互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列 车。
相信自己行，你就行！
作业:课后练习
命题的逆命题．但是原命题正
确，它的逆命题未必正确．例
如真命题“对顶角相等”的逆
倍 速
命题为“相等的角是对顶角”，
课 时 学
此命题就是假命题．
练
如果一个定理的逆命题也是定理， 那么这两个定理叫做互逆定理。其中一 个定理叫做另一个定理的逆定理。
如：两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题 注意2：不是所有的定理都有逆定理
3、全等三角形的对应角相等.
倍 条件：两个三角形是全等三角形.
速 课
结论：它们的对应角相等.
时 学
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
练
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
条件：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
倍 速 课 时 学 练
做一做:下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个定理都有逆定理。 × （2）每个命题都有逆命题。√ （3）假命题没有逆命题。 × （4）真命题的逆命题是真命题。×
说出下列命题的逆命题： ⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。 圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 ⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
a＝b a2＝b2
a2＝b2
真
a＝b
假
互逆命题
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵ 有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题与互逆定理
• 1、了解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道 原命题成立，它的逆命题不一定成立。（重难点）
如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 等边三角形的每个角都等于60° 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 题设： 。 结论： 。 逆命题： 。.
A D
F
B E 图 1
C
• • • • • • •
3.（2011.浙江）如图2，点D，E分别在AC，AB上． (1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC； (2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②， “AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论 构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2． 命题1是命题2的 命题，命题2是 命题． （选择“真”或“假”填入空格）．
是全等三角形； 它是一个假命题，故不能成为原定理
1.如图1，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD上两点，连 接 AE、BF.请你从下面四个反映图中边角关系的式子(1)AB=BC; (2)BE=CF;(3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知条件， 选一个作为结论，组成一个真命题，并证明这个命题.
三角形的一条中线平分三角形的面积 对顶角相等
探究点二：逆定理与互逆定理
问题1.定理与命题有什么关系？ 【答案】定理是命题，而命题不一定是定理； 问题2.定理一定存在逆定理吗？
【答案】定理与逆定理一定是真命题；定理是一个命题，然而它的逆 所以定理不一定存在逆定理； 问题3.什么是互逆定理？
Hale Waihona Puke 【答案】如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆 定理叫做另一个定理的逆定理．
要求： ⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分层次、 要点化，书写要认真、 规范． ⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓 展．不浪费一分钟，小组长做好安排和检查．
互逆命题与互逆定理-华东师大版八年级数学上册教案
互逆命题与互逆定理-华东师大版八年级数学上册教案一、引入在初中数学中，我们学习了很多命题，比如“若a=b，那么a2=b2”，又比如“对于任意的正整数a，a^2>a”等等。
其中，有一种特殊的命题，叫做“逆命题”。
逆命题指的是，对于一个给定的命题P，将其假设的条件和结论交换位置，并取反形式而得到的命题，比如“若a=b，那么a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，那么a=b 或a=-b”。
那么，如果一个命题的逆命题也成立，我们就称这两个命题互为“逆命题”，其中比较重要的是“互为逆命题的命题是等价命题”。
但是，在实际情况下，有一些命题和它的逆命题虽然都是真命题，但它们并不等价。
此时我们就需要引入“互逆定理”，来判断它们的关系。
二、教学内容1. 规律感知首先，让学生自己尝试找出一些互逆命题。
比如，“若x>5，那么x2>25”和“若x2>25，那么x>5或x<-5”就是互逆命题。
在找到互逆命题后，让学生自己分析它们之间的关系。
2. 探索任务接下来，设计一个小组探究任务，让学生自己去探索什么样的条件下能得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。
具体实施时，可以分配几个小组，要求每个小组找出两个互逆命题，并将它们的条件和结论进行比较。
然后，让学生自己汇总每组的成果，分析条件的相同点和不同点，以及结论的相同点和不同点。
最后，让学生自己总结出什么样的条件可以得到互逆命题，以及互逆命题之间的关系。
3. 展示交流在小组任务完成后，组织学生进行展示和交流。
让学生自己介绍自己小组的成果，以及自己对互逆命题和互逆定理的理解。
同时，其他学生可以对其进行提问和补充，以加深理解。
4. 拓展延伸为了让学生更加深入理解互逆命题和互逆定理，可以提供一些案例让学生进行分析。
比如，“若a2+b2=0，那么a=b=0”和“若a=b=0，那么a2+b2=0”就是互逆命题。
通过这些案例的分析，可以帮助学生更好地掌握互逆命题和互逆定理的应用。
第13章 13.5 13.5. 1 互逆命题与互逆定理
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于
点N，∵BD、CE分别是△ ABC的中线，∴S△ BEC＝S△ BDC，
∴
1 2
BC·EM＝
1 2
BC·DN，∴EM＝DN，在Rt△ EMC和
Rt△ DNB中，CE＝BD，EM＝DN，
∴Rt△ EMC≌Rt△ DNB，∴∠ECM＝∠DBC，在△ EBC
6.在△ ABC 中，∠A 的相邻外角是 110°，要使△ ABC 是等腰三角形，则∠B＝ 55°或 70°或 40° ．
7. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题 是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ，这个命 题是 真 命题．(填“真”或“假”)
【解析】逆命题：两边上的中线相等的三角形是等 腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，BD、CE分别是 边AC和AB上的中线，且CE＝BD，求证：△ ABC是等腰 三角形．
知识点 互逆定理 4. 下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个内角都等于60°.
解：(1)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角 是直角，它是一个假命题，故(1)没有逆定理．
(2)逆命题是：两直线平行，内错角相等，它是一个 真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．
如图，△ ABC 是等边三角形． (1)若 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 是等边三角形； (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请用反例说明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， AB＝AC＝BC， 又∵AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF， 即 BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED≌△CFE.
华东师大版八年级上册数学课件13.5逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理
A )
B．等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的两个底角相等 D．三边对应相等的两个三角形全等
3．命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除” 5整除，那么这个数也一定能被10整除 的 逆 命 题 是如果一个数能被 _____________________________________________ ，
＝90°，∴△ABC是直角三角形．
易错点：考虑问题不全面导致对命题的判断出错
11．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n； ③不相等的角不是对顶角；④两直线平行 ，内错角相等．其中原
命题与逆命题均为真命题的个数是(
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
)
B
12．判断下列命题，其中逆命题正确的有(
10 ． 请写出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．这个
逆命题正确吗？若正确， 请你画出图形， 写出“已知”“求证”， 再进行“证明”；若不正确，请举反例说明．
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题正确．
已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B＝90°.求证：△ABC是直角三 角形．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C
14．已知下列命题： 1 1 ①若 a>0，b>0，则 a＋b>0；②若 a≠b，则 a ≠b ；③若aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb，
2 2
则 a＝b；④任何有理数都有倒数． 其中原命题与逆命题均为真命题的有( A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
A
)
15．写出下列命题的逆命题，并指出它们的真假性．
(1)如果x＝4，那么x2＝16；
《互逆命题与互逆定理》word“同课异构”获奖教案优质教学设计
数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。
数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施。
第一，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。
数学核心素养的六个方面在小学、初中、高中、本专科、研究生教育等五个阶段的内涵、学科价值和教育价值、表现等方面的要求各不相同，要仔细推敲，准确把握，切实贯穿到学科教学活动中去。
第二，研究性学习综合实践活动课程是数学学科素养培养的重要途径。
本课正在基于此，在教学设计与环节的应用上，设计都非常适合学生初学。
这一点在分层教学中也有体现。
13.5.1.互逆命题与互逆定理课时：第一课时课型：新授课编写：毕春友审核：徐轻梅学习目标1.理解互逆命题与互逆定理2.正确应用互逆命题与互逆定理自学指导说出下列命题的题设和结论：1、两直线平行,内错角相等；2、内错角相等,两直线平行；3、全等三角形的对应角相等；4、对应角相等的三角形全等；5、平行四边形的对边互相平行；6、对边互相平行的四边形是平行四边形；观察上面三组命题,你发现了什么?概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的。
展示交流在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
（1）、（2）、（3）、归纳：如果一个定理的逆命题也是，那么这两个定理叫做。
其中的一个定理叫做另一个定理的。
疑点点拨注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题注意2：所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理达标测试1、指出下列命题的题设和结论，写出它们的逆命题，并判断真假。
（1）、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.（（2）、等边三角形的每个角都等于60°（3）、同旁内角互补，两直线平行.2、写出下列命题的逆命题．并判断原命题逆命题的真假。
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。
它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。
首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。
互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。
换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。
例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。
这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。
接下来，我们来看一下互逆定理。
互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。
互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。
例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。
互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。
它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。
通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。
总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。
通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。
八年级数学上册全等三角形 . 逆命题与逆定理互逆命题与互逆定理_0000
命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为：
条件为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行.
第五页，共十六页。
典例精析
例1 指出下列命题的条件(tiáojiàn)和结论，并说出它们的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个(liǎnɡ ɡè)锐角互 余.
例如10能被5整除，但它的个位数是0. （2）如果两个角都是直角，那么(nà me)这两个角相等.
逆命题：如果(rúguǒ)两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.
第十页，共十六页。
归纳
如果一个定理的逆命题也是定理，那么(nà me)这两个 定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的 逆定理.
No 相等.。（1）如果(rúguǒ)一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.。逆命题：如果
(rúguǒ)一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.。例如60°= 60°，但这两个角不是 直角.。逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。概念
Image
12/13/2021
第十六页，共十六页。
的条件.
概念 一个定理的逆命题也是定理，
互逆定理
这两个(liǎnɡ ɡè)定理叫做互逆定理
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第十五页，共十六页。
内容(nèiróng)总结
13.5 逆命题与逆定理。例1 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.。（4）到 一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.。结论：它到这条线段的两个端点的距离
观察上面三组命题,你发现(fāxiàn)了什么?
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19.4.1互逆命题与互逆定理 学案
1 19.4.1《互逆命题与互逆定理》学案学习目标：1．理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高辨析能力；2．会举反例说明一个命题是假命题，能正确应用互逆命题与互逆定理解决有关问题. 学习过程：一．导入新课，自学反馈.1.一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的____________，而第一个命题的结论是第二个命题的______________，那么这两个命题叫做______________． 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的______________.2.说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题： ①如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； ②等边三角形的每个角都等于60°； ③全等三角形的对应角相等； ④到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；3.每一个命题都有__________，一个真命题的逆命题________真命题，一个假命题的逆命题____________假命题.(填“一定是”、“不一定是”、“一定不是”)4.如是一个定理的逆命题也是__________，那么称它们叫做_______________.其中的一个定理叫做另一个定理的_____________.5.等腰三角形的性质：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等.(简写为“等边对等角”)它的逆命题是: (简写为“___________________”)，这是_______命题，它们互为___________.6.“两直线平行，内错角相等.”的逆定理是:_______________________________________.7.“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.”的逆定理是:____________________________________________________________________________.二、自我探究，判断正误.1.任何命题都有逆命题，任何定理都有逆定理． （ ）2.“若x=y ，则x 2=y 2”的逆命题是假命题． （ ）3.一个假命题的逆命题一定是错误的． （ ）4．写出下列命题的逆命题，并判断真假：（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．三、合作探究，综合运用. 1.如图1，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 上两点，连接AE 、BF.请你从下面四个反映图中边角关系的式子(1)AB=BC;(2)BE=CF;(3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC 中选两个作为已知条件，选一个作为结论，组成一个真命题，并证明这个命题.E ABD C F四、中考链接，接受考验1.下列命题中，真命题是（）．(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．2. 下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果三角形的三边长a，b，c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形；a b c④．如果两个实数相等，那么它们的平方相等五．总结反思，归纳升华通过本节课的学习，你有哪些感悟和收获，与同学交流一下：六、达标检测体验成功(时间6分钟，共100分)1.下列命题的逆命题是假命题的是( )A.两直线平行，同位角相等B.全等三角形的对应边相等C.直角三角形两锐角互余D.全等三角形对应角相等2.下列说法错误的是( )A．任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理C.真命题的逆命题不一定是真命题D.定理的逆定理一定是真命题3.下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有( )①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a=b，则a2=b2；⑤平行四边形的对边相等A.1个B.2个C.3个D.4个4．举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．6.已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.①如图3，若点O在BC上，求证：AB=AC②如图4，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC③若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示.七、小结与作业课本89页练习第1，2题；课本94页习题19.4第1题。
13.5.1.互逆命题与互逆定理课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
(3)内错角相等. 【自主解答】(3)内错角相等的逆命题是相等的角是内错角,逆命题是假命题,原 命题是假命题; (4)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角. 【自主解答】(4)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角的逆命题是若 两个角互为邻补角,则两个角相加等于180°,逆命题是真命题,原命题是假命题.
本课结束
【技法点拨】 互逆命题、互逆定理的区别与联系
命题 定理
是否有逆命题/逆定理
一定有逆命题
不一定有逆定理(定理的逆 命题是真命题且该逆命题 作为定理使用)
原命题 逆命题 原定理
逆定理
真假判断 真或假 真或假 真命题
真命题
素养 当堂测评
1.(4分·推理能力)下列命题的逆命题是假命题的是( D ) A.直角三角形的两个锐角互余 B.两直线平行,内错角相等 C.三边对应相等的三角形是全等三角形 D.若x=y,则x2=y2 2.(4分·推理能力)下列三个定理中,存在逆定理的有______个. ( C ) ①有两个角相等的三角形是等腰三角形;②全等三角形的周长相等;③同位角相 等,两直线平行.
【举一反三】 1.(2024·怀化期中)下列说法错误的是( B ) A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.命题的逆命题不一定是真命题 D.定理的逆定理一定是真命题
2.下列定理中,哪些有逆定理?如果有逆定理,写出它的逆定理. (1)全等三角形的对应边、对应角分别相等. 【解析】(1)逆命题是:边、角分别对应相等的两个三角形全等,是真命题, 故原定理有逆定理:边、角分别对应相等的两个三角形全等. (2)三角形的两边之和大于第三边. 【解析】(2)逆命题为:如果三条线段中,任意两条线段长度之和大于第三条线段 的长度,那么这三条线段能围成三角形,是真命题, 故原定理有逆定理:如果三条线段中,任意两条线段长度之和大于第三条线段的 长度,那么这三条线段能围成三角形.
13.5.1.互逆命题与互逆定理
13.5.1.互逆命题与互逆定理学习目标：1、了解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。
2、体会数学结论在实际中的应用。
3、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。
学习重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立学习难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明导入链接1、什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？如何说明一个命题是假命题？如何说明命题是真命题？探究点1：1、逆命题在两个命题中，如果第一个命题的_______是第二个命题的__________，而第一个命题的_______是第二个命题的_______，那么这两个命题叫做_ 。
如果把其中一个命题叫做_，那么另一个命题叫做它的_。
2、互逆命题的关系原命题第一个命题题设（条件）结论逆命题第二个命题题设（条件）结论就例题来说，如果说“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等,两直线平行”为___________。
我们说两个命题叫做_________。
2练习：请学生分别写出的下列命题的逆命题并判断它是真命题、假命题。
两直线平行，同位角相等如果a b，那么22a b对顶角相等问：每个命题都有它的逆命题；但每个真命题的逆命题不一定是真命题，也说明定理的逆命题不一定是真命题；3、逆定理如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.试说出我们学过的那些定理互为逆定理探究点2：１．说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形⑶磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。
２.思考：判断下列说法是否正确？请说明理由（1）假命题没有逆命题；（2）真命题没有逆命题；（3）每个命题都有逆命题；（4）真命题的逆命题是真命题探究点3：。
华师大版八年级数学上第13章全等三角形13
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
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【名师支招】判断逆命题的真假性，易出现只判断原命题的真假，也就 是审题不认真.
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知识点 1：互逆命题
1.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若 a＞1 且 b＞1，则 a
＋b＞2；③全等三角形的对应角相等；④直角三角形的两锐角互余.其中
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12.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假： （1）如果 a＋b＞0，那么 a＞0习
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解：（1）逆命题：如果 a＞ 0，b＞ 0， 那么 a＋b＞ 0， 原命题为假命题，逆命题为真命题.
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【自主解答】 A.其逆命题是：两个相等的角是对顶角，故是假命题；B.其逆命题是： 同位角相等，两直线平行，故是真命题；C.其逆命题是：对应角相等的 两个三角形是全等三角形.大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等 但不全等，故是假命题；D.其逆命题是：四个角都相等的四边形是正方 形，故是假命题； 故选：B.
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思维拓展
八年级 数学 上册 华师版
14.如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，连接 AE，BE，给出下列五个关 系式：①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD＋BC＝AB. 将其中的三个关系式作为条件，另两个作为结论，构成一个命题.
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理 知识点复习 1、了解互逆命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。
注意：一个命题为真命题，不能保证它的逆命题为真命题。
2、了解互逆定理的意义：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理称为互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。
分层递进A 层练习1、下列说法中，正确的是（ ）A 、每一个命题都有逆命题B 、每一个定理都有逆定理C 、假命题的逆命题一定是假命题D 、真命题的逆命题一定是真命题2、下列定理中，没有逆定理的是（ ）A 、两直线平行，内错角相等B 、直角三角形的两个锐角互余C 、全等三角形的周长相等D 、如果两个三角形全等，那么它们的对应边都相等3、命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 ， 它是 （填“真”或“假”）命题。
4、如图，AB 、CD 相交于点E ，现给出下列三个论断：①∠A=∠C ；②AD=CB ；③AE=CE 。
请你选择其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，构造一个命题。
（1）在构成的所有命题中，真命题有 个；（2）在构成的真命题中，请选择一个加以证明。
B 层练习5、下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（ ）A 、若a=b ，则22a b =B 、若22ma na >，则m>nC 、全等三角形的面积相等D 、全等三角形的对应边相等6、写出命题“等腰三角形两条腰上的高相等”的逆命题，并判断逆命题的真假。
如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举反例说明。
C层练习7、甲、乙、丙、丁四位老师分别教数学、物理、化学、英语，甲老师可以教物理、化学；乙老师可以教数学、英语；丙老师可以教数学、物理、化学；丁老师只能教化学。
为了使每人都能胜任工作，那么教数学的是老师。
专题15-逆命题及逆定理(知识点串讲)(解析版)
专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。
华东师大版八年级上册数学教学设计《互逆命题与互逆定理》
华东师大版八年级上册数学教学设计《互逆命题与互逆定理》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《互逆命题与互逆定理》一课，是在学生学习了命题与定理的基础上进行的。
本节课的主要内容是让学生理解互逆命题的概念，掌握互逆定理的证明过程，并能运用互逆定理解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习，引导学生探索互逆命题和互逆定理的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了命题与定理的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，对于互逆命题和互逆定理的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况，采取适当的教学策略，帮助学生理解和掌握互逆命题和互逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解互逆命题的概念，掌握互逆定理的证明过程，能运用互逆定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探索互逆命题和互逆定理的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：互逆命题的概念，互逆定理的证明过程。
2.难点：互逆定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生主动探索互逆命题和互逆定理的规律。
2.小组合作学习：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作精神。
3.案例教学法：通过分析实际案例，帮助学生理解互逆定理的应用。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含互逆命题和互逆定理的定义、证明过程和应用实例的PPT。
2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用互逆定理解决。
3.学习材料：为学生准备相关的学习材料，以便学生在课堂上进行自主学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何利用已学的命题和定理来解决这些问题。
通过问题的讨论，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——互逆命题与互逆定理。
《13.51互逆命题与互逆定理》作业设计方案-初中数学华东师大版12八年级上册
《互逆命题与互逆定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过实践操作和理论学习相结合的方式，使学生能够：1. 理解互逆命题与互逆定理的基本概念；2. 学会判断一个命题的逆命题及其真假性；3. 初步掌握互逆定理在解题中的应用。
二、作业内容1. 理论知识学习：学生需仔细阅读教材中关于互逆命题与互逆定理的章节，掌握相关概念及定理，理解其内涵与外延。
2. 练习判断：设计一系列关于互逆命题的判断题，要求学生根据所学知识判断每个命题的逆命题是否成立，并说明理由。
3. 案例分析：选取几个典型的互逆定理应用题目，让学生分析解题思路，理解互逆定理在解题中的具体应用。
4. 小组合作：学生需以小组形式，探讨并解决一个与互逆命题与互逆定理相关的实际问题，如“如何通过已知条件推导出相关结论”。
5. 拓展延伸：鼓励学生查阅相关资料，了解互逆命题与互逆定理在数学及其他学科中的应用，拓宽知识面。
三、作业要求1. 理论知识学习：要求学生认真阅读教材，做好笔记，理解并掌握互逆命题与互逆定理的基本概念。
2. 练习判断：学生需独立完成判断题，并记录下自己的思考过程和答案。
3. 案例分析：学生需认真分析每个案例的解题思路，并尝试自己动手解答，记录下解题过程和答案。
4. 小组合作：小组内成员需分工合作，共同完成实际问题，并记录下讨论过程和结果。
5. 拓展延伸：学生需查阅相关资料，并做好笔记，准备在下节课进行分享。
四、作业评价1. 教师根据学生完成情况，对理论知识学习、练习判断、案例分析等部分进行评分。
2. 教师根据小组合作的实际情况，对小组合作部分进行评分。
3. 教师将学生的拓展延伸内容进行整理，挑选出优秀的内容在下节课进行分享，并给予相应加分。
五、作业反馈1. 教师将作业中普遍存在的问题进行汇总，并在下节课进行讲解。
2. 对表现优秀的学生进行表扬，鼓励其他学生向其学习。
3. 根据学生的作业情况，调整后续教学计划，确保学生能够更好地掌握互逆命题与互逆定理的相关知识。
互逆命题与互逆定理
。
作业：
课本P84 练习：第2题 习题18.2 ：第2题
互逆命题与 互逆定理
一、命题与逆命题
命题：
判断一件事情的语句叫做命题。
命题的组成：
条件+结论
形式：“如果……那么……” “若……则……”
二、互逆命题
互逆的两个命题：
把一个命题的题设与结论对调所 得的命题叫做这个命题的逆命 题，这两个命题称为互逆命题
形式：若A则B（原命题）
若B则A（逆命题）
三、互逆定理
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角 三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角 形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC 是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则 △ABC是直角三角形。
3．叙述下列命题的逆命题，并判断逆 命题是否正确。
课堂练习
• 1．判断题。
⑴勾股定理的逆定理是：如果两条直角 边的平方和等于斜边的平方，那么这 个三角形是直角三角形。
⑵命题：“角平分线上的点，到这个角 的两边的距离相等”的逆命题是真命 题。
⑶△ABC的三边之比是1：1： 2 ，则
△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
互逆的两个命题：
如果一个定理的逆命题经过证明 是正确的，它也是一个定理，
称这两个定理互为逆定理 形式：若A则B（原定理）
若B则A（逆定理）
ห้องสมุดไป่ตู้
例题分析
例1：写出命题“对顶角相 等”的逆命题，并判断其 真假。
例（补充）说出下列命题的逆命题， 这些命题的逆命题成立吗？