考虑以下几个步骤：1. 确定边界点的位置：根据具体应用情况确定B样条曲线的起始点和终止点，它们通常位于数据点的边界处。
2. 确定边界点的导数值：根据具体应用情况确定B样条曲线在边界点处的导数值。
导数值的选择直接影响到边界函数的形状。
3. 插值算法生成边界函数：根据边界点的位置和导数值，使用插值算法生成B样条函数的边界函数。
常用的插值算法包括三次样条插值、B样条插值等。
4. 连接边界函数和内部插值函数：将边界函数与内部的B样条插值函数连接起来，形成完整的B样条曲线。
计算机图形学PPT-B样条曲线性质及类型划分
1、局部支承性：
Bi,k (u)00
u [ui ,uik ] otherwise
而Bezier在整个区间非0
反过来，对每一个区间(ui,ui+k)，至多只有k个基函数在 其上非零
2、权性：
n
Bi ,k( u ) 1
i 0
u [uk 1, un1]
3、连续性
Bi,k(u)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r
B 0 ,1 ( u )
1
0
0 u 1 其它
u ( 0 ,1,2 ,3,4 ,5 ,6 )
B 0 ,2 ( u ) uB 0 ,1 ( u ) ( 2 u ) B1,1 ( u ) uB 0 ,1 ( u ) ( 2 u ) B1,1 ( u )
2
u
u
0u1 1u2
B 0,3 ( u )
2、变差缩减性： 设平面内 n+1 个控制顶点构成B样条曲线 P(t) 的 特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的 交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数
3、几何不变性： B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关
4、凸包性：
B样条曲线落在Pi构成的凸包之中。其凸包区域小于或等 于同一组控制顶点定义的Bezier曲线凸包区域
Bi,k (u ) Bi1,k (u u ) Bi2,k (u 2u )
其中，△u是相邻节点值的间距，等价地，也可写为：
Bi,k (u ) B 0,k( u k u )
下面以均匀二次（三阶）B样条曲线为例来说明均匀周期性B 样条基函数的计算： 假定有四个控制点，取参数值 n=3，k=3，则 n+m=6
1、均匀B样条曲线（uniform B-spline curve）
b样条的边界函数 解释说明以及概述
b样条的边界函数解释说明以及概述1. 引言1.1 概述B样条是一种常见且重要的插值和逼近方法，广泛应用于曲线和曲面的建模、图像处理、计算机辅助设计等领域。
在B样条的构造过程中，边界函数起着关键的作用。
边界函数定义了B样条在区域边界处的行为，对于控制曲线或曲面的形状具有重要影响。
本文将深入探讨B样条边界函数及其在曲线和曲面建模中的应用。
我们将介绍B 样条的基本理论，包括其定义与特点，插值方法以及逼近方法。
随后，我们重点解释说明了B样条边界函数的概念，并分析了常见的边界函数类型及其特点。
最后，我们将通过案例分析展示B样条边界函数在实际应用中的选择与调整技巧，并总结回顾本文所涉及到的内容。
1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织：首先，在引言部分（第1节），我们简要介绍了全文内容以及文章目录。
然后，在第2节中，我们详细讨论了B样条的基本理论，包括定义与特点、插值方法以及逼近方法。
接着，在第3节中，我们重点解释了B样条边界函数的概念，并分析了常见的边界函数类型及其特点。
在第4节中，我们通过曲线和曲面建模的应用案例来说明B样条边界函数的实际应用情况。
最后，在第5节中，我们对全文进行总结回顾，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者深入理解B样条边界函数的概念、特点以及实际应用。
通过对B样条的基本理论和边界函数的详细讲解，读者将能够掌握如何选择和调整B 样条边界函数以满足具体需求。
此外，本文还通过应用案例分析展示了B样条边界函数在曲线和曲面建模中的实际应用价值。
希望读者通过本文能够获得有效信息，并为相关领域的研究和实践提供参考依据。
2. B样条的基本理论2.1 B样条的定义与特点B样条是一种数学曲线或曲面的表示方法，它在计算机图形学和计算机辅助设计领域得到了广泛应用。
B样条由控制点和节点向量确定。
其中，控制点用于确定曲线或曲面上的特定位置，而节点向量则用于定义参数空间中的区间。
B样条具有以下特点：- 局部控制性：B样条在整个参数空间内都具有局部影响力，即通过调整某一个或某几个控制点可以改变局部区域的形状。
b样条基函数
b样条基函数
B样条基函数（B-Spline）是描述曲线和曲面的重要工具，它由数学家Paul de Casteljau在1959年提出。
它是一种多项式函数，可以用来表示正弦曲线，椭圆弧，圆弧和其他复杂曲线。
B样条曲线由一系列控制点和插值曲线组成，控制点用来控制曲线的整体格式，而插值曲线用来插值细节，从而实现曲线的准确描绘。
B样条基函数可以用来表示不同的曲线，它的优点在于可以生成的曲线十分精确，而且容易拓展和改变曲线形状。
它的缺点在于计算量较大，比较耗时费力。
b-样条基函数的积分
b-样条基函数的积分B-样条基函数在数学和计算机科学领域中有着广泛的应用。
它们是一种函数插值的方法，常用于曲线拟合、图像处理和数据分析等领域。
除了在理论研究中的应用外，B-样条基函数的积分也是一个重要的研究课题。
通过对B-样条基函数的积分进行深入的研究，可以更好地理解其在实际问题中的应用，提高计算效率和精度。
一、B-样条基函数概述B-样条基函数是一种基于分段多项式的插值函数。
它们通过在区间上定义一组基函数，并使用线性组合来逼近函数值，从而实现对原始数据的拟合。
B-样条基函数具有局部支撑性和高阶连续性的特点，这使得它们在拟合曲线时具有较好的性能和稳定性。
B-样条基函数通常由三个主要部分构成：节点序列、基函数和节点间隔。
节点序列是定义B-样条基函数取值的关键，基函数是用来逼近原始数据的函数，节点间隔则规定了每个基函数的作用范围。
二、B-样条基函数的积分定义在对B-样条基函数的积分进行研究之前，我们首先需要了解积分的概念。
积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的面积或曲线长度。
对于B-样条基函数的积分，我们希望能够求解其在一段区间上的积分值，以便在实际问题中应用。
B-样条基函数的积分可以通过对其定义的基函数进行积分来实现。
在实际计算中，通常使用数值积分的方法来逼近积分值。
数值积分是一种通过将积分区间分割成小区间，然后对每个小区间上的函数值进行加权求和来逼近积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。
三、B-样条基函数的积分性质B-样条基函数的积分具有一些特殊的性质，这些性质对于理解和应用B-样条基函数都至关重要。
其中一些重要的性质包括线性性、局部性和连续性等。
首先，B-样条基函数的积分是线性的。
这意味着对于两个基函数的线性组合，其积分等于这两个基函数的积分之和。
这个性质在实际计算中非常有用，可以简化积分的计算过程。
其次，B-样条基函数的积分具有局部性。
这意味着在计算一个区间上的积分时，只需要考虑该区间内的基函数，而不需要考虑其他区间的基函数。
样条函数,B样条,三次样条插值,光滑余因子
第七章样条逼近方法教学目的及要求：掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。
借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一点附近的性质足以决定它的整体性质。
然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。
亦即在不同区域中，它们的性状可以完全不相关。
另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有n 个插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式，它可能有n-3个拐点。
这对于比较平滑的函数来说就不是那么理想了。
本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某中连接性质。
因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独立的局部性质。
数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。
§1. 样条函数及其基本性质设给定一组结点∞=<<<<=∞-+110N N x x x x （1.1） 又设分段函数S(x)满足条件： 1．于每个区间[]),,0(,1N j x x j j =+上，S(x)是一个次数不超过n 的实系数代数多项式；2．S(x)于),(∞-∞上具有一直到n-1阶的连续导数。
则称)(x S y =为n 次样条函数。
常把以（1.1）为结点的n 次样条函数的总体记为N N n x x x x x S ,,.),,(121 称为样条结点。
一个（奇次）2n-1次样条函数)(x S y =，如果起在区间),[],(1∞-∞N x x 与上的表达式都是n-1次多项式（并不要求该两个n-1次多项式相同），则特别称之为2n-1次的自然样条函数。
以（1.1）为结点的2n-1次自然样条函数的总体记为.),,(2112N n x x x N -显然.),,(),,(21122112N n N n x x x S x x x N --⊂ （1.2） 下面来给出样条函数类),,(2112N n x x x S -中任一样条函数的一般表达式。
b样条 基函数 matlab
主题：B样条基函数在Matlab中的应用B样条基函数是一种在计算机图形学和数值分析中常用的一种插值函数。
它的特点是光滑且具有局部支撑性，因此在实际应用中具有广泛的用途。
Matlab作为一种常用的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数库，使得B样条基函数的计算和应用变得更加便捷。
本文将从B样条基函数的定义、特点和在Matlab中的实现等方面进行介绍和探讨，以期帮助读者更好地理解B样条基函数的原理和在Matlab中的应用方法。
一、B样条基函数的定义B样条基函数是一种分段多项式函数，它由一组基本的多项式函数经过线性组合得到。
B样条基函数的定义一般包括三个重要的部分：节点向量、阶数和参数化方式。
节点向量决定了多项式的分段位置，阶数决定了每段多项式的次数，参数化方式决定了插值的方式和光滑性。
在实际应用中，B样条基函数的定义通常通过递归的方式实现，这也是B样条的一大特点。
通过定义递归的基本函数，再通过线性组合得到更高阶的B样条基函数。
这种定义方式使得B样条基函数具有很好的局部支撑性和光滑性，使得它在曲线和曲面的插值和逼近中具有很好的性能。
二、B样条基函数的特点1. 光滑性：B样条基函数具有良好的光滑性，这意味着在插值或逼近过程中得到的曲线或曲面通常不会出现明显的拐角或不连续的情况。
这对于图形学和数字几何处理来说是非常重要的，因为光滑曲线和曲面能够更好地反映物体的真实形态。
2. 局部支撑性：B样条基函数的另一个重要特点是具有局部支撑性，也就是说每个基函数只在有限的区间内起作用。
这使得B样条在处理大规模数据时具有很好的计算性能，因为只需要计算有限的局部基函数，而不需要对整个曲线或曲面进行计算。
3. 可变性：B样条基函数的阶数和节点向量都是可变的，这意味着可以根据实际需求灵活地调整B样条的性质。
比如可以通过调整节点向量来改变曲线或曲面的形状，也可以通过调整阶数来控制光滑性和逼近精度。
三、B样条基函数在Matlab中的实现在Matlab中，B样条基函数的计算和应用通常依赖于Curve Fitting Toolbox和Spline工具包。
b样条插值算法原理
b样条插值算法原理
B样条插值算法是一种用于曲线和曲面的插值方法，其原理如下：
1. B样条基函数：B样条基函数是一组用于构造B样条曲线和
曲面的函数，其定义在一个定义域上，并且满足分片多项式函数的性质。
B样条基函数有两种形式：B样条基函数和B样条
基函数递推关系。
B样条基函数递推关系通过逐步增加控制点
的方式构造B样条基函数。
2. 控制点：B样条插值算法通过一组控制点确定一条曲线或曲面。
这组控制点可以是已知的离散点，也可以通过插值方法得到。
3. 插值过程：B样条插值算法中具体的插值过程如下：
- 确定曲线或曲面的控制点。
- 根据控制点计算B样条基函数的值。
- 根据B样条基函数的值和控制点的权重，计算插值点的值。
- 重复上述步骤，可以得到任意插值点的值。
4. 插值误差：B样条插值算法能够通过增加控制点的方式，得
到任意精度的插值结果。
在实际应用中，插值误差是指离散点和插值点之间的差距，可以通过控制点的数量和位置来控制插值误差的大小。
总之，B样条插值算法通过控制点和B样条基函数，可以得到任意精度的曲线和曲面插值结果。
这种算法具有灵活性高、插
值误差可控的特点，在计算机图形学和数值计算中得到广泛应用。
B样条函数一到三次函数详细推导过程
B 样条函数一到三次的详细推导过程已知第k 个关节的1n +个控制点(0,1,2,,)i P i n =L ，可以定义r 次B 样条函数，其可以表示为,0()()ni i r i Q t PN t ==∑这里,()i r N t 为r 次B 样条函数的基函数，可以由以下递推公式得到1,01()0i i i t t t N t +≤≤⎧=⎨⎩其它1,,11,111()=()()i i r i r i r i r i r i i r i t t t tN t N t N t t t t t ++-+-++++--+--B 样条的阶次对轨迹的性能影响比较大，阶次低光顺性不好，阶次高容易引起振荡，因此选择三次B 样条函数，当阶次3r =时，第i 段轨迹可以表示为一次B 样条函数推导2,1,01,0121()=()()i i i i i i i i i t t t tN t N t N t t t t t +++++--+--11,121221[,]()=[,]ii i i ii i i i i i t t t t t t tN t t t t t t t t +++++++-⎧∈⎪-⎪⎨-⎪∈⎪-⎩如果令11i i t t +-=，且将区间都变化为[0,1]，在区间[1,2]用1t t =+变换上式,1[0,1]()=1[0,1]i tt N t t t ∈⎧⎨-∈⎩0,1i =为了使在000,1111,1(),P P N t P P N ==，故将上式变换为,11[0,1]()=[0,1]i t t N t t t -∈⎧⎨∈⎩ 0,1i =二次B 样条函数推导3,2,11,1231()=()()i i i i i i i i i t t t tN t N t N t t t t t +++++--+--2313,2,01,01,02,021********()=(()())(()())i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t tN t N t N t N t N t t t t t t t t t t t t t +++++++++++++++++------+++------121231,212221312133233132[,]()=[,][,]i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t N t t t t t t t t t t t t t t t tt t t t t t t +++++++++++++++++++++++⎧--⋅∈⎪--⎪⎪----⋅+⋅∈⎨----⎪⎪--⋅∈⎪--⎩如果令11i i t t +-=，且将区间都变换为[0,1]，在区间[1,2]用1t t =+，在区间[2,3]用2t t =+变换上式，同时为了保证000,2222,2(),P P N t P P N ==，调整顺序得下式22,221(21)[0,1]21()=(221)[0,1]21[0,1]2i t t t N t t t t tt ⎧-+∈⎪⎪⎪-++∈⎨⎪⎪∈⎪⎩0,1,2i =三次B 样条函数推导4,3,21,2341()=()()i i i i i i i i i t t t tN t N t N t t t t t +++++--+--公式过长，分两部分表示，首先第一部分3,2,11,133231()(()())i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t N t N t N t t t t t t t t t +++++++----=+----=2,01,032121(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t +++++++----⋅⋅++----3131,02,03312132(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t ++++++++++++----⋅+----第二部分44141,21,12,141413142()(()())i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t N t t t t t t t t t +++++++++++++++----=+----=41131,02,041312132(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t ++++++++++++++----⋅+----+44242,03,041423243(()())i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t tN t N t t t t t t t t t ++++++++++++++----⋅+----由于公式过长，下面按照区间来表示，首先在1[,]i i t t t +∈区间321i i ii i i i i it t t t t t t t t t t t +++---⋅⋅--- 1[,]i i t t t +∈在12[,]i i t t t ++∈区间231322133121i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ++++++++++++------⋅⋅+⋅⋅+------411413121i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t +++++++++---⋅⋅--- 12[,]i i t t t ++∈在23[,]i i t t t ++∈区间3341333132413132i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t t t ++++++++++++++++------⋅⋅+⋅⋅+------442414232i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t +++++++++---⋅⋅--- 23[,]i i t t t ++∈在34[,]i i t t t ++∈区间444414243i i i i i i i i i t t t t t tt t t t t t +++++++++---⋅⋅--- 34[,]i i t t t ++∈上面四个区间表达式写在一起可以表示为321231411322133121413121,3333()i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t t t N t t t t t t t t t ++++++++++++++++++++++++++++---⋅⋅------------⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅---------=--⋅--3413442132413132414232444414243i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ++++++++++++++++++++++++++++++⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨-------⎪⋅+⋅⋅+⋅⋅⎪-------⎪---⎪⋅⋅⎪---⎩以上是B 样条的一般表达式，我们常用的是均匀B 样条，其一般是在[0,1]区间。
b样条的边界函数 -回复
b样条的边界函数-回复样条函数是数学中一类满足一定条件的函数，常用于曲线和曲面的插值、逼近以及绘制等应用领域。
在样条函数中，边界函数则是定义在插值区间的边界上的函数。
本文将一步一步回答“样条的边界函数”的问题，详细介绍边界函数在样条插值中的作用和计算方法。
首先，为了理解边界函数，需要先了解一下样条插值的基本概念。
样条插值是一种通过一系列给定的插值节点和对应的函数值，构造出一条光滑曲线的方法。
与其他插值方法相比，样条插值能够较好地拟合数据，并提供一定的平滑性。
样条插值的首要任务是构造一条连续函数，并满足给定的边界条件。
而边界函数则是在定义域的边界上定义的函数，用于满足边界条件。
样条插值通常采用三次样条函数作为插值函数，因此边界函数也是三次函数。
其次，我们需要了解样条插值中常用的边界条件。
在样条插值中，常见的边界条件有自然边界条件、固定边界条件和周期边界条件。
自然边界条件要求插值函数的二阶导数在边界点处为零；固定边界条件要求指定边界点处的函数值；周期边界条件要求插值函数在边界处连续并且满足周期性。
接下来，我们将介绍如何计算自然边界条件下的样条函数。
假设插值的区间为[a, b]，有n+1个插值节点(x0, x1, ..., xn)和对应的函数值(y0, y1, ...,yn)。
首先，我们需要构造一个三对角矩阵A，并定义一个列向量B，用于求解线性方程组。
三对角矩阵A的元素由以下规则定义：- 主对角线元素(ai,i) = 2(hi-1 + hi)，其中hi = xi+1 - xi，i为0到n-1。
- 次对角线元素(ai, i+1) = hi，i为0到n-2。
- 次对角线元素(ai+1, i) = hi，i为1到n-1。
列向量B的元素由以下规则定义：- B0 = 6[(y1-y0)/(x1-x0) - c1]/(x1-x0)，- Bi = 6[(yi+1-yi)/(xi+1-xi) - (yi-yi-1)/(xi-xi-1)]/(xi+1-xi-1)，i为1到n-1。
b样条曲线控制点反求算法
b样条曲线控制点反求算法
B样条曲线是一种常用的曲线表示方法，它可以通过控制点来定义曲线形状。
要实现控制点反求算法，即根据已知的B样条曲线和曲线上的点，求解出控制点的位置，可以采用以下步骤：
1. 确定B样条曲线的阶数和节点向量：B样条曲线的阶数决定了每个控制点对应的影响范围，而节点向量则决定了参数空间中各个区间的范围。
2. 根据节点向量和阶数，构造基函数：B样条曲线的形状是由一系列基函数的线性组合得到的。
基函数的数量等于控制点的数量。
3. 构造方程组：根据已知的曲线上的点和基函数，可以构造一个线性方程组。
方程组的未知数是控制点的坐标。
4. 解线性方程组：使用线性代数的方法，将方程组进行求解，得到控制点的坐标。
需要注意的是，控制点反求算法存在唯一性问题，即给定一条B样条曲线和曲线上的点，并不一定能够唯一确定控制点的位置。
因此，在实际应用中，可能需要额外的约束条件来确定控制点的位置，或者采用优化算法来寻找最佳的控制点位置。
1。
B样条曲线曲率简易求解算法
B样条曲线曲率简易求解算法江本赤【摘要】提出了一种简易曲率求解算法,在对原B样条曲线降阶处理的基础上,直接利用常用的曲率计算公式即可,避免了复杂的求导运算.最后以两条典型的曲线为例,通过仿真实验验证了该算法的可行性.【期刊名称】《制造技术与机床》【年(卷),期】2014(000)010【总页数】3页(P78-80)【关键词】B样条;曲率;求解算法【作者】江本赤【作者单位】安徽国防科技职业学院,安徽六安237011【正文语种】中文【中图分类】TP273B样条是于1946年首次由Schoenberg提出的[1]。
B样条曲线具有局部控制能力强的优点，可在不改变曲线阶数的情况下增加控制点[2]。
在CAD/CAM中，B 样条常用来表达几何形状。
在工程力学中，B样条还用作机件的应力和位移分析[3-4]。
而在分析B样条曲线形状时，通常需要求出其曲率[5-6]。
不同于简单曲线的曲率计算，B样条曲线的曲率求解则复杂得多，目前常见的方法是先求出其导曲线，而对B样条的求导非常复杂，极容易出错。
鉴于上述情况，本文提出一种简易的曲率计算方法。
具体做法是先对原B样条曲线进行相对简单的降阶处理，然后直接利用曲率计算公式即可。
该算法可避免对B 样条曲线的求导运算，对于减低运算量具有积极意义。
1 B样条曲线定义一条p次B样条曲线定义为(1)式中：Pi是控制顶点，Ni,p(u)是p次基函数，它定义在节点矢量U上，并在区间[ui,ui+p+1)上非零，其数值按照式(2)和(3)求取。
(2)(3)节点矢量U中a和b的重复度都为p+1，除非特别声明，通常取a=0，b=1。
2 曲率求解算法根据文献[3]中的表述，对p次B样条曲线的定义公式进行形式化求导，可得一阶导曲线，其公式为：(4)现将式(1)记为C1(u)，并改写成：(5)可见式(5)的形式与B样条曲线的定义公式完全一致。
可以直接将C1(u)看作降阶处理后的(p-1)次B样条曲线，其对应的曲线参数分别为控制顶点Qi、节点矢量U1。