学而思四年级第11讲.最值问题(基础-提高-尖子班)
最值问题(4年级培优)教师版
（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。
（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。
（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。
（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。
a 、b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，求）－（）（b a b a ÷+的最大值。
（四年级培优底稿） 分析：要使ba b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。
可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。
解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值1999910099100=-+。
（题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。
考察了极端情形的方法）难度系数：Aa 、b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。
（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。
可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。
即199=a ,197=b 。
解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A“12345678910111213……484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿）解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。
学而思四年级第11讲.最值问题(基础-提高-尖子班)
349876第十一讲 最值问题（一）例1（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 答案：247.要使两个五位数的差最小，这两个五位数首位上的数应该尽力接近，且较大数的后四位应尽可能小，较小数的后四位应尽可能大。
较大的五位数的后四位最小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数是50123，较小的数是49876，差为5012247−=.例2 （2008年数学解题能力展示）【分析】 答案：50.一共20张牌，点数之和是固定的：2110(123...10)×++++=.由于每轮的点数差做为两人的得分，那么两人的总分之和就是10轮的点数差之和，即10轮中较大数之和-10轮中较小数之和（令它们分别是A 和B，则总分之和=A-B）又因为A+B=110所以A-B 的最大值即110-2B 的最大值，转换成求出B 的最小值即可。
令B 最小，既最小的十张牌之和：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5.所以B 最小为30 ，总分之和最大=110-2B=50例3 (第十三届华杯赛)【分析】 极端分析法—答案：2005.通过找规律解决问题，要得到最小值，即让每次划去最多，应该从大往小擦数，最终得到2。
要得到最大值，即让每次划去最少，应该从小往大擦数，最终得到2007，从而最大与最小的差为220052007−=.例4 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 极端分析法—答案：155.最倒霉原则：“保证”=“最倒霉”+1. 最倒霉的情况是：取出了两种颜色的全部和其他颜色各9个依然不满足条件，即个，从而1550296154×+×=41155+=1×+556一定能保证满足条件.例5 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）【分析】 极端分析法—答案：92.总表面积固定，当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此，让蓝色木块优先占据特殊位置.分析发现，染色后8个角上的正方体3个面有颜色，扣去两角后的每条棱上的3个正方体有2个面。
学而思四年级春季班最值问题进阶知识总结
本讲题目类型较多，但无外乎极端思想，还有“和一定差小积大”
某次考试一共有15题，计分标准是：做对第1题得1分，做对第2题得2分，……，做对第15题得15分；但若做错第1题要倒扣1分，做错第2题要倒扣2分，……，做错第15题要倒扣15分。
小明做了所有的题，共得90分，那么小明至多做错多少道题，至少做错多少道题？
【详解】
极端考虑：如果最对所有的题目，共得121415120++++=（分）
现在只得了90分，丢了30分。
我们要知道，做错一道题，除了得不到这题的分，还要被倒扣，损失是两倍，所以小明做错的题目占了30215÷=（分），则小明 最多做错5道题：1~5题，1234515++++=（分）
最少做错1道题：第15题，占15分。
小陈决定靠着家旁边的一道围墙，修一个猪圈，他有一道长48米的铁丝网，想围成一个长方形猪圈，问这猪圈最大面积是几？
【详解】
用和一定差小积大可以轻易解决这道题目。
如果长方形猪圈的长为a 米，宽为b 米，那么我们可以知道248a b +=（有一条长靠墙不需要围铁丝网），那么根据和一定差小积大，可知当248224a b ==÷=时，乘积22424576a b ⨯=⨯=最大，那么面积最大为：5762288a b ⨯=÷=平方米。
练习2 练习1
最值问题进阶。
101中学坑班2012年春季四年级第十一讲最大与最小及答案
101中学坑班2012年春季四年级第十一讲最大与最小及答案一、知识要点在实际生活与生产实践中，人们总是想用最少的财力、物力、人力以及时间等在可能的范围内取得最佳效益。
况且，在许多现实问题中有时很难确定或者就不需要具体的每个数值，有时只关心最大、最小等极值。
这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。
这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。
经常只能根据具体问题，综合运用所学知识进行求解。
二、典型例题例1 某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。
在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？例2 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数。
例3 六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？例4 如图，一个边长为10厘米的正方形ABCD ，在两边AB 和AD 上分别有点E 和点F ，AE=5厘米，AF=6厘米，请你在BC 或CD 边上选一点，并与原有的两点连成一个三角形，使三角形的面积尽可能地大，求这个三角形面积的最大值。
BCDA FEG例5 某甲于上午9时15分由码头划船出游，最迟于中午12点返回原码头。
已知河水的流速为1.4千米/小时，划船时，船在静水中速度可达3千米/小时，如果甲每划30分钟就要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，求甲最多能划离码头多远。
例6有一种电子游戏，从第一关开始打，打通一关进入下一关，共有很多关，每关最多可得800分，另外每获得1000分就可获得一次奖励（即在得到1000分、2000分、3000分……以后各得一次奖励），每一次奖励最多为500分，打到第四关，最多可得多少分？要得到12000分，至少要打到第几关？例7 某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛。
高思导引-四年级第十一讲-几何图形剪拼教师版
第11讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.（1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9. 如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇1. 请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法.5. 将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图.9. 图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法.。
学而思高中数学4-最值问题之代数式的最值
典例分析【例1】若，则的最小值是_________．【例2】设、，则，则的最小值是_________．【例3】若、，且，则的最大值是．【例4】已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．B．C．D．【例5】当时，函数有最值，其值是．【例6】正数、满足，则的最小值是．【例7】若、且，则的最大值是_____________．【例8】设，，则的最大值为．【例9】已知，，，则的最小值为【例10】设，那么的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5 【例11】设，则的最大值是最小值是．【例12】已知，则的最小值是．【例13】已知其中，且，求的最大值．【例14】求的最小值．【例15】设，，为正实数，满足，则的最小值是．【例16】已知、，且，当，时，有最大值为．【例17】若、，且，则的最大值是，此时，．【例18】求函数的最小值．【例19】将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是．【例20】设实数，满足，，则的最大值是．【例21】求函数的最小值．【例22】求函数的最小值．【例23】已知，求的最小值．【例24】求函数的最小值．【例25】函数的最小值为（）A．1 B．2 C．D．【例26】⑴求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．⑵求的最大值．【例27】⑴求函数（且）的最小值．⑵求函数的取值范围．【例28】⑴求函数的最大值．⑵求的最小值．⑶求函数的最值．【例29】⑴已知，求函数的最小值．⑵求函数的取值范围．⑶求函数的最大值．【例30】⑴已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．【例31】分别求和的最小值．【例32】求函数的最小值．【例33】函数的最大值为（）A．B．C．D．【例34】设函数，则（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数【例35】设，其中，满足，则的最小值为．【例36】设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．B．C．D．【例37】已知：，求的最小值．【例38】已知：，求的最小值．【例39】已知、、且，求的最大值．【例40】求的最小值．【例41】若，且，求的最小值．【例42】已知，，求证：．【例43】已知给定正数，和未知数，，且，，满足，，的最小值为，求，的值．【例44】若，且，分别求和的最小值．【例45】若是与的等比中项，则的最大值为（）A．B．C．D．。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案11最值问题(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题最值问题（一）在日常生活中，我们常常考虑“最”字，如走路尽可能使所行的路程最短，用时最少或车费最省；做一件工作，尽可能使效率最高，工时最短；学习则尽可能使所用的时间最短而收获最大……，一句话，都是考虑一个“最”字的问题，即最值问题。
最值问题涉及的知识面较为广泛，但在国内外的历届数学竞赛中，一般都带有某种限制条件，因而解决问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情况入手我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。
因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
（2）枚举比较根据题目的要求，把可能得出的答案一一枚举出来，使题目的条件范围逐步缩小，进而筛选比较出答案。
（3）分析推理根据两个事物在某些属性上相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
（4）构造在寻求解题途径时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
（5）应用求最大值和最小值的结论和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
两点之间线段最短。
例1一把钥匙只能打开一个房间的门，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙能开哪个房间的门，如要打开所有房间的门，最多要开几次？分析与解：考虑极端情况，开第一个房间的门最多需20次。
开第二个房间的门最多需19次，……，开最后一个房间的门需1次，共需20＋19＋18＋…＋1＝210（次）。
例2小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多少个人？分析与解：将最后一排座位编号，由题意可知，没有连续3个的空位，而最后一排最少坐了的人数也就是已经坐下的每一个人两旁尽可能都是空位，即极端情形：2，5，8，11，14，17，19这几个编号的座位上坐着人，其余座位空着，故最少坐7人。
小学四年级奥数教程第十一讲标准版资料
第一页，共10页。
在日常生活中，我们还经常遇到这样的 问题，如：向阳小学买桌子和凳子共花1600 元，买桌子比买凳子多花600元，买桌子和 凳子各花多少钱？这类应用题是已知大小两 个数的和与它们的差，求这两个数。我们把 这类应用题叫做和差问题。解答时，通常 (tōngcháng)可以选择大数或小数作为标准 数。如果选择小数作为标准，那么大数要减 去相差的数，变成与小数同样多，然后除以 2，就得小数；如果选择大数作为标准，那 么小数要加上相差的数，变成与大数同样多， 然后除以2，就得大数。
②第二桶：18-6=12（千克）
第五页，共10页。
例4：甲、乙两生产组共收小麦9600千克(qiānkè)，如果
甲组给乙组800千克(qiānkè)，则两组收小麦重量相等，
问两组各收小麦多少千克(qiānkè)？
？千克
分析：根据题意，两
组的和是9600千克， 分③析武： 汉想长一江想大，桥不：管22是00把-5甲30箱=1的67苹0果（放米入）乙箱，还是把乙箱8的00苹千果克放入甲箱，两箱(liǎnɡ xiānɡ)苹果的总重量是不会变的。 甲组： 两组的差没有直接给 解法(jiě fǎ)三：以南京长江大桥为标准。
如果选择大数作为标准，那么小数要加上相差的数，变成与大数同样多，然后除以2，就得大数。
2例页①解解25？男法法0：0生 ((解①-jjii一5ěě吹3部ff0ǎǎ法乙的=))(一三1y：6ī(组：：7b0ùj以以（)：i书上南米ě有册京）（上书长f、页江ǎ9中)6数大、一0为桥下0标为：-3准标册8。准，0。0上×册比2中）册的8÷页00数千2少=克2（0页，96下0册0比-上1册6多0400）页，已÷知这2部书乙 两 等一组 。组共有收 那增156小 实加0页，麦 际8上0的 上0、千中重 这、克下量 两三，册相 组各则多少
学而思目标班和尖子班
学而思目标班和尖子班学而思目标班和尖子班是学而思教育推出的两种特色班级，旨在帮助学生提升学习能力和综合素质。
下面将对这两种班级做详细介绍。
学而思目标班是为学习成绩一般的学生开设的班级。
这个班级的特点是注重基础知识的巩固和学习方法的培养。
在学而思目标班中，学生会遇到一些基础知识的讲解与掌握，老师在教学中会注重培养学生的学习兴趣和学习方法。
同时，学生在选择学而思目标班时，学生可以根据自己的实际情况选择需要加强的科目。
学而思目标班不仅仅是为了学习成绩的提高，更加注重学生的综合素质的培养。
在学习过程中，学生往往会遇到一些难题，老师会引导学生进行合理的思考和探索，培养学生的创新能力和解决问题的能力，帮助学生培养适应学习压力的能力和独立学习的能力，为学生的未来发展打下坚实的基础。
尖子班是为学习成绩较好的学生设置的班级。
在学而思尖子班中，学生会接触到一些较为深入和复杂的知识和问题。
老师在教学中所采用的方法也会更加深入和系统。
针对学生的不同需求和特点，学而思还会为学生定制学习计划和课程，并为学生提供个性化的辅导和指导。
在尖子班的学习过程中，学生往往会表现出较强的学习能力和自学能力。
老师将引导学生深入思考和独立思考，培养学生的创新精神和解决问题的能力，并通过一些创新性的项目和实践活动，提高学生的应用能力和实践能力，为学生的未来发展提供更多的选择和机会。
无论是学而思目标班还是尖子班，学生都能够在教师的指导下不断提高自己的学习能力和综合素质。
学而思提供合理的课程设置和培养计划，能够帮助学生成绩有一个稳定、持续、相对较大的提高。
在学而思的目标班和尖子班学习中，学生能够不断提高自己的学习能力和解决问题的能力，培养自己的学习兴趣和实践动手能力，同时也能够与优秀的学长学姐们进行交流和沟通，提高自己的综合素质和自信心。
总而言之，学而思的目标班和尖子班是为学生提供更好的学习环境和机会的教育班级。
无论学生成绩是一般还是较好，学而思都将为学生提供合适的学习平台和培养计划，帮助学生成为有思想、有创新意识和综合素质的人才。
学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总(至第10讲)
学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总一直跟着孩子在学而思秋季四年级超常3班听课，有一些有难度的题目，为了孩子们温习和家长们参考，特进行汇总，并给出解题思路和答案，和大家一起分享。
声明：本文档只是收录了各讲有点难度的题目，并对难题进行解析、分级等，并未对各讲内容进行总结和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。
如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。
第一讲整数与数列找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程。
1、【例2】一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于：______，从这列数的第______个数开始，每个都大于2007。
【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】找规律。
第1个：3第2个：6＝3×2第3个：18＝(3+2×3)×2＝3×(1+2)×2＝3×3×2＝32×2第4个：54＝(3+6+18)×2＝(3+3×2+3×3×2)×2＝(3×3+3×3×2)×2＝(3×3×3)×2＝33×2……第n个：3n-1×2这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的3倍(第1、2个数除外)，前8个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。
由公式，第6个数：35×2＝486。
由3n-1×2 > 2007，得3n-1 > 1003.5，n>=8（其实，第6个数是486，第7个数就是486×3＝1458，第8个数1458×3＝4374>2007）。
学而思(四年级)目30讲全
合用标准准数，各数与基准数的差的和叫做累学而思（四年级）若是你需要更多的各种奥数计差。
由例 1 获取：教材，课程同步教材，同步总和数 =基准数×加数的个数+累计第 1 讲速算与巧算（一）练习题，培优练习题，期中差，第 2 讲速算与巧算（二）期末单元试卷，平均数 =基准数 +累计差÷加数的个第 3讲高斯求和各种致富管理文学作品书籍数。
第4讲4， 8， 9 整除的数的特点维修书籍大人物传记在使用基准数法时，应采用与各第 5讲弃九法都是电子档。
能够联系我数的差较小的数作为基准数，这样才第 6 讲数的整除性（二）468453607简单计算累计差。
同时考虑到基准数第 7 讲找规律（一）微信电话与加数个数的乘法能够方便地计算出第 8 讲找规律（二）来，所以基准数应尽量采用整十、整第 9 讲数字谜（一）百的数。
第 10 讲数字谜（二）例 2 某农场有 10 块麦田，每块的产量第 11 讲归一问题与归总问题以下（单位：千克）：第 12 讲年龄问题462，480，443，420，473，429 ，第 13 讲鸡兔同笼问题与假设法例 1 四年级一班第一小组有10名同468， 439，475 ， 461。
求平均每块麦第 14 讲盈亏问题与比较法（一）学，某次数学测试的成绩（分数）如田的产量。
第 15 讲盈亏问题与比较法（二）下：解：选基准数为 450，则第 16 讲数阵图（一）86， 78， 77， 83， 91， 74， 92，累计差 =12＋ 30－7－ 30＋23－ 21第 17 讲数阵图（二）69，84，75。
＋18－11＋25＋11第 18 讲数阵图（三）求这 10 名同学的总分。
＝50，第 19 将乘法原理解析与解：平常的做法是将这10 个数平均每块产量 =450 ＋ 50÷ 10 ＝第 20 讲加法原理（一）直接相加，但这些数纷乱无章，直接455（千克）。
第 21 讲加法原理（二）相加既繁且易错。
第11讲 页码与数字问题 奥数,学而思,超常班
第十一讲页码与数字问题这一讲的标题是从形式上定义的，其实本讲侧重的是奥数中七大重点模块中计数问题，和数论模块中的位值原理。
一、枚举计数分类枚举一定要选恰当的顺序和分类的标准才能不重不漏。
本讲的例1侧重的是分类枚举，是对加法原理的渗透。
补充小题：一本书共250页，求编码时需要多少个数码？分析与答：由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；而几位数就需要几个数码。
故须分类计数，再相加。
一位数：有9个，共需9×1=9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有250-99=151个，共需151×3=453个数码；共需9+180+453=642个数码。
【记住规律：一位数：1~9，有9个；两位数：10~99，有99-10+1=90个，或99-9=90；三位数：100~999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；四位数：9000个；……】例1：给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？分析与答：刚才例子是正着问，此题倒着问。
边尝试边计算：一位数：有9个，共计用去9个数码；两位数：有90个，共需90×2=180个数码；三位数：有900个，共需900×3=2700个数码；而此题只有723个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三位数。
一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有534÷3=178个三位数，第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。
学案1：一本书的页码，在印刷时必须用198个铅字，自这一本书的页码中数字1出现多少次？分析与答：此题是在例1的基础上再加深一步。
要想求1出现的次数，必须知道本书有多少页，这就完全转化成利1。
一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，则还有9÷3=3个三位数，第3个三位数是102，故本书有102页。
小学奥数模块教程最值问题初步(四年级提尖秋季)
1、 枚举法解最值问题2、 最值原理3、 拆数问题体育比赛中的数学课前加油站5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位数是多少？最小的三位数是多少？5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位偶数是多少？最小的三位偶数是多少？最值问题初步本章知识前铺知识5数字0，1，2，3，4，5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是多少？模块1 枚举法解最值问题例题1：在五位数12345的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122345），这样得到的六位数最大可能是多少？练一练：在4位数3782的某一位数码后再插入一个该数码，能得到的五位数最大是多少？最小是多少？例题2：电视台要播放一部30集的电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，不能不播，该电视连续剧最多可以播几天？例题3：一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?练一练：19个苹果要分给一群小朋友，每个小朋友所分得的苹果都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果，问：这群小朋友最多有几位？24个苹果分给4个小朋友，每个小朋友分得的苹果数量不同，求分得苹果最多的小朋友最多能分多少个？模块2 最值原理例题4:周长100米的长方形中，面积最大是多少平方米?面积为100平方米的长方形中，周长最小是多少米？练一练：用24根长1cm的小棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少？如果用22根呢？例题5: 用1，2，3，4，5，6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求积最大时，算式是什么？最小时算式是什么？例题6：用1-9九个数组成三个三位数，要使这三个三位数的乘积最大，下面的空怎么填？□□□×□□□×□□□练一练：请将2，3，4，5，6，8填入算式“□□□×□□□”的方格中，要使得算式结果最大，要怎么填？例题7：3个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？3个自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？若干个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？例题8：若a+b=24，则（1）求a×b的最大值（2）求（a+4）×2b的最大值（3）求（a+7）×（2b+1）的最大值练一练：已知a+b=15，求（2a+1）×b的最大值。
高思数学_4年级下第十一讲排列组合应用
上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．分析 每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少？练习1.棋王争霸赛在8名选手间展开，实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？如果每场比赛胜者得2分，负者不得分，和棋双方各得1分，最后所有选手的总分为多少？分析 同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2.要从15名士兵中选出2名士兵分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？ 全攻全守 某城市的足球队员体力充沛，战绩也不错．一次比赛前，教练敲定出场名单之后，因临时有事离场一段时间．回来以后，教练发现比赛早已开始，队员们“全攻全守”，都追着球跑，全队踢球毫无章法．教练一看就着急了，忙问为什么这样，替补队员说：“你只选定了主力队员，却没有给他们分配各自的位置啊．这不，球到哪儿，人到哪儿！”好比赛一场．每场比赛后，胜方得那么一共要举行多少场比赛？）选出）从剩下的候选人中，再选出代表，一共有多少种选法？例题2从公式C A A n n n m m n=÷可以看出A C A n n n m m n =×，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系．分析 题（1）、（2）恰好是题（3）的两个步骤，所以不难通过题（1）、（2）的结果来计算题（3）．题（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过题（1）、（2）直接计算题（3）呢？练习3.先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？分析 （1）一共有多少名学生？从中选出5名有多少种方法？（2）限定男女，选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？一共有多少种选法？主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有留下打扫卫生．如果随意选择，一共有多少种选择方法？例题4练习4.老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？在本讲的最后，我们学习圆周排列．从m 个不同44的元素中取出n 个（n ≤m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如图，1、2、3的三种排列：123、312、231，是同一个圆周排列；另外三种排列：132、213、321，也是同一个圆周排列，但这两个圆周排列是不同的．分析 从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？练习5. 8个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法？的坐法？从名同学中选出（如果甲、乙两人必须入选，共有多少种选法？如果甲、乙两人中至少有一人入选，共有多少种选法？思题本讲知识点汇总一、由C A A n n n m m n=÷可得到A C A n n n m m n =×．计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．二、从m 个不同44的元素中取出n 个（n ≤m ）元素，有C n m 种方法；再按照一定的顺序排成一个圆周，有11A n n −−种方法．因此从m 个不同的元素中取出n 个（n ≤m ）元素在圆周上排列有11C A n n m n −−×种方法．作业1. 8名同学每两人都握手一次，一共要握手多少次？2.午饭时，小高要从7个菜中选出1个作为主菜、另1个作为副菜，共有多少种不同的选法？3.如果让你从10本不同的书中挑3本，共有多少种不同的挑法？挑出书之后，要把这3本书分给爸爸、妈妈和你各一本，共有多少种不同的分法？最后每人手中拿到的书共有多少种可能？4.从8名男生和5名女生中选2名男生、1名女生参加植树活动，共有多少种不同的选择方法？5.从8个人中选出4人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？。
高思数学_4年级上-第11讲-变倍问题(彩色)
大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法．对于基本和差倍问题，可以根据已知条件直接画出线段图．而对于有些较复杂的和差倍问题，我们往往需要先分析题目中的隐藏条件，找到各个数量之间的和差倍关系，然后再通过画线段图等方法求解．分析 生产30件产品，甲、乙两种零件各用去了多少个？大家试着画出线段图，看看哪个量设为“1”份量更合适？李师傅要将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量是乙零件的2倍．每件产品需要5个甲零件和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等．请问：李师傅还可以生产几件产品？例题1练习1.甲仓所存面粉是乙仓的3倍，再向甲仓运进500千克面粉，向乙仓运进4500千克面粉，这时两仓所存的面粉重量相等．请问：原来乙仓有多少千克面粉？在例题1中，已知条件只涉及两个量的一种倍数关系，这时“1”份的量较容易确定．如果已知条件涉及多个量的倍数关系，或是两个量之间的倍数关系发生了变化，这时选择哪个量作为“1”份量就是解题的关键了．如果设为“1”份不好算，还可以选择一个合适的数设为多份．分析 黄花盆数是红花的4倍，是蓝花的3倍，红花、蓝花都与黄花有倍数关系，我们应该把黄花设为几份呢？练习2.暑假里，心灵手巧的萱萱折了很多纸鹤，做了一面漂亮的纸鹤帘隔开客厅跟门厅．纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景，绿色的纸鹤排列成一个“家”字．其中粉色的纸鹤比较多，是黄色纸鹤的3倍，是绿色纸鹤的5倍，如果绿色和黄色的纸鹤一共240个，那么萱萱的这面纸鹤帘一共有多少个纸鹤？最多，是红花的口一共有多少盆花？则每只猴子可得分给第三群，则每只猴子可得猴子，每只猴子可得多少粒？例题3分析 我们既不知道花生的总数，也不知道每群猴子的数量，能不能用设数法假设花生的总数是一个已知的数呢？设为多少容易计算？练习3.花果山上有三种猴子：黄猴、黑猴和白猴，其中一半是黄猴．美猴王大闹天宫之际，从蟠桃园抢回一堆蟠桃要分给这些猴子猴孙．如果只分给黑猴，则每只黑猴可得10个；如果只分给白猴，则每只白猴可得15个．如果平均分给山上所有的猴子，那么每只猴子可得多少个？分析 10只鸡从西院跑到东院，东、西两院鸡的数量都发生了变化，但是鸡的总数没有改变．我们把不变的总数设为几份容易计算呢？练习4.狐狸和狗熊是村里有名的养鸟爱好者，狗熊家鸟的数量是狐狸家的4倍．一日，狗熊出远门不小心忘记了锁鸟笼，结果等它回来的时候已经有16只鸟飞到了狐狸家，这时，狗熊家的鸟数量只是狐狸家的2倍了．请问：狐狸家和狗熊家原本各养了多少只鸟呢？给来给去和不变，同增同减差不变．把不变量设为多份是解决变倍问题时常用的突破口．有西两个院子各有多少只鸡？例题4剩余的砖．如果阿呆帮阿瓜搬果阿瓜帮阿呆搬呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？例题5分析 无论是阿呆帮阿瓜搬，还是阿瓜帮阿呆搬，砖的总数都是不变的．我们能不能用上一题的方法把不变的总数设为多份呢？练习5.有两筐苹果，如果从第一筐拿出4个放到第二筐里，第二筐的苹果就是第一筐的3倍；如果从第二筐拿出6个放到第一筐里，第二筐的苹果就是第一筐的2倍．求两筐原来各有多少个苹果？本讲知识点汇总一、先分析题目中的隐藏条件，找到各个量之间的和差倍关系，再画线段图求解．二、题中有多个倍数关系时，要选择合适的量作为“1”份量，必要时可以设为多份便于计算．三、给来给去和不变，同增同减差不变．不变量在变倍问题中是解题时常用的突破口．作业1.兄弟二人去购物，哥哥带的钱是弟弟的3倍．商店里，哥俩挑选了很多玩具，哥哥付了150元，弟弟付了余下的30元，这时他俩各自剩下的钱刚好一样多．请问：开始时哥哥带了多少钱？东院养鸡，西院养兔，兔子的数量是鸡的到东院，这时西院兔腿数是东院鸡和兔总腿数的只鸡？题2.学生和老师去春游，已知男生和女生一样多，男生人数是男老师的5倍，女生人数是女老师的4倍，且男老师比女老师少10人．请问：去春游的学生一共有多少人？3.刘老师去买课桌椅，他带的钱只买桌子恰可买40张，只买椅子恰可买60把．那么用同样的钱最多可以买多少套课桌椅？（一套课桌椅是指一张桌子和一把椅子）4.河马和犀牛是好朋友，它们经常派家里养的信鸽给对方送信．河马家信鸽的数量是犀牛家的3倍，但某次河马出远门不小心忘记了锁鸽笼，结果等它回来时，已经有10只信鸽飞到了犀牛家，这时河马家的信鸽数量就只有犀牛家的2倍了．请问：犀牛和河马家原本各养了多少只信鸽？5.四年级有两个兴趣班：A班和B班．如果从A班调14人到B班，那么A班人数就是B班的一半；如果从B班调11人到A班，那么A班人数就是B班的3倍．那么A 班和B班各有多少人？。
四年级下册奥数知识点专讲第11课《有趣的数阵图2》试题附答案
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
四年级下册奥数知识点专讲第11课《有趣的数阵图2》试题附答案
答案
四年级奥数下册：第十讲有趣的数阵（二）习题解答
---------------------赠予---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
349876第十一讲 最值问题（一）
例1（2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）
【分析】 答案：247.要使两个五位数的差最小，这两个五位数首位上的数应该尽力接近，且
较大数的后四位应尽可能小，较小数的后四位应尽可能大。
较大的五位数的后四位最
小为0123，较小的五位数的后四位最大为9876，还剩下4和5两个数，所以较大的数
是50123，较小的数是49876，差为5012247−=.
例2 （2008年数学解题能力展示）
【分析】 答案：50.一共20张牌，点数之和是固定的：2110(123...10)×++++=.由于每轮的点
数差做为两人的得分，那么两人的总分之和就是10轮的点数差之和，即10轮中较大
数之和-10轮中较小数之和（令它们分别是A 和B，则总分之和=A-B）又因为A+B=110
所以A-B 的最大值即110-2B 的最大值，转换成求出B 的最小值即可。
令B 最小，既最
小的十张牌之和：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5.所以B 最小为30 ，总分之和最大
=110-2B=50
例3 (第十三届华杯赛)
【分析】 极端分析法—答案：2005.通过找规律解决问题，要得到最小值，即让每次划去最多，
应该从大往小擦数，最终得到2。
要得到最大值，即让每次划去最少，应该从小往大
擦数，最终得到2007，从而最大与最小的差为220052007−=.
例4 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）
【分析】 极端分析法—答案：155.最倒霉原则：
“保证”=“最倒霉”+1. 最倒霉的情况是：取出了两种颜色的全部和其他颜色各9个依然不满足条件，
即个，从而1550296154×+×=41155+=1×+556一定能保证满足条件.
例5 （2008年日本小学算术奥林匹克大赛初赛）
【分析】 极端分析法—答案：92.总表面积固定，当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此，
让蓝色木块优先占据特殊位置.分析发现，染色后8个角上的正方体3个面有颜色，
扣去两角后的每条棱上的3个正方体有2个面。
其余表面上的正方体染色后只有1
个面。
优先让蓝色小正方体占据8个角，余下17个蓝色正方体再占据棱上位置。
则
蓝色最大面积为837258×=，则白色最少面积为5892××−123...13=.
例6
【分析】 极端分析法—答案：13.由于苹果数固定，则当每个人得到的苹果尽量少时，人数最多.
若有13个小朋友，则至少需要9199++++=<个苹果，余下8个苹果。
人数有
13个，余下的8个苹果不会影响到人数。
例7
【分析】 不等式的估算法——设取出1个后第二堆苹果数为x 个，列表如下：
从第一次取完到第二次取完，取了33x 4−个，那么第二堆取2次后剩下
()334342x x −−=−()3422x 个。
因为取第二次后，第二堆是第三堆的2倍。
所以第三堆取第二
次后是17x x =−(34−x 16)x −−÷173x x −+()2171216x −+=−(31)(1)(2x x ++++个。
又因为第二次每堆取的数码相同，那么第三堆取第一次
后就该是()个苹果。
第一次每堆各取一个，第三堆最初就为
个苹果。
可见，原来三堆苹果数之和为：
； )217x =−614x =−x 越大，614x −也越大.但由于第三堆苹果最后
剩下17x x 最大为16，此时6146161482x −个，−=×−=4.
学案1 有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔人发一块糖；从右到左第一人发一个苹果，以后每隔人发一个苹果，结果有11个小朋友糖和苹果都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？
2
【分析】 极端分析法—答案：173.每隔2人发一块糖，即每3人发一块糖；每隔4人发一苹果，
即每5人发一苹果。
由于[]3,515=，因此从第一个同时拿到糖和苹果的小朋友算起，
每15人有一人同时拿到糖和苹果，则这11个人及其间隔共有10151151×+=人.从左
往右每三人发一块糖，其左边最多还可以添上3412×=人，从右往左每5人发一个苹
果，其右边最多还可以添上5210×=人，添上部分不会影响到同时拿到糖和苹果的人
数。
那么最多人数为110173=.
5112++12345678910111299100092999997
尖子班【学案4】竞赛班【例2】
将前10个自然数（不包括零）依次无间隔地写成一个19位数：
……98，从中划去10个数字，那么剩下的位数最
大是多少？最小是多少？
02
【分析】 答案：最大值8596061……9899100，最小值1000……99100.
001234061629250109要得到最大的数，左边应尽量多地保留.因为1～59中有9+×=69584个数
字，其中有个9，
（分别是9,19,29,39,49,59）要想左边保留个，必须划掉1～59中的10个数码，不合题意。
所以左边只能保留个9，即保
留1～49中的5个，划掉1～中其余的696103−=94992405+×−=84−=个数字.接着把50
以后的数写出来：5051525354555657585960……需要在后面再划掉100个数码，要尽量保留较大的数：16
9997859606199100（已经连着划去了15个，发现7比后头的5大，所以保留7，划去后头的5，共划去了16个）
最大数是99 (98)
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留.在～中有
个数码，其中有个（分别是10，20，30，40，50），划掉其余
的个数码，然后在后面再划掉15个数码，
尽量保留较小的数（见下图）：025*******+×=90585−=5
最小数是1000 (99100)
00123406162。