标量衍射理论

径平面上透射光场的复振幅 U
与脉冲响应 hx x0 , y y0
x0 , y0
的卷积
因此，衍射系统可以等效于一个线 性空不变系统，故可用线性系统理论 分析衍射现象，
这一结论是傅里叶变换与光学互相 结合的纽带之一。
2.3.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式
1
r
z2
x x0 2
基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
P0点的单色点光源 P为孔径平面上任一点，Q为孔径
后方的观察点。
r和r0分别是Q和P0到P的距离，二
n
者均比波长大得多。
n表示衍射屏面法线的正方向。
r0
在单色点光源照明下，平面孔 P0 径后方光场中任一点Q的复振幅为
P
Σ
r
Q
U(Q)
1
j
a0e jkr0 r0
衍射屏处光场
描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量——复振幅
透过率：
t(P) Ut (P) Ui (P)
Ui (P)：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上的 光场的复振幅；
Ut (P) ：是衍射屏后表面的复振幅。 若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的
U0 (P)既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解 为衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为Σ。
x0 2
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
可以进一步简化得出：
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
这一近似称为夫琅禾费近似或远场近似，在这一条 件下，脉冲响应可进一步简化为：
h(x0 ,
y0 ;
x,
y)
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
h(P, Q) 物理意义 U(Q) U0(P)h(P,Q)dS
• 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为 U0 (P) • P点处的小面元dS对观察点Q的贡献
•
dU (Q) U0 (P)h(P,Q)ds
• h(P,Q) 表示在P点有一个单位脉冲即 U0 (P)dS 1 时， 在观察点Q造成的复振幅分布，称为脉冲响应或点扩 散函数。
U0
( x0 ,
y0
)
exp
j
k 2z
x x0 2 y y0 2
dx0dy0
菲涅耳衍射
如果在菲涅耳衍射的基础上进一步限定 的线度远远小于传 播 与距z相离比z尽，管以很至小于(，x02 但y02还)2z未小小到到可可以以忽略略去不(x2计 y；2) 2而z 观的察程范度围，的线度
r
z2
x
§2.2 从矢量理论到标量理论 光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
t
符号： E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
则：
hx, y; x0 , y0
1 K e jkr
j
r
exp jk
z
2
x
x0
2
y
y0
2
2.1.6
jz
hx x0 , y y0
故有：U x, y U x0, y0 h x x0, y y0 dx0dy0
U (x, y) h(x, y)
即：观察平面上光场的复振幅分布，等于孔
衍射与障碍物
不论以什么方式改变光波波面 —— （1）限制波面范围 （2）振幅以一定分布衰 减，（3）以一定的空间分布使复振幅相位延 迟，（4）相位与振幅两者兼而变化，都会引
起衍射，均称为衍射。 所以障碍物的概念，除去不透明屏上有
开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅 的透明片。把能引起衍射的障碍物统称为衍 射屏。
n , c 1
0
0 0
分量Ex , Ey , Ez , Hx , Hy, Hz 的标量波动方程
2 Ex
n2 c2
2 Ex t 2
0
用一个标量波动方程慨括 E 和H 的各分量的行为
2u(x,
y, z,t)
n2 c2
2u(x, y, z,t) t 2
0
u 与位置和时间有关
矢量理论到标量理论
前提条件：介质同时具有线性、各向同性、均匀性 且无色散 结论：电场和磁场的所有分量的行为完全相同，可 由单一的一个标量波动方程描述，标量理论可以完 全准确的代替矢量理论
若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观察面 的传播，则 U0 (P) Ut (P) Ui (P) t(P)
2.3.2 基尔霍夫衍射与叠加积分
•
基尔霍夫衍射公式
U (Q)
1
j
U0
(P)K (
)
e jkr r
dS
•令
h(P, Q) 1 e jkr K ( ) j r
• 有 U (Q) U0(P)h(P,Q)dS
我们知道 exp j2 (x y) 的函数
表示振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅 分布。 空间频率分量 cos / , cos / 表示单色 平面波的传播方向。
2.2.2角谱的传播
x0
A0
(
cos
,
cos
,
0)
U0 (x0, y0, 0)
z
y0
x A(cos , cos , z) U(x, y, z)
y y0 z
2
菲涅耳近似或傍轴近似
脉冲响应可表示为：
h(x x0, y
y0 )
exp( jk
jz
z)
exp
j
k 2z
x x0 h x x0, y y0 dx0dy0
U (x, y) exp( jkz) jkz
z
y
衍射角谱分析方法
U0 (x0, y0,0) A0(,,0) exp[ j2 ( x0 y0)]dd
• 由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是Σ上所 有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加。
• 如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是将函 数 U0(P) 变换成 U (Q) 的变换式。
• 按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为 一种线性系统的线性变换， h(P,Q) 代表了这个系统 的全部特性
2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一定 条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联系， 电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程），把 光作为标量来处理，只考虑电磁场一个分量的复振幅。
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔足够的远。
§2.1 历史引言
a.”衍射”现象
• 现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波 前的复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改 变，使自由传播光场变为衍射光场的现象，都称为 衍射。
衍射问题的解决方式：
1，电磁波是矢量波，考虑光波的矢量性，严格电 磁场衍射理论必须用矢量波方法求解。数学上很复杂， 但是在某些问题 （如研究高分辨率光栅时）必须要用 这个方法。
涅尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
衍射理论所要解决的问题
光场中任一点Q的复振幅 能否用光场中其它各点的复 振幅表示出来？
例如能否由如图孔径平面
上的场分布计算孔径后面任
一点Q处的复振幅？这是一 入射光
Q
个根据边界值求解波动方程
的问题。
2、 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上 。
若介质不具备上述前提，则用标量理论来表征矢量 理论就会引入误差
§2.3 基尔霍夫标量衍射理论
2.3.1 惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
1、 惠更斯-菲涅耳原理
1678年，惠更斯为解释波的传播提出子波的假设，认
为波面上每一点都可以作为次级子波的波源，后一时刻的
波阵面（相位相同的点组成的平面）则可看作是这些子波
第二章 标量衍射理论
• 光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。 当遇到障碍物时，光波会发生衍射。
何为衍射 • 索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直
线光路的任何偏离。衍射是光传播的普遍属性，是 光的波动性的表现。
• 惠更斯—菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到 限制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射
因此， 基尔霍夫衍射公式中 U0( P可) 以理解为在 任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布．
基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外 的阴影区内 U0 (P) ，0 则衍射公式的积分限可以扩展 到无穷，从而有：
U (Q) 1
j
U0
(P)K
(
)
e jkr r
dS
这里省略常数项c。
(x2
y2 )
exp
j
k z
x0 x
yy0
不再具有空间平移不变性。
2.4 衍射的角谱理论
2.4.1 单色平面波与本征函数
如果不考虑夫琅禾费近似，则相干光场在给定的 二平面间的传播过程就是通过一个二维线性空不
变系统。在1.6.4节中，形如 exp j2 (x y)
的函数应该是这种系统的本征函数，在1.7节中
的包络面
1818年，菲涅耳引入干涉概念对惠更斯原理进行了补
充，认为子波源应当是相干的，后空间光场是子波干涉的