2019年中考数学突破专题之 阅读理解问题——几何问题代数化

阅读理解问题——几何问题代数化

1.观察下图：

第1题图

我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x＋y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x＋4y，遵循以上规律，解答下列问题：

（1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为;

（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．

①求x和y的值；

②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形. 解：（1）25x＋16y，（n＋1）2x＋n2y；

【解法提示】∵第1个图形中“正方形多项式”为4x＋y，

第2个图形中“正方形多项式”为9x＋4y，

第3个图形中“正方形多项式”为16x＋9y，

∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x＋16y，

第n （n 为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n ＋1）2x ＋n 2y . （2）①依题意,得45

25162

x y x y +=⎧⎨+=⎩，

解得 2

3x y =⎧⎨

=-⎩

， ②Q ＝（n ＋1）2x ＋n 2y ＝−n 2＋4n ＋2＝−（n −2）2＋6， 当n ＝2时，Q 最大值为6，

∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．

2.如图，正方形ABCD 内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的

顶点A 、B 、C 、D 把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

第2题图

（1）填写如表： （2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD 内部有多少个点？ （3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？若能，此时正方形ABCD

内部有多少个点？若不能，请说明理由．

解：（1）如下表：

正方形ABCD 内点的个数

1

2

3

4

…

n

分割成三角形的个数

4

6

____ ____

…

____

（2）设点数为n ， 则2（n ＋1）＝2018， 解得n ＝1008.

答：原正方形被分割成2018

个三角形时正方形ABCD 内部

有1008个点；

（3）设点数为n ， 则2（n ＋1）＝2019， 解得n ＝1008.5.

答：原正方形不能被分割成2019个三角形.

3.【问题提出】如何把n 个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？ 探究一：若n 是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成一个大正方形.

探究二：若n =2,5,10,13等，这些数都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：22112+=;22125+=.

解决方法：以n =5为例.

（1）计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为5；

（2）剪切：如图①，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；

正方形ABCD 内点的个数 1

2

3

4

…

n

分割成三角形的个数

4

6

8

10

… 2（n +1）

第3题图

（3）拼图：以图①中的虚线为边，拼成一个边长为5的大正方形，如图②.

请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形.

【问题拓展】如图③，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．

请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．

第3题图③

解：【问题提出】（１）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为13．（2）剪切如解图①：

第3题解图①

（3）拼图如解图②：

第3题解图②

【问题拓展】（１）计算：拼成的大正方形的面积是a２＋

b２，边长为22

．

a b

（2）剪切如解图③：

第3题解图③

（3）拼图如解图④：

第3题解图④

4.【问题提出】如图①，由n ×n ×n （长×宽×高）个小立方块组成的正

方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

第4题图

【问题研究】我们先从较为简单的情形入手．

（１）如图②，由２×１×１个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝

32

3

2=⨯条线段，宽和高分别只有一条线段，所以图中共有３×１×１＝３个长方体；

（２）如图③，由２×２×１个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有１＋２＝

32

3

2=⨯条线段，高有１条线段，所以图中共有３×３×１＝９个长方体； （３）如图④，由２×２×２个小立方块组成的长方体中，长宽高分别有１＋２＝

23

32

⨯=条线段，所以图中共有 个长方体；

（４）由２×３×６个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝

23

32

⨯=条线段，宽共有 条线段，高共有 条线段，所以图中共有 个长方体．

【问题解决】由n ×n ×n 个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 条线段，所以图中共有 个长方体. 解：【问题探究】(3)27； (4)6，21，378；

【问题解决】2)1(+n n ， 3

2)1(⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+n n .

5.在图中，每个正方形都由边长为1的小正方形组成，请完成下列各

题．

第5题图

(1)观察图形，按要求填写下列表格； 正方形边长 1 3

5

7

白色小正方形个数

_____

______ ______ ______

(2)在边长为n （其中n ≥１）的正方形中，所有黑色的小正方形的面积和为S １，白色小正方形的面积为S ２，试用

正方形边长 2 4 6 8 白色小正方形

个数

_____

______

_______

______