线性代数6.2-维数、基与坐标

例如 n维线性空间
Vn x11 x22 xnn x1, x2, , xn R
与n维数组向量空间 Rn同构.
因为
(1)Vn中的元素与Rn中的元素( x1, x2 , , xn )T
形成一一对应关系；
V n x11 x2 2 xn n
f 4( x) 4 f 1( x) f 2( x).
1 2 1 2 k1 0
因此
2

4 1
3 9 1
0 6 5
5 7 5

k k k
2 3 4



0 0 0
.
设该齐次线性方程组的系数矩阵为A,则
1 0 3 4
~ A
初等行变换
因此 E11 , E12 , E 21 , E 22为V的一组基.
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a11, a12, a 21, a 22)T .
例3 在线性空间R[ x]n中,取一组基
1 1, 2 ( x a), 3 ( x a)2 , , n ( x a)n1
(a1,a2, ,an)T 和(b1,b2, ,bn)T ,则
(a1 b1) 1 (a2 b2) 2 (an bn) n
k k a1 1 k a2 2 k an n
于是 与k的坐标分别为
(a1b1,a2b2, ,anbn)T
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3, a4)T
若取另一基q1 1, q2 1 x, q3 2 x2 , q4 x3 ,
q5

x4,则 p (a0

a1 )q1
四、小结
１．线性空间的基与维数；
２．线性空间的元素在给定基下的坐标；
坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来；
（２）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来．
３．线性空间的同构．
思考题
求由Px3中元素
f1( x) x3 2x2 4x 1, f2( x) 2x3 3x2 9x 1, f3( x) x3 6x 5, f4(x) 2x3 5x2 7x 5 生成的子空间的基与维数.
f
''(a
) ,

,
f
(
n

1)( a
)
T
)
.
2!
(n1)!
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三、线性空间的同构
设 1 , 2 , , n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
有序数组x1, x2 , , xn称为元素在1,2 , ,n这个
基下的坐标,并记作 x1, x2 , , xn T .
例1 在线性空间P[ x]4中, p1 1, p2 x, p3 x2 , p4 x3 , p5 x4 就是它的一个基.
任一不超过4次的多项式 p a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0
,
线性nຫໍສະໝຸດ 无关;( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
a1 q2

1 2 a2 q3

a3 q4

a4 q5
因此 p 在这个基下的坐标为
注意
(a
0
a1,
a1,
1 2a
2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
Vn x11 x22 xnn x1, x2 , , xn R
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2 , ,n是线性空间Vn的一个基,对 于任一元素 Vn ,总有且仅有一组有序
数x1, x2 , , xn , 使
x11 x2 2 xn n ,
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
设
a1 1 a2 2 an n
b1 1 b2 2 bn n 即向量 , V在基 1 , 2 , , n下的坐标分别为
则由泰勒公式知 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2!
f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此 f ( x)在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
(
f (a),
f '(a),
(a1,a2, ,an)T (b1,b2, ,bn)T (ka1,ka2, ,kan)T k (a1,a2, ,an)T
上式表明: 在向量用坐标表示后,它们的运算 就归结为坐标的运算,因而线性空间 V n的讨论就 归结为Rn的讨论.
下面更确切地说明这一点.
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U 与 V 同构.
Rn
x ( x1 , x2 , , xn )T
(2)设
( x1, x2 , , xn )T
则有
( y1, y2 , , yn )T ( x1, x2 , , xn )T ( y1, y2 , , yn )T
( x1, x2 , , xn )T
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
0 0
1 0
2 0
1 0
0 0 0 0
因此, f 1( x), f 2 ( x)线性无关,是 f 1( x), f 2 ( x), f 3 ( x),
f 4 ( x)所生成的子空间的基,该子空间的维数为2,且
有
f 3 ( x) 3 f 1( x) 2 f 2 ( x),
空间．对于V中的矩阵
E
11


1 0
0 0
,
E
12


0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21


1
0
,
E
22


0
1
有
k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k1 k 2 , k3 k4
因此
0 0
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2, ,n
(1)
1,2 ,
k1
E 11

k
2
E 12

k
3
E
21

k4
E
22

O


0
, 0

k1 k 2 k 3 k 3 0,
即 E11 , E12 , E 21 , E 22线性无关. 对于任意二阶实矩阵
A a11 a12 V , a21 a22
有 A a11 E11 a12 E12 a21 E 21 a22 E 22
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．