高二数学人教A版选修4-5导学案 3.1二维形式的柯西不等式导学案 Word版含解析

二维形式的柯西不等式

预习案

一、预习目标及范围

．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．

．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．

二、预习要点

教材整理二维形式的柯西不等式

内容等号成立的条件

代数形式若，，，都是实数，则(＋)·(＋)≥当且仅当时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则α·β≤αβ当且仅当，或，等号成立

三角形式设，，，∈，那么＋≥

当且仅当时，等号成立

三、预习检测

.已知＋＝，那么＋的最小值是()

．已知，＞，的最小值为，则＝.

．已知，，，∈＋，且＋＝，求＋的最小值．探究案

一、合作探究

题型一、二维柯西不等式的向量形式及应

例已知，均为正数，且＋＝.求证：＋≤.

【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．

[再练一题]

．若本例的条件中，把“＋＝”改为“＋＝”，试判断结论是否仍然成立？

题型二、运用柯西不等式求最值

例若＋＝，求＋的最小值．

【精彩点拨】由＋＝以及＋的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(＋)作为一个因式而解决问题．

[再练一题]

．若＋＝，试求＋的最小值及最小值点.

题型三、二维柯西不等式代数形式的应用

例已知＋＝，求证：＋≥.

【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．

[再练一题]

．设，∈＋且＋＝.求证：＋≥.

二、随堂检测

．设，∈，且＋＝，则＋的最小值为()

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