高二数学人教A版选修4-5导学案 3.1二维形式的柯西不等式导学案 Word版含解析
3.1《二维形式的柯西不等式》教案(新人教选修4-5)
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
《二维形式的柯西不等式
》教案
一、教Байду номын сангаас目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据△ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析
3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。
（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。
数学人教A版选修4-5学案：课堂导学 3.1二维形式的柯西
课堂导学三点剖析一,利用二维形式的柯西不等式证明不等式【例1】(1)如果a,b>0,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(2)如果a,b>0且a≠b,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.证明：(1)(a3+b3)(a2b+ab2)=［(3a)2+(3b)2］［(a b)2+(b a)2］≥(3a·a·b+3b·b·a)2=(a2b+ab2)2,“=”成立的条件是3a·b·a=3b·a·b,即a=b时成立,但a≠b,故“＝”不成立.∴(a3+b3)(a2b+ab2)>(a2b+ab2)2.∴a3+b3>a2b+ab2.(2)(a5+b5)(a+b)=［(5a)2+(5b)2］［(a)2+(b)2］>(5a·a+5b·b)2=(a3+b3)2.由(1)知a3+b3>a2b+ab2,∴(a5+b5)(a+b)>(a2b+ab2)2=a2b2(a+b)2.∴a5+b5>a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.∴原不等式成立.温馨提示要利用二维形式的柯西不等式,就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”(即两个数的乘积与另两个数的乘积之和的形式).各个击破类题演练1设a,b,c均为正实数,且acos2θ+bsin2θ<c.求证:a cos2θ+b sin2θ<c.证明:∵acos2θ+bsin2θ<c(a,b,c>0),∴(a cos2θ+b sin2θ)2=［(a cosθ)·cosθ+(b sinθ)·sinθ］2≤［(a cosθ)2+(b sinθ)2］·(cos2θ+sin2θ)=acos2θ+bsin2θ<c.故a cos2θ+b sin2θ<c.变式提升1证明下列不等式:(1)a,b,c ∈R +,(a+b+c)(cb a 11++)≥4. (2)α为锐角,(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥3+22. 证明:(1)(a+b+c)(c b a 11++)=［(a+b)+c ］(cb a 11++)≥(1+1)2=4. 等号当且仅当b a +1=k(a+b)且c 1=k·c 时取得, 即(a+b)2=c 2时取等号. (2)(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥(1+ααcos sin 1∙)2 =(α2sin 21+)2≥(1+2)2 =3+22,等号当且仅当α=4π时取得,此时ααcos 1sin 1=且sin2α=1. 二、利用二维形式的柯西不等式求最值【例2】 直线l 经过第一象限内的点M(a,b),与x,y 轴的正半轴相交于点P,Q,求线段PQ 的最小值,及取得最小值时直线的方程.解析:设l 的方程为n y m x +=1(m,n>0), 则nb m a +=1, 引进待定常数(a 2α+b 2α)(α∈R ).由柯西不等式得(m 2+n 2)(a 2α+b 2α)≥(ma α+nb α)2=(ma α+nb α)2·12=(ma α+nb α)2(nb m a +)2 =［(ma α+nb a )(n b m a +)］2 ≥［(nb nb m a ma ∙+∙αα)2］2 =(11+++ααb a )4. 当且仅当ααb n a m =时,第一个不等式取等号;当且仅当n b nb m ama αα=即2121αα--=b n a m 时,第二个不等式取等号.因此当且仅当两个等号同时成立时,即α=21α-,亦即α=31时,(22n m +)(3232b a +)≥(3232b a +)4取等号. 所以|PQ|=22n m +≥(3232b a +)23,|PQ|min =(3232b a +)23.此时k=3ab m n -=-, ∴l:y-b=3a b -(x-a). 类题演练2设x>0,y>0,x+y≤4,求yx 11+的最小值. 解析：4(y x 11+)≥(x+y)(yx 11+) ≥(1+1)2=4, ∴yx 11+的最小值为1. 等号当且仅当x=y=2时取得.变式提升2 求椭圆2222by a x +=1的切线夹在两条坐标轴之间的线段的最小值. 解析:设M(x 0,y 0)是椭圆上任一点, 则220220by a x +=1. 经过M 点的切线为l:2020by y a x x +=1, l 与x,y 轴分别相交于点P(02x a ,0),Q(0,02y b ).|PQ|2=(02x a )2+(02y b )2 =［(02x a )2+(02y b )2］(220220b y a x +) ≥(02x a ·a x 0+02y b by 0·)2 =(a+b)2. 当且仅当b a by a x +==1320320即|x 0|=b a a a +,|y 0|=ba b b +时等号成立. 于是|PQ|min =a+b.三、利用二维柯西不等式解决其他问题【例3】 求经过点P(5,1)与椭圆4)3(9)2(22++-y x =1相切的切线方程. 解析：设直线方程为Ax+By+C=0,由经过点P(5,1)得C=-(5A+B).于是直线方程可表示为A(x-2)+B(y+3)=3A+4B.由柯西不等式得(3A+4B)2=［A(x-2)+B(y+3)］2=［3A·3)2(-x +2B·2)3(+y ］2 ≤(9A 2+4B 2)［4)3(9)2(22++-y x ］ =9A 2+4B 2.直线与椭圆相切时不等式取等号,即(3A+4B)2=9A 2+4B 2,解得B=0或B=-2A.所以要求的切线方程为x-5=0和x-2y-3=0.温馨提示研究直线与圆锥曲线的常规方法是采用代入消元,化为一元二次方程,然后利用根的判别式求解,因这类问题常含有待定字母,导致解题过程冗长,计算烦琐.本例引用柯西不等式解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以减少计算,增强直观.一些题目通过观察,简单拼凑,即可达到目的,并且解题后易于复查.因此,适当引用柯西不等式解决几何中的含参数问题,确实是一个十分有效的好方法.类题演练3已知直线y=(1-x)tanθ与双曲线-x 2+y 2cos 2θ=1相切(-2π<θ<2π).求切线方程和切点坐标. 解析:由柯西不等式,y 2=(1-x)2tan 2θ=［1·1+(-1)·x ］2tan 2θ ≤2(1+x 2)tan 2θ=2y 2cos 2θtan 2θ=2y 2sin 2θ⇒sin 2θ≥21. 当且仅当111-=x ,即x=-1时,sin 2θ=21, 此时,由-2π<θ<2π得θ=±4π. 所以切线方程为y=x-1和y=1-x, 切点为(-1,±2).变式提升3已知2x+y=1,求3x 2+4y 2的最小值. 解析:∵(3x 2+4y 2)·1219 =［(3x)2+(2y)2］·［(32)2+(21)2］ ≥(2x+y)2=1,∴3x 2+4y 2≥1912. 当且仅当21×3x=32×2y 时, 即y=193,x=198时,“＝”成立. 故3x 2+4y 2的最小值为1912.。
人教版数学高二《二维形式的柯西不等式》精品导学案 人教
不等式选讲二维形式的柯西不等式学习目标：1。
认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：略。
推论：1． ||2222bd ac d c b a +≥+⋅+(当且仅当ad=bc 时，等号成立.)2．),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当ad=bc 时，等号成立.)3．||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）例1：已知a,b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++ 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。
所以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。
分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。
这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。
（2222||d c b a bd ac +⋅+≤+）解：函数的定义域为【1，5】，且y>036427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x xx y当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时，函数取最大值36 课堂练习：1. 证明: (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)22.求函数x x y -+-=6453的最大值.例3.设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+ba 分析：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了。
人教版高中数学A版选修4-5 第三讲3.1二维形式的柯西不等式课程教学设计
二维形式的柯西不等式1．教学目标知识与技能（1）认识二维形式的柯西不等式，了解它的结构特征,并理解其几何意义.（2）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.（3）知道一般形式的柯西不等式.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会从几何到代数的数学研究一般方法.（2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。
如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式，给出二维柯西不等式的几何意义等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——建立具体问题与柯西不等式之间的联系，经过恰当变形，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步学会化归转化思想的运用技术。
情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式的向量形式和三角不等式的几何意义，体会数形结合的思想，逐步提高观察、归纳和主动获取知识的能力，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
（2）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，品尝成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。
（3）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,体会事物间的辩证统一，感受数学的形式美。
2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。
本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式和二维形式的三角形不等式，以及它们的几何背景。
二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
人教版数学高二A版选修4-5学案 3.1二维形式的柯西不等式预习案
2.3 二维形式的柯西不等式预习目标1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.一、预习要点1.二维形式的柯西不等式定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当________时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α·β是两个向量，则|α·β|≤________，当且仅当β是________，或存在实数k ，使________时，等号成立．3．二维形式的三角不等式定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥____________________.4．二维形式的三角不等式的变式用x 1－x 3代替x 1，用y 1－y 3代替y 1，用x 2－x 3代替x 2，用y 2－y 3代替y 2，代入定理3，得二、预习检测1．已知a ，b ∈R ，且P ＝a ＋b 2，Q ＝a 2＋b 22，则P 、Q 的关系是 ( )． A ．P ≥QB ．P ＞QC ．P ≤QD ．P ＜Q2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是 ( )．A.56B.65C.2536D.3625 3．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是 ( )．A. 2B ．2 C. 3 D ．3 4.已知a ，b ，c ∈R *，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是________．三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。
参考答案一、预习要点2.|α||β|零向量α＝kβ二、预习检测1.答案C2.答案B3.解析2x＋y≤22(21)(2)x y++＝3，故选C.答案C4.答案1a＋1b＋1c≥9。
高二数学人教A版选修4-5导学案 第三讲柯西不等式与排序不等式复习导学案 Word版含解析
第三讲柯西不等式与排序不等式复习
一、知识梳理
二、题型、技巧归纳
题型一、利用柯西不等式证明简单不等式
柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．
例已知，，是实数，且＋＋＝，求证：＋＋≤.
[再练一题]
．设，，，都是正数，且＋＝＋，求证：＋≥.
题型二、排序原理在不等式证明中的应用
应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．
例已知，，为正实数，求证：＋＋≤＋＋.
[再练一题]
．设，，∈＋，求证：＋＋≥＋＋.
题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值
有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．
例设，，为正实数，且＋＋＝，求＋＋的最大值．
[再练一题]
．已知实数，，，，满足＋＋＋＋＝.求＋＋＋＋的最大值.
三、随堂检测
．已知关于的不等式＋<的解集为{<<}．
()求实数，的值；
()求＋的最大值．
．已知>，>，>，函数()＝＋＋－＋的最小值为.
()求＋＋的值；
()求＋＋的最小值．
．已知>，>，且＋＝，那么·的最大值是()
．．
．已知，∈＋，且＋＝，则(＋)的最大值是()
．。
人教版数学高二A版选修4-5学案第三讲一二维形式的柯西不等式
一 二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥__________，当且仅当______时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b)(c ＋d)≥________________(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )．【做一做1】 已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6 B.6 C ．6 D ．122．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤__________，当且仅当β是________，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．【做一做2】 设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.3．二维形式的三角不等式(1)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥__________________.(2)推论：(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥____________________，(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．解决柯西不等式的应用问题，关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式．答案：1．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)(ac ＋bd )2 |ac ＋bd | |ac |＋|bd |【做一做1】 D (4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立． 2．|α||β| 零向量【做一做2】 －18 (4，－2，－4) 根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立．∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．3．(1)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 (2)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)21．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，(a 2＋b 2)(d 2＋c 2)≥(ad ＋bc )2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．柯西不等式取“＝”的条件剖析：柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是“ad ＝bc ”，有点像a ，b ，c ，d 成等比时，ad ＝bc 的结论，a ，b ，c ，d 的顺序不等式中是对应排列顺序的，柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|，取“＝”的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆．题型一 柯西不等式等号成立的条件【例1】 求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 反思：利用二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是ad ＝bc .因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a ，b ，c ，d ”的数或代数式，否则容易出错．题型二 利用柯西不等式证明某些不等式【例2】 设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2. 分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求a 22－a ＋b 22－b 的最小值，因而需出现(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)结构．把a 22－a ＋b 22－b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a )＋(2－b )．反思：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．答案：【例1】 证明：设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2＝(x －x 0)2＋(y －y 0)2，A 2＋B 2≠0.由柯西不等式，得(A 2＋B 2)[(x －x 0)2＋(y －y 0)2]≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2＝(Ax 0＋By 0＋C )2，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 当且仅当x －x 0A ＝y －y 0B ＝－Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2时，取等号．由垂线段最短，得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 【例2】 证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )](a 22－a ＋b 22－b) ＝[(2－a )2＋(2－b )2][(a 2－a )2＋(b 2－b )2] ≥(2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b )2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. 当且仅当2－a ·b 2－b ＝2－b ·a 2－a ， 即a ＝b ＝1时等号成立．∴原不等式成立．1．已知49x y+＝2，x ，y ∈R ＋，则x ＋y 的最小值是( ) A.252 B.254 C.52 D ．5 2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D. 36253．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1.4．已知a ＞b ＞c ，求证：11a b b c +--≥4a c-.5．设a ，b ，c ＞0，且acos 2θ＋bsin 2θ＜c.22θθ+答案：1．A由49x y+＝2，可得x＋y212＝21(23)2+＝252.，即x＝5，y＝152时等号成立．2．B2x2＋3y2＝[2)＋2)][2＋2]×15≥21)5+＝26()5x y+＝65.当且仅当2x＝3y，即x＝35，y＝25时等号成立．3．证明：由柯西不等式，得|ax＋by|＝1.当且仅当ay＝bx时等号成立．4．分析：原不等式可变形为(a－c)(1a b-＋1b c-)≥4.又a－c＝(a－b)＋(b－c)，利用柯西不等式证明即可．证明：(a－c)(1a b-＋1b c-)＝[(a－b)＋(b－c)](1a b-＋1b c-)＝[2＋2][2＋2]≥2＝4，即a－b＝b－c时等号成立．∴原不等式成立．5．证明：由柯西不等式及题设，得2θ2θ)2＝cos θθsin θθ)2≤[2)θ＋2)θ](cos 2θ＋sin 2θ)＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .sin θθsin θθ， 即a ＝b 时等号成立．2θ2θ。
高中数学 第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(一)教案 新人教A版选修4-5
2=+=+2c da⋅=<>|||cos,n m n m n22=+-+++，则x a b x ac bd x c d()()2()222+≥c dc d+≥22222d ac+≥,αβ是两个向量，则|β.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2019_2020高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式教案新人教A版选修4_5
3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。
（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式 当且仅当时，等号成立（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p 3＋q 3·p ＋q ＝2p ＋q . 又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x 2＋y 2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p 2＋q 2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4. 所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a＋2－b ·b2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a ·b2－b＝2－b ·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a 22－a ＋b 22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13 D.0 【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( ) A ．2 6 B. 6 C ．6 D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________. 【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式 八、教学反思。
2019_2020高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式学案新人教A版选修4_5
3.1二维形式的柯西不等式预习案一、预习目标及范围1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．二、预习要点教材整理 二维形式的柯西不等式 代数形式 三、预习检测1.已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( )A.56B.65C.2536D.3625 2．已知x ，y ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为4，则xy ＝________. 3．已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋b y＝1，求x ＋y 的最小值．探究案一、合作探究题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2.二、随堂检测1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13 D.02．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6 B. 6 C ．6 D.123．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.参考答案预习检测：1.【解析】 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.【答案】 B2.【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1＋1xy 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4. 又xy ＞0， ∴xy ＝1，∴xy ＝1.【答案】 1 3.【解】 构造两组实数x ，y ；a x ，by .∵x ，y ，a ，b ∈R ＋，a x ＋by ＝1，∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b y 2]≥(a ＋b )2， 当且仅当x ∶a x ＝y ∶b y ，即xy ＝ab 时取等号，∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2.随堂检测：1.【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13.【答案】 C2.【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3.【解析】 |a |＝5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35。
人教A版选修4-5 3.1 二维形式的柯西不等式 学案
一二维形式的柯西不等式第9课时二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)二维形式的三角不等式的推论用x 1－x 3代替x 1，用y 1－y 3代替y 1，用x 2－x 3代替x 2，用y 2－y 3代替y 2，代入定理3，得x 1－x 32＋y 1－y 32＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 22＋y 1－y 22(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．知识点一 证明不等式1．已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ＋，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.2．(2019·福建泉州检测)设m 2x 2＋n 2y 2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.证明：因为m 2x 2＋n 2y2＝1，所以x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2x 2＋n 2y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·mx ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2. 知识点二 求最值3．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：∵f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3， ∴f (x )＝ 2sin 2x ＋cos x ≤2＋1sin 2x ＋cos 2x ＝3， 当且仅当cos x ＝33时取等号， ∴f (x )的最大值为 3. 答案：A4．(2019·河南师大附中月考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2， 所以5(m 2＋n 2)≥52，得m 2＋n 2≥5，所以m 2＋n 2≥ 5. 答案： 5知识点三 柯西不等式的向量形式的应用5．已知θ为锐角，a >0，b >0，用柯西不等式的向量形式证明：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 证明：设m ＝⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则m ·n ＝acos θ·cos θ＋bsin θ·sin θ＝a ＋b . ∴|a ＋b |＝|m ·n|≤|m|·|n| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2. ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 6．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值．解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x, 1＋sin 2x )，则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x ＝m ·n .由柯西不等式，得|m ·n|≤|m||n|＝32＋42·cos 2x ＋1＋sin 2x ＝5 2. 当且仅当m 与n 共线时取等号． 此时31＋sin 2x ＝4cos x ，解得sin x ＝75，cos x ＝325.∴f (x )的最大值为5 2.一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：∵(ax ＋bx )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2. 答案：C2．(2019·河北邢台训练)设a ，b ，c ，d ，n ，m ∈R ＋，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 之间的大小关系是( ) A ．P ≥Q B ．P ≤QC ．P ＝QD ．P ，Q 大小关系不确定解析：Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n≥ ab ＋cd2＝ab ＋cd ＝P ，故选B.答案：B3．已知4x ＋9y＝2，x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为( )A ．5B.52C.252D.254解析：由4x ＋9y ＝2，得x ＋y ＝[x2＋y2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·2x ＋y ·3y 2＝12(2＋3)2＝252， 当且仅当x ·3y ＝y ·2x，即x ＝5，y ＝152时，等号成立，∴x ＋y 的最小值为252.答案：C4．(2019·南宁二中、柳州中学联考)若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)解析：由柯西不等式，得(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，因为a 2＋b 2＝10，所以(a －b )2≤20，所以－25≤a －b ≤25，故选A.答案：A5．若直线x a ＋y b＝1，通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1解析：解法一：因为点M (cos α，sin α)在单位圆x 2＋y 2＝1上，依题意知，直线与单位圆相交，所以原点到直线的距离小于或等于1，即1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≤1，∴1a 2＋1b2≥1.解法二：用柯西不等式的向量形式求解．令m ＝(cos α，sin α)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1b .则m ·n ＝cos αa ＋sin αb＝1，|m |＝1，|n |＝1a2＋1b2.由m ·n ≤|m||n|，得 1a2＋1b2≥1，∴1a 2＋1b2≥1.答案：D 二、填空题6．已知实数m ，n >0，则a 2m ＋b 2n ________(填“≥”“>”“≤”或“<”)a ＋b 2m ＋n.解析：因为m ，n >0，利用柯西不等式，得(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥a ＋b 2m ＋n.答案：≥7．设a ＝(－2,1)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________． 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b|≤|a||b|＝65，当且仅当a ＝k b 时取等号，∴－65≤a ·b ≤6 5. ∴a ·b 的最小值为－6 5.答案：－6 58．(2019·广东揭阳一中期末)若直线x cos θ＋y sin θ＝2(0≤θ≤π)和椭圆x 2＋3y 2＝6有公共点，则θ的取值范围是________________．解析：由柯西不等式，得22＝(x cos θ＋y sin θ)2＝(x ·cos θ＋3y ·13sin θ)2≤(x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ＋13sin 2θ＝6cos 2θ＋2sin 2θ，解得cos 2θ≥12，∴cos θ≤－22或cos θ≥22，∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤π4或34π≤θ≤π.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪0≤θ≤π4或3π4≤θ≤π三、解答题9．(2019·福建泉州质检)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值．(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎨⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由(1)知a ＝－3，b ＝1.∴－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤32＋12·4－t2＋t2＝24－t ＋t ＝4.当且仅当3·t ＝4－t ，即t ＝1时，等号成立， ∴(－3t ＋12＋t )max ＝4.10．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： 2a ＋1＋b ＋13≤222. 证明：令α＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，b ＋13，β＝(2，1)，则|α·β|＝2a ＋1＋ b ＋13.而|α|＝a ＋12＋b ＋13＝116， 又|β|＝3， ∴|α||β|＝222.由|α·β|≤|α||β|，得 2a ＋1＋b ＋13≤222.。
新人教A版高中数学(选修4-5)《第三讲柯西不等式与排序不等式》word教案
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R+=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题 第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B A C -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题 第四课时3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5对应学生用书P291．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有－＋－＋－＋－≥.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．对应学生用书P29[例1] b)2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ.”然后用柯西不等式证明．[证明] ∵＋b2sin2θ＝(cos2θ＋sin2θ)≥2＝(a＋b)2，∴(a＋b)2≤＋.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1.证明：由柯西不等式得(ax ＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1， ∴|ax ＋by|≤1.2．已知a1，a2，b1，b2为正实数． 求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)＝[()2＋()2]≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a1＋a2)2.3．设a ，b ，c 为正数， 求证：＋＋≥ (a＋b ＋c)． 证明：由柯西不等式：a2＋b2·≥a＋b ，即·≥a＋b. 同理：·≥b＋c ，2·≥a＋c ，将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥2(a＋b ＋c)∴ ＋ ＋ ≥ ·(a ＋b ＋c).[例[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当＝cos α>0即sin α＝，cos α＝时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝.当且仅当x＝y＝时取等号．∴2x＋y的最大值为.5．已知2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．解：∵(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4，∴4x2＋9y2≥.当且仅当2×2x＝3y×2，即2x＝3y时等号成立．又2x＋3y＝1，得x＝，y＝，故当x＝，y＝时，4x2＋9y2的最小值为.6．求函数f(x)＝＋的最大值及此时x的值．解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得(＋)2≤(12＋12)[()2＋()2]＝2(x－6＋12－x)＝12，即＋≤2.故当＝时即x＝9时函数f(x)取得最大值2.对应学生用书P31 1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是( )A．P≤Q B．P＜QC．P≥Q D．P＞Q解析：设m＝(x，y)，n＝(，)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.答案：A2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )A．[－2，2 ] B．[－2，2 ]C．[－， ] D．(－，)解析：(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－2≤a－b≤2.答案：A3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )A. B.65C. D.3625解析：(2x2＋3y2)[()2＋()2]≥(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6，(当且仅当x＝，y＝时取等号)即2x2＋3y2≥.答案：B4．函数y＝＋2的最大值是( )A. B. 5C．3 D．5解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝(当且仅当x＝时取等号)．答案：B5．设xy>0，则·的最小值为________．解析：原式＝≥2＝9.(当且仅当xy＝时取等号)答案：96．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|，∴|a·b|≤×6＝18，当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18，∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x2＋2y2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：由柯西不等式得(2x ＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11， 于是2x ＋y≤. 答案：118．已知x ，y∈R＋，且x ＋y ＝2.求证：＋≥2.证明：＋＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝[ ()2＋()2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1y2≥2＝2，当且仅当时等号成立，此时x ＝1，y ＝1. 所以＋≥2. 9．解方程＋2 ＝. 解：15＝2≤[()2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋1－2x＝6＝6×＝15.其中等号成立的充要条件是2x ＋322＝，解得x ＝－.10．试求函数f(x)＝3cos x ＋4的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n＝(cos x，)则f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n|＝·32＋42＝5 2当且仅当m∥n时，上式取“＝”．此时，3 －4cos x＝0.解得sin x＝，cos x＝.故当sin x＝，cos x＝时．f(x)＝3cos x＋4 取最大值5.。
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二维形式的柯西不等式
预习案
一、预习目标及范围
．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．
．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．
二、预习要点
教材整理二维形式的柯西不等式
内容等号成立的条件
代数形式若，，，都是实数，则(＋)·(＋)≥当且仅当时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则α·β≤αβ当且仅当，或，等号成立
三角形式设，，，∈，那么＋≥
当且仅当时，等号成立
三、预习检测
.已知＋＝，那么＋的最小值是()
．已知，＞，的最小值为，则＝.
．已知，，，∈＋，且＋＝，求＋的最小值．探究案
一、合作探究
题型一、二维柯西不等式的向量形式及应
例已知，均为正数，且＋＝.求证：＋≤.
【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
[再练一题]
．若本例的条件中，把“＋＝”改为“＋＝”，试判断结论是否仍然成立？
题型二、运用柯西不等式求最值
例若＋＝，求＋的最小值．
【精彩点拨】由＋＝以及＋的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(＋)作为一个因式而解决问题．
[再练一题]
．若＋＝，试求＋的最小值及最小值点.
题型三、二维柯西不等式代数形式的应用
例已知＋＝，求证：＋≥.
【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．
[再练一题]
．设，∈＋且＋＝.求证：＋≥.
二、随堂检测
．设，∈，且＋＝，则＋的最小值为()
．．。