复变函数以往考题选
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2009年A 卷
一、研究方程（10分）
方程2sin =z 在复数范围内是否有解？若有解，求出其所有的解。若无解，说明理由。
二、计算与证明（20分）
1. 已知22),(y x x
y x u +=，22),(y x y y x v +-=。
1）证明：),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面除去原点的区域上解析。(7分)
2）对上述的)(z f ，计算复积分⎰γz z f d )(，这里γ
为由1至i +1到i 的折线段。（8分）
2. 已知22),(y x y x u +=。问是否存在定义在全平面的函数),(y x v ，使得函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面上解析？如存在求出一个满足条件的),(y x v ，如不存在，请说明理由。（5分）
三、 计算（20分） 已知函数
z z f 1sin )(=。 1. 求
)(z f 在1点的Taylor 级数（只需展开至平方项），并指出该级数的收敛半径。（7分） 2. 求)(z f 的一切孤立奇点，并判断其类型。（8分）
3. 复平面上的极限z z z 10sin lim
→是否存在？若存在，求出该极限，若不存在，说明理由。
（5分）
四、计算（20分） 1. 计算广义积分⎰+∞
+02
1d os x x x c α，这里α为非负常数。（10分） 2. 利用上题结论，计算211
)(x x f +=的Fourier 变换。（10分）
五、利用积分变换法求解常微分方程定解问题（10分）
⎩⎨⎧===-+1
)0(',1)0(0)(2)(')(''x x t x t x t x 六、研究保形映照（第1题15分，第2题5分，共20分）
设D 为圆域}1|{|21<-z 和}3|{|3<
+z 的公共部分。 1. 构造D 到单位圆盘}1
|{|
一、研究方程（10分）
方程1-=z e 在复数范围内是否有解？若有解，求出其所有的解。若无解，说明理由。
二、计算与证明（20分） 1. 已知22ln
),(y x y x u +=，y y x v arctan ),(=。 1）证明：
),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的第I,IV 象限（不包含y 轴）上解析。(7分)
2）对上述的
)(z f ，计算复积分⎰γz z f d )(，这里γ为由i -经1到i 的折线段。（8分） 2. 已知xy y x u =),(。问是否存在定义在全平面的函数),(y x v ，使得函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面上解析？如存在求出一个满足条件的),(y x v ，如不存在，请说明理由。（5分）
三、 计算（20分） 已知函数z
z f sin 1)(=。 1. 求
)(z f 在1点的Taylor 级数（只需展开至平方项），并指出该级数的收敛半径。（7分） 2. 求)(z f 的一切孤立奇点，并判断其类型。（8分）
3. 复平面上的极限z z z sin lim 0
→是否存在？若存在，求出该极限，若不存在，说明理由。（5分）
四、计算（20分）
1. 计算广义积分⎰+∞
++04
221d os x x x x c α，这里α为非负常数。（10分）
2. 利用上题结论，计算42211
)(x x x f ++=的Fourier 变换。（10分）
五、利用积分变换法求解常微分方程定解问题（10分）
⎩⎨⎧===+0
)0(',0)0()()(''x x e t x t x t
六、研究保形映照（第1题15分，第2题5分，共20分）
设D 为圆域}2|1{|<-z 和}2|1{|<+z 的公共部分。
1. 构造D 到上半平面}0{Im >z 的可逆保形映照)(z f ，且满足0)0(',)0(>=f i f 。
2. 该映射在i 点是否保形？说明理由。
2011年A 卷
一.（10分）在复数范围内ln (z 1z 2)=ln z 1+ln z 2是否正确？说明理由。
二.（20分）已知 u (x,y )=e 2x cos αy 为调和函数，这里α为正实数。
(1) 求α . (2) 求函数v (x,y )，使得f (z )=u (x,y )+iv(x,y)为解析函数，且v (0,0)=0.
(3) 设C ={(x,y ):x 2+y 2=1,x ≥0,y ≥0}，取逆时针方向，计算积分∫f (z )dz C .
三.（20分）记f (z )=z(z−1)z+1，g (z )=e z 。
(1) 求f(z)在0点的Taylor 展开式，并指出其收敛半径。
(2) 分析f(z)g (z )−1
在扩充复平面C 上的一切奇点的类型。 (3) 极限lim z→∞f (z )g (z )
是否存在？说明理由。 四. (1) （10分）计算1x +4的Fourier 变换。
(2) （10分）计算积分∫
x sin x
(x +4)dx +∞0.
五.（10分）求解常微分方程初值问题
{x ′′(t )+4x ′(t )+4x (t )=cos t x (0)=1,x ′(0)=0
六. (1) （10分）给出一个D ={(x,y ):x 2+y 2<3,x 2+(y −2)2<1}到单位圆盘的共形等价。
(2)（5分）若f (z )=u (x,y )+iv(x,y)解析，h(x,y)调和，证明：H (x,y )=h(u (x,y ),v (x,y ))调和。
(3)（5分）已知对任何在单位圆周上的连续函数μ(θ)，偏微分方程边值问题
{ð2g +ð2g =0x 2+y 2<1g (cos θ,sin θ)=μ(θ)θ∈[0,2π]
总有解。求证：偏微分方程边值问题
{ð2g 2+ð2g 2=0(x,y)∈D g (x,y )=υ(x,y )(x,y)∈ðD
有解。这里υ(x,y )为给定的在D 的边界ðD 上的连续函数。